新教材人教A數(shù)學(xué)必修第一冊課件3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具數(shù)學(xué)建模2.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律數(shù)學(xué)建模|自學(xué)導(dǎo)引|y＝kx＋b

常見的函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c

【預(yù)習(xí)自測】一個矩形的周長是40，矩形的長y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為(

)A．y＝20－x(0<x<10)B．y＝20－2x(0<x<20)C．y＝40－x(0<x<10)D．y＝40－2x(0<x<20)【答案】A【解析】由題意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x，所以0<x<10.故選A．(一)審題；(二)建模；(三)解模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟【答案】2500|課堂互動|

商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價的一次函數(shù)，標(biāo)價越高，購買人數(shù)越少．把購買人數(shù)為零時的最低標(biāo)價稱為無效價格，已知無效價格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的價格(標(biāo)價)出售．問：(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價應(yīng)定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價為每件多少元？題型1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)解：(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)．因為0＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)．所以利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])．因為k<0，所以x＝200時，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價應(yīng)定為每件200元．(2)由題意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.所以商場要獲取最大利潤的75%，每件標(biāo)價為250元或150元．一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的兩個注意點(1)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法．(2)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯．1．加工爆米花時，爆開且不煳的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：min)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，求最佳加工時間．題型2分段函數(shù)模型素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數(shù)在t∈[0，5]遞增，在t∈(5，10]遞減，所以ymax＝1225(當(dāng)t＝5時取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時取得)．②當(dāng)10<t≤20時，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數(shù)在t∈(10，20]遞減，所以ymax＝1200(當(dāng)t＝10時取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時取得)．由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時取得)．分段函數(shù)模型的求解策略(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．2．某市營業(yè)區(qū)內(nèi)住宅電話通話費用為前3min0.20元，以后每分鐘0.10元(前3min不足3min按3min計，以后不足1min按1min計)．(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出一次通話在6min內(nèi)(包括6min)的話費y(元)關(guān)于通話時間t(min)的函數(shù)圖象；(2)如果一次通話tmin(t>0)，寫出話費y(元)關(guān)于通話時間t(min)的函數(shù)關(guān)系式(可用[t]表示不小于t的最小整數(shù))．解：(1)如下圖所示．

某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用

所以當(dāng)t＝2，即x＝16時，y取得最大值，ymax＝3.故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元，風(fēng)險型產(chǎn)品4萬元時，可使投資獲得最大收益，最大收益是3萬元．冪型函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式．(2)利用函數(shù)關(guān)系式解決相關(guān)問題．(3)回歸到應(yīng)用問題中去，給出答案．3．在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量R與管道半徑r的四次方成正比．(1)寫出函數(shù)解析式；(2)假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s，求該氣體通過半徑為rcm的管道時，其流量R的函數(shù)解析式；(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量．|素養(yǎng)達成|1．函數(shù)模型的應(yīng)用實例主要包括三個方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題．2．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結(jié)果，必要時運用估算和近似計算，以使結(jié)果符合實際問題的要求．3．在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖等使實際問題數(shù)學(xué)符號化(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng))．4．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點，通過建立函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程，如下圖所示．1．(題型1)一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是 (

)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)【答案】D【解析】90min＝1.5h，所以汽車的速度為180÷1.5＝120km/h，則路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝120t(t≥0)．【答案】D【解析】顯然出發(fā)、停留、返回三個過程中行車速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)．4．(題型3)某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資額成正比(如圖①)，B產(chǎn)品的利潤與投資額的