6.3 三角形的中位線（備作業(yè)）-八年級數(shù)學(xué)下冊同步備課系列(北師大版)（解析版）

6.3三角形的中位線一、單選題1．如圖在中，點(diǎn)點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．中，點(diǎn)D、E分別為邊上的一點(diǎn)．給出命題：①如果D為的中點(diǎn)，且，那么E也是的中點(diǎn)；②如果，那么．其中（

）．A．只有①正確 B．只有②正確 C．①②都正確 D．①②都不正確【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可判定①正確；由BC=2DE，不能得到DE//BC，據(jù)此判斷②錯誤．解：如圖，①中，D為的中點(diǎn)，且，是的中位線，E也是的中點(diǎn)，故①正確；②D為的中點(diǎn)，無法判斷與是否相等，故不能判斷，故②錯誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)D、E、F分別為∠ABC三邊的中點(diǎn)，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為【

】A．5 B．10 C．20 D．40【答案】C【解析】由已知，點(diǎn)D、E、F分別為∠ABC三邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，得AB、BC、AC分別是FE、DF、DE的兩倍．因此，由△DEF的周長為10，得△ABC的周長為20．故選C．4．如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，若BD＝16，則EF的長為（）A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)求解即可．∵AD＝AC，∴是等腰三角形，∵AE⊥CD，∴，∴E是CD的中點(diǎn)，∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的線段長問題，掌握等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．在□ABCD中，對角線AC和BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AB=6，BC=8,BD=12，則△DOE的周長是（

）A．24. B．13. C．10. D．8.【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得出答案．∵?ABCD對角線相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，∴，AD==8，，EO是△ABD的中位線，∴，∴△DOE的周長．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)的應(yīng)用,利用三角形中位線定理求得是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別為、的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．不確定【答案】C【解析】【分析】由題意易得，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系可進(jìn)行排除選項(xiàng)．解：∵E，F(xiàn)分別為、的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，∴，由三角形三邊關(guān)系可得：，即，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，則有，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線，熟練掌握三角形中位線是解題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC的周長為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P．若BC＝10，則PQ的長為(

)A． B． C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】首先判斷△BAE、△CAD是等腰三角形，從而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周長為26，及BC=10，可得DE=6，利用中位線定理可求出PQ．解：∵BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，BQ=BQ∴∴AB=BE，AQ=QE同理可證AC=CD，AP=PD∵△ABC的周長為26，∴AB+BC+AC=26，∴AB+AC=16，∴BE+CD=16，∴BD+DE+CD=16∴BC+DE=6∴DE=6，又∵Q、P分別是AE，AD的中點(diǎn)，∴PQ是△ADE的中位線，∴8．如圖，中，、分別是、的中點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，若，則的長是A．3 B．2 C． D．4【答案】A【解析】【分析】利用中位線定理，得到DE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角外角的關(guān)系，得到DF=DB，進(jìn)而求出DF的長．在中，、分別是、的中點(diǎn)，，，平分，．．．在中，，，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理和等腰三角形的判定于性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，當(dāng)出現(xiàn)角平分線，平行線時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．9．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長為(

)A．12 B．14 C．24 D．21【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC＝，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，∴四邊形EFGH的周長＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四邊形EFGH的周長＝7+5＝12.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線定理，勾股定理，解題關(guān)鍵在于求出BC的值10．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC′，連接BC′，E為BC′的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為(

).A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接CM，EM，當(dāng)CE＝CM+EM時(shí)，CE的值最大，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位線的性質(zhì)得到EMAC′＝1，根據(jù)勾股定理得到AB＝2，即可得到結(jié)論．取AB的中點(diǎn)M，連接CM，EM，∴當(dāng)CE＝CM+EM時(shí)，CE的值最大．∵將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC′，∴AC′＝AC＝2．∵E為BC′的中點(diǎn)，∴EMAC′＝1．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．中位線性質(zhì)：三角形的中位線____第三邊，并且等于第三邊的__________.【答案】

平行于

一半【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，即可解答.三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，故答案為(1).平行于

(2).一半.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理.12．如圖，A、B兩點(diǎn)位于一個池塘的兩端，冬冬想用繩子測量A、B兩點(diǎn)間的距離，但繩子不夠長，一位同學(xué)幫他想了一個辦法：先在地上取一個可以直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，找到AC，BC的中點(diǎn)D、E，并且測得DE的長為15m，則A、B兩點(diǎn)間的距離為__________【答案】30m【解析】【分析】由D，E分別是邊AC，BC的中點(diǎn)，首先判定DE是三角形的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線定理求得AB的長即可．解：∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，得：AB=2DE=30m．故答案為：30m．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的運(yùn)用；熟記三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長為_____．【答案】15【解析】∵?ABCD的周長為36，∴2（BC+CD）=36，則BC+CD=18．∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線，DE=CD．∴OE=BC．∴△DOE的周長="OD+OE+DE="OD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長為15．故答案是：15．14．如圖，在中，，分別是和的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，若，則的長為_________．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．解：∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD=MN=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．15．如圖，在中，，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則的長為___________．【答案】【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接，利用三角形中位線定理證得為等腰直角三角形，即可求得答案．如圖，取的中點(diǎn)，連接，．∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線，為的中位線，∴．∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個動點(diǎn)，連接BP、GP，則的周長的最小值是____．【答案】3【解析】【分析】連接AG交EF于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明A、G關(guān)于EF對稱，得到P，△PBG周長最小，求出AB+BG即可得到答案．解：要使△PBG的周長最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，連接AG交EF于M，∵等邊△ABC，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴AG⊥BC，EF∥BC，∴AG⊥EF，AM=MG，∴A、G關(guān)于EF對稱，即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí)BP+PG最小，即△PBG的周長最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．故答案為3．17．如圖所示，在中，點(diǎn)，，分別是、、的中點(diǎn)，，，分別是、、的中點(diǎn)，…，以此類推．若的周長為1，則的周長為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)得出△的周長為的一半，再以此類推，即可得出答案.∵點(diǎn)，，分別是、、的中點(diǎn)∴，，∴又∵，，分別是、、的中點(diǎn)∴，，∴…∴故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三條邊的一半.三、解答題18．如圖，在△ABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．證明：四邊形DECF是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】先由中位線定理得到DF∥BC，，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可．證明：∵D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．∴DF∥BC，，∴四邊形DECF是平行四邊形．19．已知，如圖在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是BC、CA、AB邊上的中點(diǎn)．求證：（1）四邊形AFDE是平行四邊形；

（2）周長等于AB+AC．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DE和AF平行且相等，從而得出平行四邊形；(2)根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出DF=EC，DE=BF，從而得出答案．證明：(1)∵D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∴DE=AF，DE∥AF，∴四邊形AFDE是平行四邊形；(2)、∵點(diǎn)D、E、F分別是BC、CA、AB邊上的中點(diǎn)，∴DF=EC，DE=BF，∴四邊形AFDE的周長=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC．20．如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的長；（2）在△ABC中，求BC邊上高的長．【答案】（1）BD=3；（2）BC邊上高的長為6．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出BD的長即可；（2）利用三角形中位線定理得出BD=AE，即可得到結(jié)論．解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5∴BD==3；（2）延長CB，過點(diǎn)A作AE⊥CB延長線于點(diǎn)E∵DB⊥BC，AE⊥BC∴AE∥DB∵D為AC邊的中點(diǎn)∴BD=AE∴AE=6即BC邊上高的長為6．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理；三角形中位線定理．21．如圖，在中，，中線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：，；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】【分析】（1）利用中位線性質(zhì)可得，．，．可證四邊形是平行四邊形．由平行四邊形性質(zhì)可得，．（2）由和，可推得．求由點(diǎn)是中點(diǎn)，．由三等分可求．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得四邊形的面積．（1）證明：∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，．∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，．∴，．∴四邊形是平行四邊形．∴，；（2）解：∵，∴．又∵，∴．∵，，∵，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴．∴．∴四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查中位線性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，掌握中位線性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，注意中線與中位線的區(qū)別以及它們性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)．（1）若EF＝5cm，則AB＝______cm；若BC＝9cm，則DE＝_______cm；（2）中線AF與中位線DE有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想．【答案】（1）10、4.5；（2）中線AF與中位線DE互相平分；理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”可得解；（2）由三角形的中位線的性質(zhì)可知四邊形ADFE是平行四邊形，因此中線AF與中位線DE互相平分．解：（1）∵在△ABC中，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB且EFAB．又EF＝5cm，∴AB＝10cm．同理，DEBC＝4.5cm；故答案是：10、4.5（2）互相平分，理由：如圖，連接DF，∵AD＝EF，AD∥EF，∴四邊形ADFE為平行四邊形，∴中線AF與DE的關(guān)系是互相平分．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連．23．如圖，等邊△ABC的邊長是4，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF=BC，連接CD和EF．（1）求證：DE=CF；（2）求EF的長；（3）求四邊形DEFC的面積．【答案】（1）見解析；（2）EF=；（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形中位線定理即可解決問題；（2）先求出CD，再證明四邊形DEFC是平行四邊形即可；（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解決問題．解：（1）在△ABC中，∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵BC＝4，BD＝2，∴CD＝＝，∵DE∥CF，DE＝CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴EF＝CD＝；（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，∴DH＝DC＝，∵DE＝CF＝2，∴S四邊形DEFC＝CF?DH＝2×＝．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，記住平行四邊形的面積公式，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．24．如圖，在四邊形中，，、分別是邊、的中點(diǎn)，的延長線分別、的延長線交于點(diǎn)、，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，根據(jù)三角形中位線定理即可得到PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，進(jìn)而得出∠AHF=∠BGF．解：如圖所示，連接BD，取BD的中點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，∵E、F分別是DC、AB邊的中點(diǎn)，∴EP是△BCD的中位線，PF是△ABD的中位線，∴PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，又∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∴∠AHF=∠BGF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理的運(yùn)用，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)．（1）求證：FG＝FH；（2）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，F(xiàn)G⊥FH？并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)∠A＝90°時(shí)，F(xiàn)G⊥FH．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論；（2）延長FG交AC于N，根據(jù)三角形中位線定理得到FH∥AC，F(xiàn)N∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．（1）證明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴DB＝EC，∵點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)，∴FG是△EDB的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，∴FG＝BD，F(xiàn)H＝CE，∴FG＝FH；（2）解：延長FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，∴FH∥AC，F(xiàn)N∥AB，∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴當(dāng)∠A＝90°時(shí)，F(xiàn)G⊥FH．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．26．如圖，圖1中ΔABC是等邊三角形，DE是中位線，F(xiàn)是線段BC延長線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE，EF.(1)求證：BE=EF；(2)若將DE從中位線的位置向上平移，使點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，其他條件不變，如圖2，則(1)題中的結(jié)論是否成立？若成立,請證明；若不成立.請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)結(jié)論仍然成立；(3)【解析】【分析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)以及三線合一證明得出結(jié)論;(2)由中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)證明(1)證明：∵ΔABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC∵DE是中位線，∴E是AC的中點(diǎn)，∴BE平分∠ABC，AE=EC∴∠EBC=∠ABC=∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠F∵∠CEF+∠F=∠ACB=，∴∠F=，∴∠EBC=∠F，∴BE=EF(2)結(jié)論仍然成立.∵DE是由中位線平移所得；∴DE//BC，∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=，∴ΔADE是等邊三角形，∴DE=AD=AE，∵AB=AC，∴BD=CE，∵AE=CF，∴DE=CF∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=，∴∠FCE=∠EDB，∴ΔBDE≌ΔECF，∴BE=EF【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用三線合一證明得出結(jié)論27．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ABD