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第四章:貝塞爾函數(shù)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第1頁幾個微分方程引入伽馬函數(shù)基本知識貝塞爾方程求解貝塞爾函數(shù)基本性質(zhì)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本章提要:參考了孫秀泉教授課件第2頁

貝塞爾函數(shù)是貝塞爾方程解。除初等函數(shù)外,在物理和工程中貝塞爾函數(shù)是最慣用函數(shù),它們以19世紀德國天文學(xué)家F.W.Bessel姓氏命名,他在1824年第一次描述過它們。第3頁

德國天文學(xué)家,數(shù)學(xué)家,天體測量學(xué)奠基人。1784年7月22日生于明登,1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到布萊梅一家商行學(xué)徒,業(yè)余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時發(fā)表了相關(guān)彗星軌道測量論文。1810年任新建柯尼斯堡天文臺臺長,直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。貝塞爾主要貢獻在天文學(xué),以《天文學(xué)基礎(chǔ)》(1818)為標(biāo)志發(fā)展了試驗天文學(xué),還編制基本星表,測定恒星視差,預(yù)言伴星存在,導(dǎo)出用于天文計算貝塞爾公式,較準確地計算出歲差常數(shù)等幾個天文常數(shù)值,還編制大氣折射表和大氣折射公式,以修正其對天文觀察影響。他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù),討論了該函數(shù)一系列性質(zhì)及其求值方法,為處理物理學(xué)和天文學(xué)相關(guān)問題提供了主要工具。另外,他在大地測量學(xué)方面也做出一定貢獻,提出貝塞爾地球橢球體等觀點。貝塞爾重新訂正了《布拉德萊星表》,并加上了歲差和章動以及光行差更正;還編制了包含比九等星更亮75000多顆恒星基本星表,以后由他繼承人阿格蘭德擴充成著名《波恩巡天星表》。

1837年,貝塞爾發(fā)覺天鵝座61正在非常遲緩地改變位置,第二年,他宣告這顆星視差是0.31弧秒,這是世界上最早被測定恒星視差之一。第4頁三維波動方程:三維熱傳導(dǎo)方程:分離變量:一、幾個微分方程引入對u(r),得到:第5頁xyz球坐標(biāo)下:第6頁球貝塞爾方程歐拉方程k=0k=0第7頁連帶勒讓德方程:勒讓德方程:m=0第8頁xyz柱坐標(biāo)下:第9頁貝塞爾方程第10頁?。汉ツ坊羝澐匠虆?shù)形式貝塞爾方程?。?1Sturm-Liouville(施圖姆-劉維爾)型方程貝塞爾方程勒讓德方程取:另一路徑:第11頁定義:基本性質(zhì):證實:二、伽馬函數(shù)基本知識第12頁求證:令t=u2其它結(jié)論第13頁變系數(shù)二階線性常微分方程,其解稱為貝塞爾函數(shù)

階貝塞爾方程不能在x=0附近展開成冪級數(shù),因為x=0是它正則奇點對于變系數(shù)方程y+p(x)y+q(x)y=0,假如xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展開成冪級數(shù),則在這個鄰域內(nèi)方程有廣義冪級數(shù)解Ck是展開系數(shù),c是待定常數(shù)三、貝塞爾方程求解第14頁代入貝塞爾方程第15頁要使等式兩邊成立,則x各次冪系數(shù)為零第16頁將c=

v代入(2),得C1=0先考慮c=v情況,代入(3),得(4)第17頁一個特解為C0為任意常數(shù),通常取第18頁v階第一類貝塞爾函數(shù)第19頁對于任意x(-,+),所以級數(shù)y1收斂區(qū)間為

(-,+)在x=0時,令第20頁再考慮c=-v情況,得到貝塞爾方程通解為:其中v為實數(shù)(不是整數(shù)),A、B為待定系數(shù)第21頁整數(shù)階貝塞爾函數(shù)其中v不是整數(shù)當(dāng)v是整數(shù)時第22頁Yv稱為第二類v階貝塞爾函數(shù)(也稱諾伊曼或牛曼函數(shù)),與Jv(x)是線性無關(guān)v階貝塞爾方程通解:假如v不是整數(shù),其通解還可表示為第23頁第二類貝塞爾函數(shù)圖象貝塞爾函數(shù)圖象貝塞爾、牛曼函數(shù)圖象第24頁第25頁第26頁第27頁四、貝塞爾函數(shù)基本性質(zhì)1、生成函數(shù):假如一個函數(shù)級數(shù)展開式系數(shù)是貝塞爾函數(shù),則稱該函數(shù)為貝塞爾函數(shù)生成函數(shù)或母函數(shù)。假如有則稱f(x,r)為Jn(x)生成函數(shù),r為參數(shù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)生成函數(shù)為第28頁2、貝塞爾函數(shù)遞推公式對任意v都成立第29頁例1第30頁例2計算積分利用第31頁例3求證:證實:利用第32頁例4求證:證實:利用第33頁3、貝塞爾函數(shù)零點●●●●●●●零點概念與初步印象第34頁●●●●●●●關(guān)于零點幾個結(jié)論(1)Jn(x)有沒有窮多個單重實零點,且這無窮多個零點在x軸上是關(guān)于原點對稱分布著,因而Jn(x)必有沒有窮多個正零點(2)Jn(x)零點與Jn+1(x)零點是彼此相間分布,即Jn(x)任意兩個零點之間必存在一個且僅有一個Jn+1(x)零點(3)當(dāng)x值充分大時,Jn(x)兩個相鄰零點之間距離靠近

,即Jn(x)幾乎是以2

為周期第35頁●●注意:這里指標(biāo)(n),僅表示第n

階貝塞爾函數(shù),不要與n

階導(dǎo)數(shù)混同?!瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦?6頁●●●●●●●第37頁第38頁希望光纖傳輸單模,要求波導(dǎo)歸一化頻率滿足0<V<2.405。光纖(光導(dǎo)纖維)是一個圓柱對稱介質(zhì)光波導(dǎo)。縱向電場分量Ez滿足后續(xù)課程中一個應(yīng)用:圓柱坐標(biāo)系中第39頁4、貝塞爾函數(shù)漸近公式第40頁5、貝塞爾函數(shù)正交性說明,n階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間[0,R]上帶權(quán)r正交第41頁貝塞爾函數(shù)是正交完備,能夠?qū)⒁粋€定義在區(qū)間[0,R]函數(shù)f(r)展開為展開系數(shù)由此式所確定Am被稱為傅立葉-貝塞爾系數(shù)傅立葉-貝塞爾級數(shù)第42頁例1解第43頁第44頁例2解第45頁備用展開系數(shù)展開式第46頁例解套路邊界條件需“翻譯”一、建立方程第47頁取D=0第二類貝塞爾函數(shù)在

=0不是有界第48頁二、求本征值、本征函數(shù)由邊界條件得第49頁三、由疊加原理寫出普通解。普通解:本征解:第50頁四、確定系數(shù)第51頁代入式(4.68),得到普通解:第52頁在圓柱形波導(dǎo)中電磁波傳輸問題;圓柱體中熱傳導(dǎo)問題;圓形(或環(huán)形)薄膜振動模態(tài)

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