2025版高中數(shù)學(xué)綜合測評含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE15綜合測評(滿分:150分;時間:120分鐘)一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分)1.直線x=tan60°的傾斜角是 ()A.90° B.60° C.30° D.不存在2.給出下列四個命題:①垂直于同始終線的兩條直線相互平行;②垂直于同一平面的兩個平面相互平行;③若直線l1,l2與同一平面所成的角相等,則l1,l2相互平行;④若直線l1,l2是異面直線,則與l1,l2都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.43.用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐,截得的圓臺上、下底面半徑之比為1∶4,若截去的圓錐的母線長為3cm,則圓臺的母線長為 ()A.1cm B.3cmC.12cm D.9cm4.如圖,在長方體A1B1C1D1-ABCD中,M、N分別是棱BB1,B1C1的中點,若∠CMN=90°,則異面直線AD1和DM所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°5.已知l,m表示兩條不同的直線,α表示平面,則下列說法正確的是 ()A.若l⊥α,m?α,則l⊥mB.若l⊥m,m?α,則l⊥αC.若l∥m,m?α,則l∥αD.若l∥α,m?α,則l∥m6.等邊△PQR中,P(0,0),Q(4,0),且R在第四象限內(nèi),則PR和QR所在直線的方程分別為 ()A.y=3x和y=-3x B.y=3(x-4)和y=-3(x-4)C.y=3x和y=-3(x-4) D.y=-3x和y=3(x-4)7.已知點P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點,若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為 ()A.3 B.212 C.22 8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F,且EF=12,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為 (①AC⊥BE;②EF∥平面ABCD;③三棱錐A-BEF的體積為定值;④△AEF的面積與△BEF的面積相等.A.1 B.2 C.3 D.49.如圖,定點A,B都在平面α內(nèi),定點P?α,PB⊥α,C是α內(nèi)異于A和B的動點,且PC⊥AC,則動點C在平面α內(nèi)的軌跡是 ()A.一條線段,但要去掉兩個點B.一個圓,但要去掉兩個點C.一段弧,但要去掉兩個點D.半圓,但要去掉兩個點10.幾何學(xué)史上有一個聞名的米勒問題:“設(shè)點M,N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點,試在QB邊上找一點P,使得∠MPN最大”.如圖,其結(jié)論是:點P為過M,N兩點且和射線QB相切的圓的切點.依據(jù)以上結(jié)論解決以下問題:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,給定兩點M(-1,2),N(1,4),點P在x軸上移動,當(dāng)∠MPN取最大值時,點P的橫坐標(biāo)是 ()A.-7 B.1或-7 C.2或-7 D.111.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則下列四個命題錯誤的是 ()A.直線BC與平面ABC1D1所成的角為πB.點C到平面ABC1D1的距離為2C.異面直線D1C和BC1所成的角為πD.三棱柱AA1D1-BB1C1外接球的半徑為312.如圖,已知四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,平面ABCD⊥平面APB,G為PC上一點,且BG⊥平面APC,AB=2,則三棱錐P-ABC體積的最大值為 ()A.23 B.223 C.二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知實數(shù)x,y滿意6x+8y-1=0,則x2+y14.如圖,已知圓錐的頂點為S,底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD,且AB⊥CD,平面SAD∩平面SBC=l.現(xiàn)有以下四個結(jié)論:①AD∥平面SBC;②l∥AD;③若E是底面圓周上的動點,則△SAE的最大面積等于△SAB的面積;④l與平面SCD所成的角為45°.其中正確結(jié)論的序號是.

15.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是AB,AC的中點,平面EFC1B1將三棱柱分成體積分別為V1,V2的兩部分,則V1∶V2=.

16.已知三棱錐P-ABC的底面是正三角形,PA=3,點A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是△PBC的垂心,當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時,三棱錐P-ABC的外接球的體積為.

三、解答題(本題共6小題,共70分)17.(10分)如圖,在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC邊的中點M在y軸上,BC邊的中點N在x軸上.(1)求點C的坐標(biāo);(2)求AB邊上的中線所在直線的方程.18.(12分)已知圓C1:(x-1)2+(y+5)2=50,圓C2:(x+1)2+(y+1)2=10.(1)證明圓C1與圓C2相交;(2)若圓C3經(jīng)過圓C1與圓C2的交點以及坐標(biāo)原點,求圓C3的方程.19.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,∠BAA1=60°,D為AA1的中點,點C在平面ABB1A1內(nèi)的射影在線段BD上.(1)求證:B1D⊥平面CBD;(2)若△CBD是正三角形,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.20.(12分)我國的“洋垃圾禁止入境”政策已實施多年.某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧AB,對應(yīng)的圓心角∠AOB=60°,該地區(qū)為打擊洋垃圾走私,在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海疆ABCD對不明船只進行識別查證(如圖:其中海疆與陸地近似看作在同一平面內(nèi)),在圓弧的兩端點A,B分別建有監(jiān)測站,A與B之間的直線距離為100海里.(1)求海疆ABCD的面積;(2)現(xiàn)海上P點處有一艘不明船只,在A點測得其距A點40海里,在B點測得其距B點2019海里.推斷這艘不明船只是否進入了海疆ABCD,并說明理由.21.(12分)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形,其中BD是圓的直徑,∠ABD=60°,∠BDC=45°,PD⊥底面ABCD,PD=22R,E,F分別是PB,CD上的點,且PEEB=DFFC,過點E作BC的平行線交PC(1)求BD與平面ABP所成角θ的正弦值;(2)證明:△EFG是直角三角形;(3)當(dāng)PEEB=12時,求△EFG22.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x-y+1=0被以坐標(biāo)原點O為圓心的圓所截得的弦長為6.(1)求圓O的方程;(2)若直線l與圓O切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點D,E,當(dāng)DE=22時,求直線l的方程;(3)設(shè)M,P是圓O上隨意兩點,點M關(guān)于x軸對稱的點為N,若直線MP,NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是不是定值?若是,懇求出該定值;若不是,請說明理由.全書綜合測評1.A2.D3.D4.D5.A6.D7.D8.C9.B10.D11.C12.A一、選擇題1.A由題意可知,直線x=tan60°即為直線x=3,此時直線的斜率不存在,傾斜角為90°.故選A.2.D利用特別圖形正方體不難發(fā)覺①、②、③、④均不正確,故選D.3.D如圖,設(shè)圓臺的母線長為ycm,小圓錐底面半徑與被截的圓錐的底面半徑分別是xcm,4xcm,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)可得33+y=x4x,解得y=9,所以圓臺的母線長為4.D易知MN⊥DC,MN⊥MC,且DC∩MC=C,所以MN⊥平面DCM.又DM?平面DCM,所以MN⊥DM.易證MN∥AD1,所以AD1⊥DM.所以異面直線AD1和DM所成的角為90°.5.A對于A,若l⊥α,m?α,則依據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì),知l⊥m,故A正確;對于B,若l⊥m,m?α,則l⊥α或l∥α或l?α,故B不正確;對于C,若l∥m,m?α,則l∥α或l?α,故C不正確;對于D,若l∥α,m?α,則l與m可能平行,也可能異面,故D不正確.故選A.6.D由題意可得R(2,-23),故直線PR的斜率kPR=-3,故直線PR的方程為y=-3x,直線QR的斜率kQR=-232所以直線QR的方程為y=3(x-4),故選D.7.D圓C:x2+y2-2y=0的圓心為(0,1),半徑長r=1,由圓的性質(zhì)知S四邊形PACB=2S△PBC,∵四邊形PACB的最小面積是2,∴S△PBC的最小值為1,即12rd最小值=1(d是切線長),∴d最小值=2,|PC|最小值=22+∵圓心到直線的距離就是|PC|的最小值,∴|PC|最小值=|0+1+4|1+k2=5,又k>0,∴k8.C如圖,連接BD.∵AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1=B,BD、BB1?平面BB1D1D,∴AC⊥平面BB1D1D,又BE?平面BB1D1D,∴AC⊥BE,①正確;∵B1D1∥BD,BD?平面ABCD,B1D1?平面ABCD,∴B1D1∥平面ABCD,即EF∥平面ABCD,②正確;設(shè)h為三棱錐A-BEF中面BEF上的高,∵V三棱錐A-BEF=13×S△BEF×=13×12×|EF|×|BB1|×12=13×12×12×1×2∴三棱錐A-BEF的體積為定值,③正確;△AEF的邊EF上的高為A到EF的距離,為12+(2△BEF的邊EF上的高為B到EF的距離,為BB1=1,④錯誤.從而①②③正確,④錯誤.故選C.9.B連接BC,因為PB⊥α,AC?α,所以PB⊥AC,又PC⊥AC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,又CB?平面PBC,所以CB⊥AC,因為A,B是平面α上的定點,所以點C在α內(nèi)的軌跡是以AB為直徑的圓,又C是α內(nèi)異于A和B的點,故此軌跡要去掉A、B兩個點.所以B正確.10.D經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3-x上,設(shè)圓心為S(a,3-a),則圓S的方程為(x-a)2+(y-3+a)2=2+2a2,對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而增大,∴當(dāng)∠MPN取最大值時,經(jīng)過M,N,P三點的圓S必與x軸相切于點P,即圓S的方程中的a值必需滿意2+2a2=(3-a)2,解得a=1或a=-7.即對應(yīng)的切點分別為P(1,0)和P'(-7,0),而過點M,N,P'的圓的半徑大于過點M,N,P的圓的半徑,∴∠MPN>∠MP'N,故點P(1,0)為所求,∴點P的橫坐標(biāo)為1.11.C連接B1C,與BC1交于點O,因為D1C1⊥平面BCC1B1,OC?平面BCC1B1,所以D1C1⊥OC,又因為四邊形BCC1B1為正方形,所以O(shè)C⊥BC1.因為D1C1∩BC1=C1,D1C1,BC1?平面ABC1D1,所以CO⊥平面ABC1D1.對于A,因為CO⊥平面ABC1D1,所以直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1=π4,故A正確對于B,因為CO⊥平面ABC1D1,所以點C到平面ABC1D1的距離為OC的長,即為B1C長度的一半,即22,故B正確對于C,易知BC1∥AD1,所以∠AD1C為異面直線D1C和BC1所成的角,連接AC,易知△AD1C為等邊三角形,所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3,故C錯誤對于D,三棱柱AA1D1-BB1C1外接球的半徑為12+12+12故選C.12.A∵四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,∴BC⊥AB,∵平面ABCD⊥平面APB,平面ABCD∩平面APB=AB,∴BC⊥平面ABP,∵AP?平面ABP,∴AP⊥BC,∵G為PC上一點,且BG⊥平面APC,AP?平面APC,∴AP⊥BG,∵BC∩BG=B,BC?平面PBC,BG?平面PBC,∴AP⊥平面PBC,∵BP?平面PBC,∴BP⊥AP,∴VP-ABC=VC-APB=13×12×|PA|×|PB|×|BC|=13×|PA令|PA|=m,|PB|=n,則m2+n2=4,∵m2+n2-2mn=(m-n)2≥0,∴mn≤m2∴VP-ABC=13mn≤13×m2+n22=23,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時取“=”,∴三棱錐P二、填空題13.答案7解析∵x2+y2-2y+1=(x-0∴x2+y2-2y+1表示直線6x+8y-1=0上的點(x2+y2-2y+1的最小值為點(0,1)即|8-114.答案①②④解析由AB和CD是圓O的直徑及AB⊥CD,得四邊形ACBD為正方形,所以AD∥BC,又BC?平面SBC,AD?平面SBC,所以AD∥平面SBC,①正確;又因為AD?平面SAD,且平面SAD∩平面SBC=l,所以l∥AD,②正確;③若E是底面圓周上的動點,當(dāng)∠ASB≤90°時,△SAE的最大面積等于△SAB的面積,當(dāng)∠ASB>90°時,△SAE的最大面積等于兩條母線的夾角為90°的截面三角形的面積,所以③不正確;因為l∥AD,l與平面SCD所成的角就是AD與平面SCD所成的角,即∠ADO,易知∠ADO=45°,故④正確.故答案為①②④.15.答案7∶5解析設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,底面的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.∵E,F分別為AB,AC的中點,∴S△AEF=S4,V1=13hS+S4+S·S4=712Sh,V2=Sh-V116.答案9π解析連接PH并延長,交BC于D,連接AD.∵H是△PBC的垂心,∴BC⊥PD.∵AH⊥平面PBC,BC?平面PBC,∴AH⊥BC,又AH?平面APD,PD?平面APD,AH∩PD=H,∴BC⊥平面APD,又AD?平面APD,∴BC⊥AD.連接BH并延長,交PC于E,連接AE.由AH⊥平面PBC可得AH⊥PC,又BE⊥PC,AH∩BE=H,∴PC⊥平面ABE,∴AB⊥PC,設(shè)P在平面ABC上的射影為O,連接CO并延長,交AB于F,連接PF.∵PO⊥AB,PC∩PO=P,∴AB⊥平面PCF,∴PF⊥AB,CF⊥AB,∴O是△ABC的中心,F是AB的中點,∴PB=PA=3=PC,當(dāng)PA,PB,PC兩兩垂直時,三棱錐P-ABC的體積取得最大值,將PA,PB,PC作為正方體的共頂點的三條棱補成正方體,則外接球的直徑即為正方體的體對角線的長,∴三棱錐P-ABC的外接球的半徑R滿意(2R)2=3×(3)2,解得R=32(負值舍去),∴外接球的體積V=43π×32三、解答題17.解析(1)設(shè)M(0,a),N(b,0),C(m,n),已知A(5,-2),B(7,3),∵M是AC的中點,∴5+m2=0,∴m=-5, (2又N是BC的中點,∴3+n2=0,∴n=-3, (4∴點C的坐標(biāo)為(-5,-3). (5分)(2)設(shè)AB的中點為P,則點P的坐標(biāo)為6,12, (7分)由兩點式得AB邊上的中線所在直線的方程為y+312整理,得7x-22y-31=0. (9分)∴AB邊上的中線所在直線的方程為7x-22y-31=0. (10分)18.解析(1)證明:設(shè)圓C1的半徑長為r1,圓C2的半徑長為r2,則C1(1,-5),r1=50=52,C2(-1,-1),r2=10, (4分)∵52-10<|C1C2|=4+16=25<10+52,∴C1與C2相交. (6分)(2)設(shè)圓C1與圓C2的交點分別為A,B,坐標(biāo)原點為C(0,0).由(得x1=-4,不妨設(shè)A(-4,0),B(0,2). (10分)易得△ABC為直角三角形,∴r=12|AB|=5,圓心為AB的中點∴圓C3的方程為(x+2)2+(y-1)2=5. (12分)19.解析(1)證明:設(shè)點C在平面ABB1A1內(nèi)的射影為E,連接CE,則E∈BD,CE?平面CBD,且CE⊥平面ABB1A1,因為B1D?平面ABB1A1,所以CE⊥B1D. (2分)在△ABD中,AB=AD=1,∠BAD=60°,則∠ABD=∠ADB=180°-60°2=60°,在△A1B1D中,A1B1=A1D=1,∠B1A1則∠A1B1D=∠A1DB1=180°-120°故∠B1DB=180°-60°-30°=90°,故BD⊥B1D. (5分)又CE∩BD=E,所以B1D⊥平面CBD. (6分)(2)解法一:VABC-A1B由(1)得CE⊥平面ABB1A1,故CE是三棱錐C-A1AB的高,因為△CBD是正三角形,且BD=AB=AD=1,所以CE=32, (8分所以S△A1AB=12|AA1||AB|sin∠BAA1=12×2×1×sin60°所以VC-A1AB=13S△A1AB故三棱柱的體積VABC-A1B1C1解法二:將三棱柱補成四棱柱,如圖,因為S△PAC=S△BAC且高一樣,所以VABC-A所以VABC-A因為△CBD是正三角形,且BD=AB=AD=1,所以CE=32. (8分由(1)得CE⊥平面ABB1A1,故CE是四棱柱ABB1A1-PCC1Q的高,故VABB1A1-PCC1Q=S四邊形ABB1A1·CE=AA1·AB故VABC-A1B1C1=12VABB1A1-PCC解法三:在三棱錐VC-ABD中,由(1)得CE⊥平面ABD,CE是三棱錐C-ABD的高,易得CE=32, (8分記D到平面ABC的距離為hD,由VD-ABC=VC-ABD,得13S△ABC·hD=13S△ABD·CE,即hD=因為D為AA1的中點,故A1到平面ABC的距離為2hD=2S△ABD·VABC-A1B1C1=S△ABC×2hD=2S△ABD·CE=2×故三棱柱ABC-A1B1C1的體積為34. (12分20.解析(1)由題意知AD=BC=20,OA=OB=AB=100,∴OD=OA+AD=100+20=120, (2分)∴S海疆ABCD=60360·π(OD2-OA2)=16π×(1202-1002)=2200π3(所以海疆ABCD的面積為2200π3平方海里. (5分(2)由題意建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.由題意知,點P在圓B上,即(x-100)2+y2=7600,①點P也在圓A上,即(x-50)2+(y-503)2=1600,②聯(lián)立①②,解得x=30,y=303易知區(qū)