第1講-數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解條件()市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)理方程第1頁什么是數(shù)學(xué)物理方程？物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生偏微分方程（廣義上也包含積分方程和微分積分方程），它們反應(yīng)了支配各種自然現(xiàn)象基本規(guī)律。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（流體力學(xué)、固體力學(xué)等）、電磁學(xué)、傳熱學(xué)、量子力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)等方面基本方程都是數(shù)學(xué)物理方程范圍。

緒論第2頁本課程研究對(duì)象第3頁數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆課程內(nèi)容三種方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù)☆數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象數(shù)學(xué)微分方程。第4頁§1.1弦振動(dòng)方程與定解條件有一個(gè)完全柔軟均勻弦，沿水平直線繃緊，而后以某種方法激發(fā)，使弦在同一個(gè)平面上作小振動(dòng)．列出弦橫振動(dòng)方程。u(x,t)第5頁幾點(diǎn)假設(shè)：弦是柔軟：弦內(nèi)相鄰點(diǎn)之間只存在張力，張力沿著弦切線方向，一個(gè)小段振動(dòng)必定帶動(dòng)它鄰段，而鄰段又帶動(dòng)它自己鄰段，這么，一個(gè)小段振動(dòng)必定傳輸?shù)秸麄€(gè)弦。這種振動(dòng)傳輸現(xiàn)象叫作波。忽略弦所受重力影響弦沒有縱向振動(dòng)。弦橫向振幅很小。第6頁均勻弦橫振動(dòng)方程推導(dǎo)1、確定物理量：位移量—2、研究鄰近點(diǎn)相互作用：

受力分析3、短時(shí)間內(nèi)這種相互作用對(duì)所研究物理量影響：

物理定律：F=ma

4、數(shù)學(xué)語言描述，并簡化整理→數(shù)學(xué)物理方程

建立如圖坐標(biāo)系，取很多小段一段進(jìn)行分析：第7頁進(jìn)行受力分析：（1）（2）所取小段縱向和橫向運(yùn)動(dòng)方程分別為：——弦橫向加速度第8頁方程推導(dǎo)：因?yàn)槭切×?，利用泰勒展開，可有以下近似：

第9頁

（1）（2）兩式可化為：（3）（4）弦中各點(diǎn)張力T相等；張力既跟空間量無關(guān)，又與時(shí)間無關(guān)，記為常數(shù)T。進(jìn)而：（5）第10頁因?yàn)閐x很小，所以：（5）（6）（7）（8）—弦自由振動(dòng)方程

——a為弦橫振動(dòng)傳輸速度。第11頁受迫振動(dòng)方程：當(dāng)弦在振動(dòng)過程中還受到外加橫向作用力時(shí)，設(shè)每單位長度弦所受橫向力為F(x,t),則（2）式應(yīng)修改為：

（2）（9）第12頁受迫振動(dòng)方程續(xù)：（10）——受迫振動(dòng)方程

（8）其中：為力密度，表示單位質(zhì)量所受外力。

第13頁2.均勻桿縱振動(dòng)方程利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立方程：位移變量應(yīng)變應(yīng)力

胡克定律：應(yīng)力和應(yīng)變成正比Y：楊氏模量第14頁第15頁——縱振動(dòng)在桿中傳輸速度—桿縱振動(dòng)方程每單位長度上每單位橫截面積所受縱向外力F—桿受迫振動(dòng)方程第16頁定解條件引入定解條件必要性：從物理多角度看：物理方程僅能表示普通性，要個(gè)性化物體運(yùn)動(dòng)需要附加條件。從數(shù)學(xué)上看：微分方程解任意性也需要附加條件來確定，這些附加條件就是初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。包含初始條件和邊界條件第17頁初始條件

定義：我們?cè)谇蠼夂袝r(shí)間變量t數(shù)理方程時(shí)，往往必須追溯到某個(gè)所謂“初始時(shí)刻”情況，我們稱物理過程初始狀態(tài)數(shù)學(xué)表示式為初始條件。初始條件應(yīng)該完全描寫初始時(shí)刻（t=0

時(shí)）介質(zhì)內(nèi)部及邊界上任意一點(diǎn)情況。

弦振動(dòng)方程：給出兩個(gè)初始條件，即初始時(shí)刻位移和速度

初始條件個(gè)數(shù)：等于方程中關(guān)于時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)第18頁初始條件續(xù)：xuhx＝0x＝lx＝l/2F第19頁邊界條件

定義：我們?cè)谇蠼夥匠虝r(shí)要考慮邊界情況，我們稱物理過程邊界情況數(shù)學(xué)表示式為邊界條件。

如：弦橫振動(dòng)過程，弦“兩端固定”，邊界條件就是：兩端自由：

一端自由，一端固定？

兩端受外力情況？

第20頁三類邊界條件第一類邊界條件（Dirichlet條件（狄利克萊）,給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)值

第二類邊界條件（Neuman條件（紐曼））,給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)法向微商值

第三類邊界條件（混合邊界條件）：給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)值與法向微商值之間線性關(guān)系第21頁邊界條件續(xù)：當(dāng)f＝0

時(shí)邊界條件稱為齊次。前面三類邊界條件分別為第一、第二、第三類齊次邊界條件。邊界條件個(gè)數(shù)：與初始條件個(gè)數(shù)類似，等于方程中關(guān)于空間變量偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)。邊界條件關(guān)鍵點(diǎn)：只需給出恰當(dāng)說明邊界上物理情況即可，而非整個(gè)系統(tǒng)第22頁物理定律：能量守恒定律和熱傳導(dǎo)Fourier定律熱傳導(dǎo)Fourier定律：若沿x方向有一定溫度差，在x方向也就有一定熱量傳遞。從宏觀上看，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過垂直x方向單位面積熱量q與溫度空間改變率成正比。

q-熱流密度，單位時(shí)間單位面積流過熱量；k-熱導(dǎo)率

三維空間§1.2熱傳導(dǎo)方程與定解條件第23頁熱傳導(dǎo)方程續(xù)：圖1.5熱傳導(dǎo)方程選取體元時(shí)間內(nèi)沿x方向流入體元熱量：

建模：選取以長方體為體元?jiǎng)t：（11）第24頁時(shí)間內(nèi)沿y方向流入體元熱量：

時(shí)間內(nèi)沿z方向流入體元熱量：

（12）（13）能量守恒定律：凈流入熱量應(yīng)該等于介質(zhì)在此時(shí)間內(nèi)溫度升高所需要熱量。

第25頁（14）這里是介質(zhì)密度，c是比熱容記：Laplace算子（16）（15）擴(kuò)散率，或溫度傳導(dǎo)率

第26頁介質(zhì)內(nèi)存在熱源時(shí)假如在介質(zhì)內(nèi)有熱量產(chǎn)生（比如，有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，或者通有電流，…），單位時(shí)間內(nèi)單位體積介質(zhì)產(chǎn)生熱量為F(x,y,z,t)（14）F(x,y,z,t)（17）（18）第27頁初始條件

弦振動(dòng)方程：給出兩個(gè)初始條件，即初始時(shí)刻位移和速度

熱傳導(dǎo)方程：初始時(shí)刻溫度

初始條件個(gè)數(shù)：等于方程中關(guān)于時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)邊界條件

第28頁穩(wěn)定溫度分布：在一定條件下，物體溫度到達(dá)穩(wěn)定，即不隨時(shí)間改變時(shí)，則溫度分充滿足Poisson（泊松）方程：

沒有熱源或者匯

，即f=0Poisson方程Laplace方程（20）（19）§1.3拉普拉斯方程與定解條件無初始條件情況：穩(wěn)定場問題

系統(tǒng)在周期性“外力”驅(qū)動(dòng)下，只關(guān)心其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如：水聲中,單頻穩(wěn)態(tài)激勵(lì)輻射聲場、如靜電場、穩(wěn)定濃度分布和溫度分布等。第29頁4、小結(jié):物理上：反應(yīng)波動(dòng)過程波動(dòng)方程反應(yīng)擴(kuò)散過程熱傳導(dǎo)方程反應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài)Poisson方程和Laplace方程數(shù)學(xué)上：波動(dòng)方程，在數(shù)學(xué)上屬于雙曲型方程熱傳導(dǎo)方程，在數(shù)學(xué)上屬于拋物型方程Poisson方程和Laplace方程，在數(shù)學(xué)上屬于橢圓型方程第30頁泛定方程例題第31頁習(xí)題1

在弦橫振動(dòng)問題中，若弦受到一個(gè)與速率成正比阻力，試導(dǎo)出弦阻尼振動(dòng)方程。習(xí)題2

試推導(dǎo)一均質(zhì)細(xì)圓錐桿縱振動(dòng)方程。第32頁例題解在弦橫振動(dòng)問題中，若弦受到一個(gè)與速率成正比阻力，試導(dǎo)出弦阻尼振動(dòng)方程。設(shè)位移函數(shù)為u(x,t)

，依題意單位長弦受到阻力為，如圖，弦中任意一小段dx

在振動(dòng)過程中受力情況為：縱向（水平方向）：橫向（豎直方向）：第33頁小振動(dòng)條件下，運(yùn)動(dòng)方程化簡為：∵弦在作橫振動(dòng)，∴由牛頓第二定律有即第34頁∴弦阻尼橫振動(dòng)方程為第35頁設(shè)桿做縱振動(dòng)位移函數(shù)為u(x,t)

，桿楊氏模量為E

，體密度為r

，在x

處橫截面積為S(x)，dx

做縱振動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為：例題解試推導(dǎo)一均質(zhì)細(xì)圓錐桿縱振動(dòng)方程。縱向（水平方向）：兩邊同除以dx第36頁將代入上式，可得：約去p

和tana

，化簡整理得令則第37頁定解條件例題第38頁舉例熱傳導(dǎo)方程初始條件：邊界條件：初始時(shí)刻各點(diǎn)溫度

邊界上各點(diǎn)溫度

單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過單位面積邊界流入熱量為j(S,t)：法向微商，梯度矢量在外法線上投影。若邊界絕熱，則j

=0，有

介質(zhì)經(jīng)過邊界按牛頓冷卻定律散熱。牛頓冷卻定律：單位時(shí)間經(jīng)過單位面積表面與外界交換熱量正比于介質(zhì)表面溫度與外界溫度u0

之差，h

為百分比系數(shù)。第39頁例題解長為l

均勻細(xì)桿，x

=0

端固定，另一端受到沿桿長方向力F

，若撤去F

瞬間為t

=0

時(shí)刻，求t

>0桿縱振動(dòng)定解條件。邊界條件：（t

>0無外力作用，既無應(yīng)變）初始條件：（胡克定律，S：橫截面積，E：楊氏模量）第40頁例題解長為l，x

=0

端固定均勻細(xì)桿，處于靜止?fàn)顟B(tài)中，在t

=0

時(shí)，一個(gè)沿著桿長方向力F

加在桿另一端上，求t

>0時(shí)桿上各點(diǎn)位移定解條件。邊界條件：初始條件：胡克定律，

S：橫截面積，

E：楊氏模量第41頁例題解長為l

均勻桿導(dǎo)熱問題（1）桿兩端溫度保持零度；（2）桿兩端均絕熱（3）桿一端恒溫零度，另一端絕熱試寫出三種情況下邊界條件。（1）（2）桿長方向熱量流動(dòng)由傅里葉定律知，熱流密度兩端絕熱，既無熱量流動(dòng)，所以設(shè)u(x,t)為桿溫度函數(shù)（3）或以上均為齊次邊界條件。第42頁定解問題例題第43頁

例題解彈性桿原長為l

，一端固定，另一端被拉離平衡到位置b

而靜止，試導(dǎo)出在外力F(t)

作用下桿定解問題。彈性桿縱振動(dòng)所滿足方程為：初始條件：邊界條件：設(shè)桿長方向?yàn)閤

軸，位移函數(shù)為u(x,t)，單位質(zhì)量受到外力為f(t)第44頁

例題解長為l

均勻弦，兩端固定，弦中張力為T

，在x0

處以橫向力F

拉弦，到達(dá)穩(wěn)定后放手任其振動(dòng)，若視振動(dòng)為小振動(dòng)試寫出定解問題。數(shù)理方程：初始條件：邊界條件：第45頁在x0

左右兩邊，弦中張力分別為T1

和T2

，t

=0

時(shí)刻受力分析：初始條件：豎直方向：水平方向：小振動(dòng)條件下：可知：第46頁三類定解問題：初值問題：如無界弦自由振動(dòng)邊值問題：狄氏問題混合問題：兩端固定弦振動(dòng)

§1.4基本概念與基本知識(shí)第47頁

1807年12月21日，F(xiàn)ourier向法國科學(xué)院宣告：任意周期函數(shù)都能展開成正弦及余弦無窮級(jí)數(shù)。當(dāng)初整個(gè)科學(xué)院，包含拉格朗日等，都認(rèn)為他結(jié)果是荒謬。傅立葉兩個(gè)最主要貢獻(xiàn):“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系正弦信號(hào)加權(quán)和”——傅里葉第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)加權(quán)積分表示”

——傅里葉第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉級(jí)數(shù)第48頁

1.傅里葉級(jí)數(shù)引進(jìn)

在物理學(xué)中,我們已經(jīng)知道最簡單波是諧波(正弦波),它是形如

波,其中是振幅,是角頻率,是初相位.其它波如矩形波,鋸形波等往往都能夠用一系列諧波疊加表示出來.（一）周期函數(shù)傅里葉展開非正弦周期函數(shù):矩形波不一樣頻率正弦波逐一疊加第49頁第50頁第51頁由以上能夠看到：一個(gè)比較復(fù)雜周期函數(shù)能夠看作是許多不一樣頻率簡諧函數(shù)（三角函數(shù)）疊加第52頁2三角級(jí)數(shù)：引例中簡諧振動(dòng)函數(shù)（1）?j+w+=￥=10)sin()(kkkxkAAtf?wj+wj+=￥=10)sincoscossin(kkkkkxkAxkAA,sinkkkAaj=,coskkkAbj=則(1)式右端級(jí)數(shù)可改寫為(2)?++￥=10)sincos(2kkkkxbkxaa由三角函數(shù)組成函數(shù)級(jí)數(shù)成為三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開且對(duì)周期為2p周期函數(shù)，w=1第53頁3函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)a0，ak，bk怎么求解?三角函數(shù)系正交性第54頁三角函數(shù)系正交性(1)三角函數(shù)系LL,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1kxkxxxxx即

i),0cos=òpp-kxdx,0sin=òpp-kxdx.],[:)2(上積分等于零任意兩個(gè)不一樣函數(shù)在正交pp-ii).0cossin=òpp-nxdxkx),2,1,(L=nk其中第55頁iii),,,0sinsin?íì=p1=òpp-nknknxdxkx,,,0coscos?íì=p1=òpp-nknknxdxkx),2,1,(L=nk其中第56頁傅里葉系數(shù).)1(0a求可得第57頁.)2(ka求ò=òpp-pp-kxdxakxdxxfcos2cos)(0]cossincoscos[1òò+?+pp-pp-￥=kxdxnxbkxdxnxaknnò=pp-kxdxak2cos,p=ka可得òpp-p=kxdxxfakcos)(1),3,2,1(L=k第58頁可得.)3(kb求òòpp-pp-=kxdxakxdxxfsin2sin)(0]sinsinsincos[1òò?pp-pp-￥=++kxdxnxbkxdxnxannn,p=kbòp=pp-kxdxxfbksin)(1),3,2,1(L=k第59頁從而得到傅里葉系數(shù)???íì=p==p=òòpp-pp-),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1LLkkxdxxfbkkxdxxfakk???íì=p==p=òòpp2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1LLkkxdxxfbkkxdxxfakk或第60頁把以上得到系數(shù)代入三角級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)?++￥=10)sincos(2kkkkxbkxaa第61頁4正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)普通說來,一個(gè)函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).不過,也有一些函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).1.定理設(shè)是周期為函數(shù),且可積,則(1)

當(dāng))(xf為奇函數(shù)時(shí)，它傅里葉系數(shù)為

),2,1(sin)(2),2,1,0(00LL=p===òpkkxdxxfbkakk

第62頁(2)當(dāng))(xf為偶函數(shù)時(shí),它傅里葉系數(shù)為

),2,1(0),2,1,0(cos)(20LL===p=òpkbkkxdxxfakk

2.定義

(1)假如)(xf為奇函數(shù),其傅立葉級(jí)數(shù)kxbkksin1?￥=稱為正弦級(jí)數(shù)

(2)假如)(xf為偶函數(shù),

其傅立葉級(jí)數(shù)kxaakkcos210?+￥=稱為余弦級(jí)數(shù).

第63頁解函數(shù)圖象),2,1,0(,0L==\kak第64頁òp=p0sin)