2.2.2函數(shù)的表示法（第2課時(shí)分段函數(shù)）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2.2

函數(shù)的表示法第2課時(shí)分段函數(shù)第二章函數(shù)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解分段函數(shù)的概念.2.會(huì)求分段函數(shù)的函數(shù)值,能畫出分段函數(shù)的圖象.3.能在實(shí)際問題中列出分段函數(shù),并能解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

分段函數(shù)1.分段函數(shù)的定義如果一個(gè)函數(shù),在其定義域內(nèi),對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,則稱其為分段函數(shù).分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)

2.分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段,它的圖象就由幾部分組成.在同一平面直角坐標(biāo)系中,根據(jù)分段函數(shù)每段的定義區(qū)間和解析式依次畫出圖象,要注意確定每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn),各段函數(shù)圖象組合到一起就可得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象.名師點(diǎn)睛

1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是分段歸類,即自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間,就只能用那個(gè)區(qū)間上的解析式來進(jìn)行計(jì)算.2.寫分段函數(shù)的定義域時(shí),區(qū)間端點(diǎn)應(yīng)不重不漏.分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集.3.分段函數(shù)值域的求法是分別求出各段上的因變量的取值集合后取并集;分段函數(shù)的最大(小)值的求法是先求出每段函數(shù)的最大(小)值,然后比較各段的最大(小)值,其中最大(小)的為分段函數(shù)的最大(小)值.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),其定義域?yàn)楦鞫蔚亩x域的并集.(

)(2)Y=|x-8|可以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式.(

)(3)分段函數(shù)

的圖象可以作出來.(

)√√×2.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(f(2)))=

.

2解析

由題圖知f(2)=0,∴f(f(2))=f(0)=4,∴f(f(f(2)))=f(4)=2.3.[人教A版教材習(xí)題]畫出函數(shù)y=|x-2|的圖象.(方法二

翻折法)先畫出y=x-2的圖象,然后把圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上面.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一分段函數(shù)的求值變式探究在本例已知條件下,若f(x)>0,求x的取值范圍.解

∵f(x)>0,∴-2<x<0或0<x<2或x≥2.∴x的取值范圍是(-2,0)∪(0,+∞).規(guī)律方法

1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟(1)先確定所求值對(duì)應(yīng)的自變量屬于哪一區(qū)間.(2)再代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式進(jìn)行求值,直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值的步驟(1)先確定所求自變量的值可能存在的區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.(2)再將函數(shù)值代入不同的解析式中.(3)通過解方程求出自變量的值.(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).探究點(diǎn)二分段函數(shù)的圖象【例2】

畫出下列函數(shù)的圖象,并寫出它們的值域.(2)y=|x+1|+|x-3|.解

(1)函數(shù)

的圖象如圖①,觀察圖象,得函數(shù)的值域?yàn)?1,+∞).(2)將原函數(shù)式中的絕對(duì)值符號(hào)去掉,化為分段函數(shù)

它的圖象如圖②.觀察圖象,得函數(shù)的值域?yàn)閇4,+∞).規(guī)律方法

1.因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)解析式不一樣,所以它的圖象也由幾部分構(gòu)成,有的可以是光滑的曲線段,有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段,畫圖時(shí)要特別注意區(qū)間端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)點(diǎn)的虛實(shí)之分.2.對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù),要作出其圖象,首先去掉絕對(duì)值符號(hào),將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),再作其圖象.C解析

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),y=0-1=-1,所以函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,-1),排除A,B;當(dāng)x<0時(shí),y=x2,則函數(shù)圖象是開口向上的拋物線在y軸左側(cè)的部分.因此只有選項(xiàng)C中的圖象符合題意.探究點(diǎn)三根據(jù)分段函數(shù)圖象求解析式【例3】

已知函數(shù)y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成,則函數(shù)的解析式為

.

解析

根據(jù)圖象,設(shè)左側(cè)的射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b(x≤1).∵點(diǎn)(1,1),(0,2)在射線上,∴左側(cè)射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x+2(x≤1).同理,當(dāng)x≥3時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x-2(x≥3).再設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵點(diǎn)(1,1)在拋物線上,∴a+2=1,∴a=-1.∴當(dāng)1<x<3時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2+4x-2(1<x<3).綜上可知,所求函數(shù)的解析式為變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為

.

解析

∵f(x)的圖象由兩條線段組成,∴由一次函數(shù)解析式求法可得探究點(diǎn)四分段函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用【例4】

某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格P(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)組成有序數(shù)對(duì)(t,P),點(diǎn)(t,P)落在圖中的兩條線段上,該股票在30天內(nèi)(包括第30天)的日交易量Q(單位:萬股)與時(shí)間t的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示.第t天4101622Q/萬股36302418(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該種股票每股交易價(jià)格P與時(shí)間t所滿足的函數(shù)解析式.(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q與時(shí)間t的一次函數(shù)解析式.(3)在(2)的結(jié)論下,用y(單位:萬元)表示該股票日交易額,寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式,并求出這30天中第幾日交易額最大,最大值為多少?(2)設(shè)Q=at+b(a≠0,a,b為常數(shù)),將(4,36)與(10,30)代入,得故日交易量Q與時(shí)間t的一次函數(shù)解析式為Q=40-t,0<t≤30,t∈N+.規(guī)律方法

分段函數(shù)的意義是不同范圍內(nèi)的自變量x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,從而需分段來表達(dá)它.解決實(shí)際問題時(shí)要結(jié)合實(shí)際意義寫出分段函數(shù)的解析式,再根據(jù)需要選擇合適的解析式解決問題.變式訓(xùn)練3[人教B版教材例題]北京市居民用水實(shí)行階梯水價(jià).其中年用水量不超過180m3的部分,綜合用水單價(jià)為5元/m3;超過180m3但不超過260m3的部分,綜合用水單價(jià)為7元/m3.如果北京市一居民年用水量為xm3,其要繳納的水費(fèi)為f(x)元.假設(shè)0≤x≤260,試寫出f(x)的解析式,并作出f(x)的圖象.解

如果x∈[0,180],則f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照題意有f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.因此注意到f(x)在不同的區(qū)間上,解析式都是一次函數(shù)的形式,因此y=f(x)在每個(gè)區(qū)間上的圖象都是直線的一部分,又因?yàn)閒(180)=5×180=900,f(260)=7×260-360=1

460,由此可作出函數(shù)的圖象,如圖所示.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)分段函數(shù)的求值;(2)作分段函數(shù)的圖象;(3)分段函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):分段函數(shù)作圖時(shí)定義域中端點(diǎn)的處理;對(duì)分段函數(shù)定義域和值域的理解;分段函數(shù)求值時(shí),應(yīng)注意自變量所在的區(qū)間.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]下表表示y是x的函數(shù),則函數(shù)的值域是(

)x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.[2,5] B.N

C.(0,20] D.{2,3,4,5}D123456789101112132.[探究點(diǎn)一]已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖所示,不含端點(diǎn)),則

C12345678910111213A.[-1,1] B.[-1,2]C.(-∞,1] D.[-1,+∞)A123456789101112134.[探究點(diǎn)四]“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當(dāng)它醒來時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn),用s1,s2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時(shí)間,則下圖中的s-t函數(shù)圖象與故事情節(jié)相吻合的是(

)B解析

由于兔子中間睡了一覺,所以有一段路程不變,而烏龜?shù)穆烦淌冀K在增加且比兔子早到終點(diǎn).12345678910111213123456789101112135.[探究點(diǎn)一]已知函數(shù)

則f(f(f(5)))等于

.

-5解析

f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.123456789101112136.[探究點(diǎn)三]已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為

.

12345678910111213123456789101112137.[探究點(diǎn)四]某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:在3km以內(nèi)(含3km)路程按起步價(jià)7元收費(fèi),超過3km以外的路程按2.4元/km收費(fèi),某人乘車交車費(fèi)19元,則此人乘車行程為

km.

8解析

根據(jù)題意可判斷出乘車的路程超過3

km,設(shè)此人乘車的路程為x

km,由題意得(x-3)×2.4+7=19,整理得x-3=5,解得x=8,故此人乘車行程為8

km.123456789101112138.[探究點(diǎn)二·2024四川遂寧高一期中]已知(1)在所給坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象;(2)直接寫出f(x)的值域.12345678910111213解

(1)函數(shù)圖象如下所示.(2)由圖象可知,函數(shù)的值域?yàn)閇-4,+∞).12345678910111213B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.已知函數(shù)y=f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表,函數(shù)y=g(x)的圖象是如圖所示的曲線ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),則f(g(2))=(

)x123f(x)230A.3 B.2 C.1 D.0B解析

由題圖知g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=2.故選B.1234567891011121310.(多選題)已知函數(shù)

關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的定義域?yàn)镽B.f(x)的值域?yàn)?-∞,4)C.若f(x)=3,則x的值是D.f(x)<1的解集為(-1,1)BC解析

由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,2),故A錯(cuò)誤;當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)的取值范圍是(-∞,1],當(dāng)-1<x<2時(shí),f(x)的取值范圍是[0,4),因此f(x)的值域?yàn)?-∞,4),故B正確;當(dāng)x≤-1時(shí),令x+2=3,解得x=1(舍去),當(dāng)-1<x<2時(shí),令x2=3,解得當(dāng)x≤-1時(shí),x+2<1,解得x<-1,當(dāng)-1<x<2時(shí),x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集為(-∞,-1)∪(-1,1).故D錯(cuò)誤.故選BC.123456789101112131234567891011121311.已知函數(shù)

若f(a)=3,則a的值為

.

-1或2解析

由

當(dāng)a<0時(shí),a+4=3,解得a=-1;當(dāng)a≥0時(shí),2a-1=3,解得a=2.故a的值為-1或2.1234567891011121312.已知函數(shù)f(x)=|x-2|(x+1).(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;(2)判斷關(guān)于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的個(gè)數(shù).12345678910111213(2)關(guān)于x的方程|x-2|(x+1)=a的解的個(gè)數(shù)就是直線y=a與y=|x-2|(x+1)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).作出圖象如圖所示.由圖象可知,當(dāng)a<0時(shí),有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a=0時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)0<a<時(shí),有三個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a=時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a>時(shí),有一個(gè)交點(diǎn).綜上,當(dāng)a<0或a>時(shí),方程有一個(gè)解;當(dāng)a=0或a=時(shí),方程有兩個(gè)解;當(dāng)0<a<時(shí),方程有三個(gè)解.1234567891011121312345