初等數(shù)學(xué)-人民出版社-第四章講解市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

第四章

基本初等函數(shù)第1頁函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)和三角方程任意三角形解法第2頁初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）經(jīng)過有限次四則運算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所組成并可用一個式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).第3頁基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)第4頁特征：第5頁2、指數(shù)函數(shù)特例：第6頁指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)(見下表)在R上是減函數(shù)(4)在R上是增函數(shù)(3)過點(0，1)，即x＝0時，y＝1(2)值域(0，＋∞)(1)定義域：Ra>10<a<1性質(zhì)圖象第7頁第8頁3、對數(shù)函數(shù)第9頁對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過點(1，0)，即x＝1時，y＝0(4)在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)第10頁1.對數(shù)恒等式叫做對數(shù)恒等式2.對數(shù)性質(zhì)

(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)；(2)1對數(shù)是零，即loga1=0；(3)底對數(shù)等于1，即logaa=1第11頁4.對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)，所以y=logax圖象與y=ax圖象關(guān)于直線y=x對稱.3.對數(shù)運算性質(zhì)

假如a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么第12頁5換底公式注意換底公式在對數(shù)運算中作用：①公式順用和逆用；②由公式和運算性質(zhì)推得結(jié)論作用.第13頁答案：0，－1/2，2第14頁例1.a,b,c>0,求證：第15頁21/5第16頁答案：1.(1/2，1)2..D1.若函數(shù)y＝(log(1/2)a)x在R上為減函數(shù)，則a∈______.2.如圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx圖象，則a，b，c，d與1大小關(guān)系是() (A)a＜b＜1＜c＜d

(B)a＜b＜1＜d＜c

(C)b＜a＜1＜c＜d

(D)b＜a＜1＜d＜c第17頁4.若loga2＜logb2＜0，則()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜a

B第18頁作業(yè)習(xí)題4.2(P99)1，2，3，4（更正），5第19頁4.3三角函數(shù)第20頁1.角概念推廣

全部與α角終邊相同角集合S={β|β＝α+k·360°，k∈Z}象限角。2.弧度制

任一個已知角α弧度數(shù)絕對值|α|＝l/r(l是弧長，r是半徑)，1°＝π/180弧度，1rad=(180/π)°≈57.30°＝57°18′弧長公式l=|α|r，扇形面積公式S＝1/2lr

基本概念第21頁3.任意角三角函數(shù)定義

設(shè)α是一任意角，角α終邊上任意一點P(x，y)，P與原點距離是r，則sinα=y/r，cosα=x/r，

tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.4.三角函數(shù)值符號sinα與cscα，一、二正，三、四負，cosα與secα，一、四正，二、三負，tanα與cotα,一、三正，二、四負

第22頁5.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式①倒數(shù)關(guān)系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1②商數(shù)關(guān)系：tanα=sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα③平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α第23頁化簡第24頁練習(xí)答案：0，1，a2+b2,2第25頁2.已知角α終邊過點P(-5，-12)，則cosα=_______，tanα=_______.-5/1312/5第26頁第27頁6.誘導(dǎo)公式

α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α三角函數(shù)值，等于α同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值符號.

n·90°±α(n∈Z)誘導(dǎo)公式滿足十字訣“奇變偶不變，符號看象限”7.兩角和與差正弦、余弦、正切公式

第28頁8.二倍角正弦、余弦、正切公式

第29頁9.半角正弦、余弦、正切公式

第30頁第31頁萬能公式第32頁第33頁第34頁解：原式=

第35頁和與差三角公式第36頁例4，化簡例5，化簡第37頁倍角公式第38頁例7證實：第39頁例8.證實：對任一實數(shù)x有以下不等式成立第40頁2.若α是銳角，，則cosα值等于()

(A)(B)(C)(D)1.已知x∈(-π/2，0)，cosx=4/5，則tan2x=()(A)7/24(B)-7/24(C)24/7(D)-24/7DA第41頁第42頁第43頁正弦函數(shù)三角函數(shù)圖形及性質(zhì)第44頁余弦函數(shù)第45頁正弦函數(shù)

y=sinx定義域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)時取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)時，取最大值1.余弦函數(shù)

y=cosx定義域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)時，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)時，取最小值-1第46頁正切函數(shù)第47頁余切函數(shù)第48頁正切函數(shù)y=tanx定義域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，無最值.

asinx+bcosx型函數(shù)(其中φ由確定，φ角所在象限是由點P(a,b)所在象限確定)第49頁1.單調(diào)性

(1)y=sinx單調(diào)增區(qū)間是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，減區(qū)間是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)(2)y=cosx單調(diào)增區(qū)間是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，減區(qū)間是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)

(3)y=tanx單調(diào)增區(qū)間是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)2.奇偶性

y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定義域上分別是奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù).第50頁3.周期性

(1)定義對于函數(shù)y=f(x)，假如存在一個不為零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，則y=f(x)叫周期函數(shù)，T叫這個函數(shù)周期

(2)全部周期中最小正數(shù)叫最小正周期(3)y＝sinx,y=cosx最小正周期T=2π；y=tanx,y=cotx最小正周期T=π(4)y=Asin(ωx+φ)+k周期為T=2π/ω(ω＞0)y=Atan(ωx+φ)+k周期為T=π/ω(ω＞0)第51頁第52頁三角函數(shù)圖象變換

①振幅變換：y=sinx→y=Asinx

將y=sinx圖象上各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉鞟倍(橫坐標(biāo)不變)；

②相位變換：y=Asinx→y=Asin(x+φ)

將y=Asinx圖象上全部點向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|個單位；

③周期變換：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)將y=Asin(x+φ)圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/ω倍(縱坐標(biāo)不變).第53頁圖象對稱性

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)圖象含有軸對稱和中心對稱.詳細以下：

(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象關(guān)于直線x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成軸對稱圖形.

(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象關(guān)于點(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心對稱圖形.第54頁函數(shù)y=|tanx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)圖象是()C第55頁則A

B＝0都是增函數(shù)，則x為第象限。三第56頁是奇函數(shù)，則D5.f(x)是以5為周期奇函數(shù)，－4第57頁第58頁個單位，將橫坐標(biāo)壓縮為原來1/2，則所得表示式為第59頁1.給出四個函數(shù):(A)y=cos(2x+π/6)

(B)y=sin(2x+π/6)(C)y=sin(x/2+π/6)(D)y=tan(x+π/6)則同時含有以下兩個性質(zhì)函數(shù)是()①最小正周期是π②圖象關(guān)于點(π/6，0)對稱.

A第60頁2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，則以下結(jié)論中正確是()(A)函數(shù)y=f(x)·g(x)周期為2π(B)函數(shù)y=f(x)·g(x)最大值為1(C)將f(x)圖象向左平移π/2單位后得g(x)圖象(D)將f(x)圖象向右平移π/2單位后得g(x)圖象D第61頁1.判斷三角函數(shù)奇偶性，若不先關(guān)注定義域是否關(guān)于原點對稱，經(jīng)常會得犯錯誤結(jié)論誤解分析2.對于形如y=2sin(π/3-2x)單調(diào)區(qū)間，常因為沒有注意到x系數(shù)為負，從而得出相反結(jié)論3.對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)周期，假如說是2π/ω，則沒有考慮ω正負第62頁4.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)圖象，假如先把橫坐標(biāo)縮短為原來1/2倍，得y=sin2x后再平移，應(yīng)向左平移π/6，切勿左移π/3.第63頁作業(yè)：習(xí)題4.31,2,3,4,5第64頁反三角函數(shù)4.4反三角函數(shù)與三角方程第65頁第66頁第67頁第68頁第69頁第70頁第71頁3練習(xí)第72頁作業(yè)：習(xí)題4.41，2，3，4第73頁三角方程

第74頁第75頁第76頁常見方程類型：1.化為同一類型函數(shù)第77頁2.第78頁3.齊次方程對只含正弦和余弦齊次三角函數(shù)，可在方程兩邊都除以余弦，化為只含正切函數(shù)三角方程求解。第79頁第80頁練習(xí)第81頁第82頁4.5任意三角形解法(其中R為△ABC外接圓半徑).第83頁三角形中一些結(jié)論：(不要求記憶)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+si