第四章-貝塞爾函數(shù)市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第四章：貝塞爾函數(shù)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第1頁(yè)幾個(gè)微分方程引入伽馬函數(shù)基本知識(shí)貝塞爾方程求解貝塞爾函數(shù)基本性質(zhì)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本章提要:參考了孫秀泉教授課件第2頁(yè)

貝塞爾函數(shù)是貝塞爾方程解。除初等函數(shù)外，在物理和工程中貝塞爾函數(shù)是最慣用函數(shù)，它們以19世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家F.W.Bessel姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。第3頁(yè)

德國(guó)天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測(cè)量學(xué)奠基人。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到布萊梅一家商行學(xué)徒，業(yè)余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時(shí)發(fā)表了相關(guān)彗星軌道測(cè)量論文。1810年任新建柯尼斯堡天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。貝塞爾主要貢獻(xiàn)在天文學(xué)，以《天文學(xué)基礎(chǔ)》（1818）為標(biāo)志發(fā)展了試驗(yàn)天文學(xué)，還編制基本星表，測(cè)定恒星視差，預(yù)言伴星存在，導(dǎo)出用于天文計(jì)算貝塞爾公式，較準(zhǔn)確地計(jì)算出歲差常數(shù)等幾個(gè)天文常數(shù)值，還編制大氣折射表和大氣折射公式，以修正其對(duì)天文觀察影響。他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)一系列性質(zhì)及其求值方法，為處理物理學(xué)和天文學(xué)相關(guān)問題提供了主要工具。另外，他在大地測(cè)量學(xué)方面也做出一定貢獻(xiàn)，提出貝塞爾地球橢球體等觀點(diǎn)。貝塞爾重新訂正了《布拉德萊星表》，并加上了歲差和章動(dòng)以及光行差更正;還編制了包含比九等星更亮75000多顆恒星基本星表，以后由他繼承人阿格蘭德擴(kuò)充成著名《波恩巡天星表》。

1837年，貝塞爾發(fā)覺天鵝座61正在非常遲緩地改變位置，第二年，他宣告這顆星視差是0.31弧秒，這是世界上最早被測(cè)定恒星視差之一。第4頁(yè)三維波動(dòng)方程：三維熱傳導(dǎo)方程：分離變量：一、幾個(gè)微分方程引入對(duì)u(r)，得到：第5頁(yè)xyz球坐標(biāo)下：第6頁(yè)球貝塞爾方程歐拉方程k=0k=0第7頁(yè)連帶勒讓德方程：勒讓德方程：m=0第8頁(yè)xyz柱坐標(biāo)下：第9頁(yè)貝塞爾方程第10頁(yè)?。汉ツ坊羝澐匠虆?shù)形式貝塞爾方程?。?1Sturm-Liouville（施圖姆-劉維爾）型方程貝塞爾方程勒讓德方程?。毫硪宦窂剑旱?1頁(yè)定義：基本性質(zhì)：證實(shí)：二、伽馬函數(shù)基本知識(shí)第12頁(yè)求證：令t=u2其它結(jié)論第13頁(yè)變系數(shù)二階線性常微分方程，其解稱為貝塞爾函數(shù)

階貝塞爾方程不能在x=0附近展開成冪級(jí)數(shù)，因?yàn)閤=0是它正則奇點(diǎn)對(duì)于變系數(shù)方程y+p(x)y+q(x)y=0，假如xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展開成冪級(jí)數(shù)，則在這個(gè)鄰域內(nèi)方程有廣義冪級(jí)數(shù)解Ck是展開系數(shù)，c是待定常數(shù)三、貝塞爾方程求解第14頁(yè)代入貝塞爾方程第15頁(yè)要使等式兩邊成立，則x各次冪系數(shù)為零第16頁(yè)將c=

v代入(2)，得C1=0先考慮c=v情況，代入(3)，得(4)第17頁(yè)一個(gè)特解為C0為任意常數(shù)，通常取第18頁(yè)v階第一類貝塞爾函數(shù)第19頁(yè)對(duì)于任意x(-,+)，所以級(jí)數(shù)y1收斂區(qū)間為

(-,+)在x=0時(shí)，令第20頁(yè)再考慮c=-v情況，得到貝塞爾方程通解為：其中v為實(shí)數(shù)（不是整數(shù)），A、B為待定系數(shù)第21頁(yè)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)其中v不是整數(shù)當(dāng)v是整數(shù)時(shí)第22頁(yè)Yv稱為第二類v階貝塞爾函數(shù)（也稱諾伊曼或牛曼函數(shù)），與Jv(x)是線性無(wú)關(guān)v階貝塞爾方程通解：假如v不是整數(shù)，其通解還可表示為第23頁(yè)第二類貝塞爾函數(shù)圖象貝塞爾函數(shù)圖象貝塞爾、牛曼函數(shù)圖象第24頁(yè)第25頁(yè)第26頁(yè)第27頁(yè)四、貝塞爾函數(shù)基本性質(zhì)1、生成函數(shù)：假如一個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)展開式系數(shù)是貝塞爾函數(shù)，則稱該函數(shù)為貝塞爾函數(shù)生成函數(shù)或母函數(shù)。假如有則稱f(x,r)為Jn(x)生成函數(shù)，r為參數(shù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)生成函數(shù)為第28頁(yè)2、貝塞爾函數(shù)遞推公式對(duì)任意v都成立第29頁(yè)例1第30頁(yè)例2計(jì)算積分利用第31頁(yè)例3求證：證實(shí)：利用第32頁(yè)例4求證：證實(shí)：利用第33頁(yè)3、貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)●●●●●●●零點(diǎn)概念與初步印象第34頁(yè)●●●●●●●關(guān)于零點(diǎn)幾個(gè)結(jié)論(1)Jn(x)有沒有窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)在x軸上是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布著，因而Jn(x)必有沒有窮多個(gè)正零點(diǎn)(2)Jn(x)零點(diǎn)與Jn+1(x)零點(diǎn)是彼此相間分布，即Jn(x)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在一個(gè)且僅有一個(gè)Jn+1(x)零點(diǎn)(3)當(dāng)x值充分大時(shí)，Jn(x)兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間距離靠近

，即Jn(x)幾乎是以2

為周期第35頁(yè)●●注意：這里指標(biāo)(n)，僅表示第n

階貝塞爾函數(shù)，不要與n

階導(dǎo)數(shù)混同。●●●●●●●●第36頁(yè)●●●●●●●第37頁(yè)第38頁(yè)希望光纖傳輸單模，要求波導(dǎo)歸一化頻率滿足0<V<2.405。光纖（光導(dǎo)纖維）是一個(gè)圓柱對(duì)稱介質(zhì)光波導(dǎo)。縱向電場(chǎng)分量Ez滿足后續(xù)課程中一個(gè)應(yīng)用：圓柱坐標(biāo)系中第39頁(yè)4、貝塞爾函數(shù)漸近公式第40頁(yè)5、貝塞爾函數(shù)正交性說明，n階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間[0,R]上帶權(quán)r正交第41頁(yè)貝塞爾函數(shù)是正交完備，能夠?qū)⒁粋€(gè)定義在區(qū)間[0,R]函數(shù)f(r)展開為展開系數(shù)由此式所確定Am被稱為傅立葉-貝塞爾系數(shù)傅立葉-貝塞爾級(jí)數(shù)第42頁(yè)例1解第43頁(yè)第44頁(yè)例2解第45頁(yè)備用展開系數(shù)展開式第46頁(yè)例解套路邊界條件需“翻譯”一、建立方程第47頁(yè)取D=0第二類貝塞爾函數(shù)在

=0不是有界第48頁(yè)二、求本征值、本征函數(shù)由邊界條件得第49頁(yè)三、由疊加原理寫出普通解。普通解：本征解：第50頁(yè)四、確定系數(shù)第51頁(yè)代入式(4.68)，得到普通解：第52頁(yè)在圓柱形波導(dǎo)中電磁波傳輸問題；圓柱體中熱傳導(dǎo)問題；圓形（或環(huán)形）薄膜振動(dòng)模態(tài)