八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-第06講 解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的解題技巧(3類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第06講解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的解題技巧(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】 1【考點(diǎn)二過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】 6【考點(diǎn)三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 18【考點(diǎn)一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】例題：（2024上·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，，是的中點(diǎn)．

(1)求證：是等腰三角形(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義得，由得即可求證；（2）先求出，根據(jù)“三線合一”得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴由（1）得：∵是等腰三角形，是的中點(diǎn)．∴∴．【變式訓(xùn)練】1．（2024下·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┮阎谥?，的平分線交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：是等腰三角形；(2)如圖2，若平分交于，，在邊上取點(diǎn)使，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出答案；（2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出答案．【詳解】（1）證明：是的平分線，，，，，，即是等腰三角形；（2）解：，，，又平分，，由（1）可知，，，，，在中，，，，又，，．2．（2023上·全國·八年級(jí)期末）如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于E，交于F．

(1)當(dāng)，則___________；(2)當(dāng)時(shí)，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)8(2)，見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證，即可得出答案；（2）與（1）同理由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證．【詳解】（1）解：∵，∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB，∵和的平分線交于點(diǎn)O，∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO，∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC，∴，∴，故答案為：8；（2），理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴．3．（2023上·吉林松原·八年級(jí)校考期末）【問題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識(shí)后，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點(diǎn)，常過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易得為等腰三角形．(1)【基本運(yùn)用】如圖2，把長方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重合部分的形狀是_______．(2)【類比探究】如圖3，中，內(nèi)角與外角的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)【拓展提升】如圖4，四邊形中，為邊的中點(diǎn)，平分，連接，求證：．【答案】(1)是等腰三角形(2)，理由見解析(3)見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料提示，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，為等腰三角形，則，且，可證，由此即可求解；（3）如圖所示，過點(diǎn)作，為邊的中點(diǎn)，可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，得出為等腰三角關(guān)系，證明平分，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證明，即直角三角形，由此即可求證．【詳解】（1）是等腰三角形；理由：在長方形中，，，由折疊性質(zhì)可得，，，是等腰三角形；故答案為：等腰三角形；（2）解：，理由如下，∵平分，，∴，∴為等腰三角形，則，平分，，，為等腰三角形，即，，．（3）證明：如圖所示，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，即，，平分，，是等腰三角形，即，，，，，，，，即，，，．【考點(diǎn)二過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】例題：（2023上·吉林通化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且．

(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖1，則線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)若點(diǎn)不是的中點(diǎn)，如圖2，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(提示：過點(diǎn)作，交于點(diǎn))(3)若點(diǎn)在線段的延長線上，（2）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)成立，理由見解析【分析】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)與判定．（1）求出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，即可得出答案；（2）過作，交于，證明，推出，證是等邊三角形，推出，即可得出答案；（3）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明，得到，即可得到．【詳解】（1）解：，理由如下：是等邊三角形，．∵點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，，又，．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

則，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，又，；（3）解：結(jié)論仍成立，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

則，，是等邊三角形，，，，，，，，，在和中，，，，又，．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀┮阎本€，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線，上的點(diǎn)，，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中始終滿足．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，求的長．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，試確定線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；（1）證明為等邊三角形，得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，證出，由證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，為等邊三角形，∴，∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，∴，，，∵，；（2）解：，理由如下：過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖，∵，∴，，∵，，，，∴，，，在和中，∵，∴，，∵，．2．（2023上·吉林長春·八年級(jí)校考期末）已知在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長線上，且．(1)【感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)【類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)說明理由；（提示如下：過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．）(3)【拓展】在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且，若的邊長為2，，則的長是______．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)5【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再由等邊三角形的性質(zhì)得，然后證，得，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，證為等邊三角形，得，再證，得，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F，同（2）得是等邊三角形，，則，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（2），理由如下：過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，如圖3所示：同（2）得：是等邊三角形，，∴，∵，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2024上·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長線移動(dòng)，并與點(diǎn)P同時(shí)停止．已知點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，連接與線段相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況)．(1)求證:；(2)求證:；(3)如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過程中，線段的長度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)為定值5，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準(zhǔn)確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）利用、的移動(dòng)速度相同，得到，利用線段間的關(guān)系即可推出；（2）過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，利用等邊對(duì)等角結(jié)合已知可證，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得，可知為等腰三角形，結(jié)合，可得出即可得出為定值．【詳解】（1）證明：、的移動(dòng)速度相同，，，；（2）如圖，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，，，，，，，由（1）得，，在與中，，，；（3）解：為定值5，理由如下：如圖，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得：，為等腰三角形，，，由（2）得，，，為定值5．4．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)齊齊哈爾市第三中學(xué)校校考期末）綜合與實(shí)踐：已知：等邊．【觀察猜想】如圖①：D為線段上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)E．可知為______三角形．【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖②：D為線段外一點(diǎn)，連接，以為一邊作等邊三角形．連接．猜想與數(shù)量關(guān)系為______，直線與相交所產(chǎn)生的交角中的銳角為______．【深入探究】：D為線段上一點(diǎn)，F(xiàn)為線段延長線上一點(diǎn)，且．（1）特殊感知：當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系為______；（2）特例啟發(fā)：當(dāng)D為上任意一點(diǎn)，其余條件不變，如圖④，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）拓展延伸：在等邊三角形中，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)F在直線上，且．若的邊長為2，，則的長為______．【答案】觀察猜想：等邊；實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：，；（1）；（2），證明見解析；（3）5或1【觀察猜想】利用等邊三角形的性質(zhì)和判定即可證明；【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】利用等邊三角形的性質(zhì)證明即可得出數(shù)量關(guān)系，再用三角形內(nèi)角和定理即可得出角度；【深入探究】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)求解即可；（2）正確作出輔助線證明三角形全等即可；（3）分點(diǎn)D在的延長線上兩種情況討論?！驹斀狻拷猓骸居^察猜想】等邊理由：是等邊三角形，，，，是等邊三角形．實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，理由：都是等邊三角形，，，，，延長交于F，中，，，即，，深入探究（1）特殊感知∶理由：當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，，是等邊三角形，，，，，，，．（2）特例啟發(fā)：猜想，證明：過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．，，．是等邊三角形，．，又，在和中，，，（3）①如圖：②如圖，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時(shí)，作，交直線于點(diǎn)E，，，，的邊長為2，，，，，，，綜上所述，的長是5或1．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定及“直角三角形中30銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形及分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2023上·河南信陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，解答下列問題：如圖1，在中，交于點(diǎn)D，平分，且．(1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按照小亮的思路寫證明過程；(2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）在上截取，使得，連接，根據(jù)角平分線的定義可得，再利用證明，從而可得，，進(jìn)而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)等量代換可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）在上截取，連接，先利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用證明，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：證明：在上截取，使得，∵平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴，∴∵，∴；（2）在上截取，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長為16．【變式訓(xùn)練】1．在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，．(1)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，試說明與的數(shù)量關(guān)系；(3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而證明結(jié)論；（3）在上截取，連接，證明≌，根據(jù)求等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，則，，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：，，，，，，，；（3）解：，理由如下：如圖，在上截取，連接，則，，在和中，，≌，，，是的外角，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)?？计谥校┮阎?，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)．(1)寫出圖1中與相等的角，______；(2)如圖1，若，在圖中找出與相等的線段并證明；(3)如圖2，若，求的長