人教A版必修二高中數學第二章 2.2.3-2.2.4同步課堂導學案【含詳細解析】

2．2.3直線與平面平行的性質2．2.4平面與平面平行的性質[學習目標]1.能應用文字語言、符號語言、圖形語言準確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質定理.2.能用兩個性質定理，證明一些空間線面平行關系的簡單問題．[知識鏈接]1．直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行．2．平面與平面平行的判定定理：平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．[預習導引]線面平行的性質定理面面平行的性質定理文字一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥beq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b))?a∥b圖形作用線面平行?線線平行面面平行?線線平行要點一線面平行性質定理的應用例1求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．解已知直線a，l，平面α，β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.規(guī)律方法線∥面eq\o(,\s\up7(線面平行的性質),\s\do5(線面平行的判定))線∥線．在空間平行關系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質定理是解決此類問題的關鍵．跟蹤演練1若兩個相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行．解已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求證：a∥b∥l.證明：如圖所示，∵a∥b，b?β，a?β，∴a∥β，又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.要點二面面平行性質定理的應用例2已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN∥平面α.證明(1)若AB、CD在同一平面內，則平面ABDC與α、β的交線為BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N為AB、CD的中點，∴MN∥BD.又BD?平面α，MN?平面α，∴MN∥平面α.(2)若AB、CD異面，如圖，過A作AE∥CD交α于E，取AE中點P，連接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD確定平面AEDC.則平面AEDC與α、β的交線分別為ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分別為AE、CD的中點，∴PN∥ED，又ED?平面α，PN?平面α，∴PN∥平面α.同理可證MP∥BE，∴MP∥平面α，∵AB、CD異面，∴MP、NP相交．∴平面MPN∥平面α.又MN?平面MPN，∴MN∥平面α.規(guī)律方法1.利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，往往需要有三個平面，即有兩平面平行，再構造第三個面與兩平行平面都相交．2．面面平行?線線平行，體現了轉化思想與判定定理的交替使用，可實現線線、線面及面面平行的相互轉化．跟蹤演練2如圖，已知α∥β，點P是平面α、β外的一點(不在α與β之間)，直線PB、PD分別與α、β相交于點A、B和C、D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長．(1)證明∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)解由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD)，∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(15,4)(cm)，∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm)．要點三平行關系的綜合應用例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：GH∥平面PAD.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO.∵ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD.規(guī)律方法1.本題證明線面平行，利用了線面平行的性質定理和判定定理進行轉化，即線線平行?線面平行?線線平行?線面平行．2．在將線面平行轉化為線線平行時，注意觀察圖形中是不是性質定理中符合條件的平面．跟蹤演練3如圖，三棱錐ABCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD∥平面EFGH.證明∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，則a與b的位置關系是()A．a∥bB．a⊥bC．a，b相交但不垂直D．a，b異面答案A解析利用結論：若一直線與兩個相交平面平行則此直線與交線平行．2．已知a，b表示直線，α、β、γ表示平面，下列推理正確的是()A．α∩β＝a，b?α?a∥bB．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b答案D解析由面面平行的性質定理知D正確．3．若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，則在β內過點B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行C．存在無數多條直線與a平行D．存在唯一一條直線與a平行答案D解析設點B與直線a確定一平面為γ，γ∩β＝b，∴a∥b.4．已知直線l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，則直線l，m的位置關系是________．答案平行解析由直線與平面平行的性質定理知l∥m.5．過兩平行平面α，β外的點P的兩條直線AB與CD，它們分別交α于A，C兩點，交β于B，D兩點，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，則BD的長為________．答案12解析兩條直線AB與CD相交于P點，所以可以確定一個平面，此平面與兩平行平面α，β的交線AC∥BD，所以eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD)，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.1.三種平行關系可以任意轉化，其相互轉化關系如圖所示：2．證明線與線、線與面的平行關系的一般規(guī)律是：“由已知想性質，由求證想判定”，是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段．一、基礎達標1．a∥α，b∥β，α∥β，則a與b位置關系是()A．平行B．異面C．相交D．平行或異面或相交答案D解析如圖(1)，(2)，(3)所示，a與b的關系分別是平行、異面或相交．2．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內B．只有一條，在平面α內C．有兩條，不一定都在平面α內D．有無數條，不一定都在平面α內答案B解析如圖所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直線l與點P確定一個平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l(xiāng)∥m且m是唯一的．3．三棱錐SABC中，E、F分別是SB、SC上的點，且EF∥平面ABC，則()A．EF與BC相交B．EF與BC平行C．EF與BC異面D．以上均有可能答案B解析由線面平行的性質定理可知EF∥BC.4.如圖，四棱錐PABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案B解析∵MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.5．下列說法正確的是()A．平行于同一條直線的兩個平面平行B．平行于同一個平面的兩個平面平行C．一個平面內有三個不共線的點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行D．若三直線a，b，c兩兩平行，則在過直線a的平面中，有且只有一個平面與b，c均平行答案B解析平行于同一條直線的兩個平面可以平行也可以相交，所以A不正確；B正確；C不正確，因為沒有指明這三個點在平面的同側還是異側；D不正確，因為過直線a的平面中，只要b，c不在其平面內，則與b，c均平行．6．過正方體ABCDA1B1C1D1的三個頂點A1、C1、B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1的位置關系是________．答案平行解析由面面平行的性質定理可知第三平面與兩平行平面的交線是平行的．7.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，過A1，B，C1的平面與平面ABC的交線為l，試判斷l(xiāng)與直線A1C1的位置關系，并給以證明．解l∥A1C1.證明如下：在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.又∵A1C1?平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l.二、能力提升8．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點D．都平行或交于同一點答案D解析∵l?α，∴l(xiāng)∥α或l與α相交．(1)若l∥α，則由線面平行的性質定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…這些交線都平行．(2)若l與α相交，不妨設l∩α＝A，則A∈l，又由題意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴這些交線交于同一點A.綜上可知D正確．9.如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側，點B，C∈a，AB、AC分別交平面α于點E、F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，則EF＝________.答案eq\f(3,2)解析EF可看成為直線a與點A確定的平面與平面α的交線，∵a∥α，由線面平行的性質定理知，BC∥EF，由條件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又eq\f(EF,BC)＝eq\f(AF,AC)，∴EF＝eq\f(AF×BC,AC)＝eq\f(3×4,8)＝eq\f(3,2).10.如圖，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝________.答案eq\f(4,25)解析由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，從而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))2＝eq\f(4,25).11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B.證明如圖，作MP∥BB1交BC于點P，連接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN?平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.三、探究與創(chuàng)新12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積．解能．取AB，C1D1的中點M，N，連接A1M，MC，CN，NA1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC.∴四邊形A1MCN是平行四邊形，又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1，∴過點A1與截面PBC1平行的截面是平行四邊形．連接MN，作A1H⊥MN于點H，∵A1M＝A1N＝eq\r(5)，MN＝2eq\r(2)，∴A1H＝eq\r(3).∴S△A1MN＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2eq\r(6).13．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．方法一(1)證明因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面P