6.2 平行四邊形的判定（備作業(yè)）-八年級數(shù)學下冊同步備課系列(北師大版)（解析版）

6.2平行四邊形的判定一、單選題1．能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是（

）A．已知平行四邊形的兩鄰邊 B．已知平行四邊形的相鄰兩角C．已知平行四邊形的兩鄰邊和一條對角線 D．已知平行四邊形的兩條對角線【答案】C【解析】【分析】利用平行四邊形的判定定理結合四邊形的不穩(wěn)定性進行判斷即可．解：A、僅僅知道平行四邊形的兩鄰邊根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性知不能確定其形狀和大小；B、已知平行四邊形的相鄰兩角只能大體確定其形狀，但并不能確定其大小，故錯誤；C、能確定其形狀及大小，故正確；D、已知平行四邊形的兩對角線只能確定大小，不能確定形狀，故錯誤．故選：C．【點睛】考查了平行四邊形的判定和不穩(wěn)定性，平行四邊形共有五種判定方法，記憶時要注意技巧；這五種方法中，一種與對角線有關，一種與對角有關，其他三種與邊有關．2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是（

）A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐項判斷即可．解：A、當AB∥CD，AD=BC時，四邊形ABCD可能為等腰梯形，所以不能證明四邊形ABCD為平行四邊形；B、AB∥CD，AB=DC，一組對邊分別平行且相等，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；C、AB∥CD，AD∥BC，兩組對邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；故選：A．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．3．下列命題錯誤的是（

）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定逐項分析即可得．解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，正確，則此項不符合題意；B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，則此項不符合題意；C、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯誤，此項符合題意；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，則此項不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定是解題關鍵．4．下列給出的條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC【答案】C【解析】【分析】平行四邊形的判定定理①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，判斷即可．解：A、根據(jù)AD∥CD，AD＝BC不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；B、根據(jù)∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；C、根據(jù)AB＝CD，AD＝BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項正確；D、根據(jù)AB＝AD，BC＝CD，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了對平行四邊形的判定定理的應用，關鍵是能熟練地運用平行四邊形的判定定理進行推理，此題是一道比較容易出錯的題目．5．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列判斷正確的是（）A．若AO＝OC，則ABCD是平行四邊形B．若AC＝BD，則ABCD是平行四邊形C．若AO＝BO，CO＝DO，則ABCD是平行四邊形D．若AO＝OC，BO＝OD，則ABCD是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件進行逐一判斷即可.解：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形的對角線互相平分∴D能判定ABCD是平行四邊形．若AO＝BO，CO＝DO，證明AC=BD，并不能證明四邊形ABCD是平行四邊形，故C錯誤，若AO＝OC，條件不足，無法明四邊形ABCD是平行四邊形，故A錯誤，若AC＝BD，條件不足，無法明四邊形ABCD是平行四邊形，故B錯誤，故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的判定條件.6．點A、B、C、D在同一平面內，從（1），（2），（3），（4）這四個條件中任選兩個，能使四邊形是平行四邊形的選法有（

）種．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】平行四邊形與邊相關的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，根據(jù)以上判定方法對條件逐一判斷即可得到答案.解：如圖，選?。?），（2），由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，選取（1），（3），由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，選?。?），（4），由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，選?。?），（4），由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故選：【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，熟悉平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.7．如圖，中，，則圖中的平行四邊形的個數(shù)共有（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．11個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的定義即可求解．根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，則圖中的四邊形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四邊形，共9個，故選：C．【點睛】本題可根據(jù)平行四邊形的定義，直接從圖中數(shù)出平行四邊形的個數(shù)，但數(shù)時應有一定的規(guī)律，以避免重復．8．如圖，過?ABCD的對角線BD上一點M分別作平行四邊形兩邊的平行線EF與GH，那么圖中的?AEMG的面積S1與?HCFM的面積S2的大小關系是(

)A．S1=S2 B．S1>S2 C．S1<S2 D．不能確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質和判定得出平行四邊形GBEP、GPFD，證△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面積相等；同理得出△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，相減即可求出答案．∵四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四邊形HBEM、GMFD都是平行四邊形，在△ABD和△CDB中∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面積相等；同理△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，故四邊形AEMG和四邊形HCFM的面積相等，即S1=S2．故選A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出△ABD和△CDB的面積相等，△BEP和△PGB的面積相等，△HPD和△FDP的面積相等，注意：如果兩三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等．9．如圖，是邊延長線上一點，連接，，，交于點．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故A不符合題意；根據(jù)平行線的性質得到∠DEF=∠CBF，根據(jù)全等三角形的性質得到EF=BF，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故B不符合題意；根據(jù)平行線的性質得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四邊形BCED為平行四邊形；故C符合題意；根據(jù)平行線的性質得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故D不符合題意．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故A不符合題意；∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，故B不符合題意；∵，∴，∵，∴,∴，同理，，∴不能判定四邊形為平行四邊形；故C符合題意；∵，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．10．如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為【】A． B． C． D．【答案】D【解析】過點P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE．∵APBE，∴四邊形APEB是平行四邊形．∴PEAB．，∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴EFBD．∴EF∥AB．∴P，E，F(xiàn)共線．設BD=a，∵，∴PE=AB=4a．∴PF=PE﹣EF=3a．∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC．∵PF∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形．∴BH=PF=3a．∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4．故選D．二、填空題11．如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,再添加一個條件____,則四邊形ABCD是平行四邊形(圖中不再添加輔助線)【答案】AB=CD（或AD∥BC）【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理添加條件即可.解：已知AB∥CD，∵一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∴可添加AB=CD或AD∥BC，故答案為AB=CD（或AD∥BC）.【點睛】本題考查了平行線四邊形的判定，平行四邊形的判定定理有：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；⑤兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.12．四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=4，當CD=_______時，四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】4【解析】【分析】直接利用平行四邊形的判定方法得出AB＝CD時四邊形ABCD是平行四邊形．解：當AB∥CD，且AB＝CD時，四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB∥CD，AB＝4，∴當CD＝4時，四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：4．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確把握平行四邊形的判定定理是解題關鍵．13．如圖，在四邊形中，，若加上，則四邊形為平行四邊形，現(xiàn)在請你添加一個適當?shù)臈l件：__________，使得四邊形為平行四邊形．（圖中不再添加點和線）【答案】【解析】連結，交于點，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形．14．如圖，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，圖中有_______個平行四邊形，它們分別是____________．【答案】

3

□ABCE，□ABGC，□AFBC【解析】試題解析：圖中共有3個平行四邊形，它們分別是理由如下：∵AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，∴AB∥EC，EA∥BC,∴四邊形ABCE是平行四邊形；同理可證，四邊形ABGC是平行四邊形；四邊形AFBC是平行四邊形.故答案為3,15．已知三條線段長分別為10，14，20，以其中兩條為對角線，剩余一條為邊，可以畫出________個平行四邊形.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形性質得出OA=OC=AC，BO=OD=BD，分為三種情況：①AC=10，BD=14，AB=20時，②AC=10，BD=20，AB=14時，③AC=20，BD=14，AB=10時，求出AO和BO的值，根據(jù)三角形的三邊關系定理看看△AOB是否存在即可．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，BO=OD=BD，分為三種情況：①AC=10，BD=14，AB=20時，AO=5，BO=7，則5+7＜20，不符合三角形三邊關系定理；不能組成平行四邊形；②AC=10，BD=20，AB=14時，AO=5，BO=10，則5+10＞14，符合三角形三邊關系定理；能組成平行四邊形；③AC=20，BD=14，AB=10時，AO=10，BO=7，則7+10＞10，符合三角形三邊關系定理；能組成平行四邊形；可以畫出不同形狀的平行四邊形的個數(shù)是2，故答案為2．【點睛】本題考查了平行四邊形性質和三角形的三邊關系定理的應用，能運用定理判斷平行四邊形是否存在時解此題的關鍵．16．如圖，在一束平行光線中插入一張對邊平行的紙板，如果光線與紙板右下方所成的∠1是68°25′，那么光線與紙板左上方所成的∠2的度數(shù)為_______.【答案】68°25′【解析】因為AB∥CD，AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠2=∠1=68°25′，故答案為68°25′.17．如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,動點P,Q分別從A,C同時出發(fā),P以1cm/s的速度由A向D運動,Q以2cm/s的速度由C向B運動(Q運動到B時兩點同時停止運動),則________后四邊形ABQP為平行四邊形.【答案】2s【解析】【分析】設運動時間為t秒，則AP=t，QC=2t，根據(jù)四邊形ABQP是平行四邊形，得AP=BQ，則得方程t=6-2t即可求解．如圖，設t秒后，四邊形APQB為平行四邊形，則AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∥BC，∴AP∥BQ，當AP=BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，∴t=6-2t，∴t=2，當t=2時，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．綜上所述，2秒后四邊形ABQP是平行四邊形．故答案為2s．【點睛】此題主要考查的是平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是關鍵．18．在△ABC中，BC=a．作BC邊的三等分點C1，使得CC1：BC1=1：2，過點C1作AC的平行線交AB于點A1，過點A1作BC的平行線交AC于點D1，作BC1邊的三等分點C2，使得C1C2：BC2=1：2，過點C2作AC的平行線交AB于點A2，過點A2作BC的平行線交A1C1于點D2；如此進行下去，則線段AnDn的長度為______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形A1C1CD1為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到A1D1=C1C，總結規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，∴四邊形A1C1CD1為平行四邊形，∴A1D1=C1C=a=，同理，四邊形A2C2C1D2為平行四邊形，∴A2D2=C1C2=a=，……∴線段AnDn=，故答案為．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質、圖形的變化規(guī)律，掌握平行四邊形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．三、解答題19．在四邊形中，，求的長度．【答案】2【解析】【分析】先證明，從而可證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質解答．解：∵，∴∠A+∠B=30°+150°=180°，∠B+∠C=180°，∴，∴四邊形是平行四邊形．∴AB=CD，∵AB=2，∴CD=2．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，屬于基礎題目，熟練掌握平行四邊形的判定和性質是關鍵．20．已知：如圖，在中，E，F(xiàn)分別是邊和上的點，交于點H，交于點G．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)題意四邊形是平行四邊形，可得，結合已知條件，可得四邊形是平行四邊形可得，進而判斷四邊形是平行四邊形，可得，進而可得四邊形是平行四邊形，即可證明．證明：四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，，，即，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，掌握平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵．21．如圖，的對角線與相交于點O，E，F(xiàn)是上的兩點．（1）當滿足什么條件時，四邊形是平行四邊形？請說明理由；（2）當與滿足什么條件時，四邊形是平行四邊形？請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，則，，由即可得到，進而根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判定四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形，進而可得，，結合，證明進而可得，，根據(jù)等角的補角相等可得，進而得到，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊即可得證．解：（1），理由如下，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形；（2），理由如下，四邊形是平行四邊形又四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，掌握以上性質定理是解題的關鍵．22．如如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO上的點．（1）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四邊形EFGH是平行四邊形嗎？證明你的結論；（2）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四邊形EFGH是平行四邊形嗎？證明你的結論；（3）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，其中n為大于1的正整數(shù)，那么上述結論還成立嗎？【答案】（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由見解析；（2）四邊形EFGH是平行四邊形，理由見解析；（3）上述結論成立；理由見解析【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得出OA=OC，OB=OD，再由AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，得出OE=OG，OF=OH，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質和已知條件得出OE=OG，OF=OH，即可得出結論；（3）由平行四邊形的性質和已知條件得出OE=OG，OF=OH，即可得出結論．解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，∴OE=OG，OF=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，∴OE=OG，OF=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（3）上述結論成立；理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，∴OE=OG，OF=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定；熟練掌握平行四邊形的性質和判定方法是解決問題的關鍵．23．如圖，在中，，為邊上一點，連接，為中點，連接并延長至點，使得，連接交于點，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結論；（2）由平行四邊形的性質可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性質可得FG，CG，GD的長，由勾股定理可求CD的長．（1）∵點E為CD中點，∴CE=DE．∵EF=BE，∴四邊形DBCF是平行四邊形．（2）∵四邊形DBCF是平行四邊形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°．在Rt△FCG中，CF=6，∴FG＝CF＝3，CG＝．∵DF=BC=4，∴DG=1．在Rt△DCG中，【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，利用直角三角形的性質求線段CG的長度是本題的關鍵．24．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F，連接EC．（1）求證：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周長是10，求平行四邊形ABCD的周長．【答案】（1）證明見解析；（2）20.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，證△DFO≌△BEO即可；（2）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由線段垂直平分線的性質得出AE=CE，由已知條件得出BC+AB=10，即可得出平行四邊形ABCD的周長．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE=OF．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵EF⊥AC，∴AE=CE，∵△BEC的周長是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，∴平行四邊形ABCD的周長=2（BC+AB）=20．25．如圖，平行四邊形中，對角線、交于點．將直線繞點順時針旋轉分別交、于點、．（）在旋轉過程中，線段與的數(shù)量關系是__________．（）如圖，若，當旋轉角至少為__________時，四邊形是平行四邊形，并證明此時的四邊形是是平行四邊形．【答案】（）相等；（）【解析】試題分析：（1）根據(jù)