3.1.1不等關(guān)系與不等式解析

3.1.1不等關(guān)系與不等式含有這些不等號(hào)><>>>>>>1.用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”，“>”,“<”,“≥”,“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系,

.

的式子，叫做不等式.2.常用不等式的基本性質(zhì)：（1）a>b,b>c

a

c;（2）a>b

a+c

b+c;（3）a>b,c>0ac

bc;（4）a>b,c<0ac

bc;（5）a>b,c>d

a+c

b+d;（6）a>b>0,c>d>0ac

bd;（7）a>b>0,n∈N，n>1an

bn;（8）a>b>0,n∈N,n>1

.學(xué)點(diǎn)一不等式的概念《鐵路旅行常識(shí)》規(guī)定：“一、隨同成人旅行身高1.1～1.4米的兒童，享受半價(jià)客票（以下稱兒童票），超過(guò)1.4米時(shí)應(yīng)買(mǎi)全票，每一成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.1米的兒童，超過(guò)一名時(shí)，超過(guò)的人數(shù)應(yīng)買(mǎi)兒童票.…十、旅客每人免費(fèi)攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)160厘米，桿狀物品不超過(guò)200厘米，重量不得超過(guò)20千克…”設(shè)兒童身高為hm，物品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和為pcm，請(qǐng)?jiān)谙卤砜崭駜?nèi)填上對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)（<,≤,>,≥）,并與同學(xué)交流.【解析】符號(hào)表示1.1≤h≤1.4,h>1.4,h<1.1,p≤160.文字表述1.1~1.4m超過(guò)1.4m不足1.1m不超過(guò)160cm符號(hào)表示【分析】分清題目中文字表述的是兒童身高h(yuǎn)m還是物品外部的尺寸長(zhǎng)、寬、高之和pcm是寫(xiě)出不等式的關(guān)鍵.【評(píng)析】將實(shí)際中的不等關(guān)系寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題中關(guān)鍵性的文字語(yǔ)言與對(duì)應(yīng)符號(hào)之間的正確轉(zhuǎn)換，這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系.常見(jiàn)的文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換如下表：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)大于＞大于等于≥至多≤不小于≥小于＜小于等于≤至少≥不多于≤例1.某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m2，擬分割成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18m2，可住游客5人，每名旅客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為15m2，可住游客3人，每名游客每天住宿費(fèi)為50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修.寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.解：設(shè)裝修大、小客房分別為x間、y間，則學(xué)點(diǎn)一、比較法例2．比較x2－x與x－2的大小。解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因?yàn)?x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.例3.比較與的大小.解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1=x2(x－1)+(x－1)=(x－1)(x2+1),∵x2+1>0，∴當(dāng)x>1時(shí)，x3>x2－x+1；當(dāng)x=1時(shí)，x3=x2－x+1，當(dāng)x<1時(shí)，x3<x2－x+1.選講

【分析】采用作差比較法，要注意運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)差式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷差值與零的大小關(guān)系.設(shè)m>n>0,a>0,比較am+a-m與an+a-n的大小.

【解析】【評(píng)析】作差法比較大小，關(guān)鍵是判斷差的符號(hào)，應(yīng)注意應(yīng)用函數(shù)性質(zhì).學(xué)點(diǎn)二不等式的性質(zhì)【分析】若要判斷上述命題的真假，依據(jù)就是實(shí)數(shù)集的基本性質(zhì)和實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及不等式的基本性質(zhì)，經(jīng)過(guò)合理的邏輯推理即可判斷.例5.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，判斷下列命題的真假.(1)若a>b,則ac<bc；(2)若ac2>bc2,則a>b；(3)若a<b<0,則a2>ab>b2；(4)若a<b<0,則|a|>|b|；(5)若c>a>b>0,則.(6)若a>b,,則a>0,b<0.【解析】（１）因?yàn)閏的正、負(fù)或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小缺乏依據(jù)，故該命題是假命題.（２）由ac2>bc2，知c≠0,c2>0,∴>0.故該命題為真命題.（3）由a2>ab.由ab>b2.

∴a2>ab>b2.故該命題為真命題.a<ba<0a<bb<0（４）兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),數(shù)小的離原點(diǎn)遠(yuǎn),故絕對(duì)值反而大.故該命題為真命題.（５）a>b>0-a<-b,c>a>b>00<c－a<c-b.故該命題為真命題.（６）由已知條件知：又∵a>b,∴a>0,b<0.故該命題為真命題.

【評(píng)析】上述判斷真假命題的例子可以使我們熟悉不等式的基本性質(zhì)，更好地掌握性質(zhì)定理及其推論的條件和結(jié)論.如問(wèn)題（１）～(3)主要考查了對(duì)定理3的理解，這是應(yīng)用定理3最易出錯(cuò)的地方，即在不等式的兩邊同乘（除）以一個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正、負(fù)、零,否則，結(jié)論不確定.問(wèn)題（５）（６）涉及兩個(gè)已知數(shù)的倒數(shù)間的關(guān)系，由定理3可推導(dǎo)出結(jié)論.

另外，若要判斷命題是真命題，應(yīng)說(shuō)明理由或進(jìn)行證明，推理過(guò)程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等；若判斷命題是假命題,只需舉一反例.例6.分別判斷下列各命題是否成立，并簡(jiǎn)述理由.（1）a>b2-x·a>2-x·b;（2）a>b,c>d

a-c>b-d;（3）a>b,c<d,cd≠0;（4）|a|>b>0an>bn(n∈N,n≥1).解:以不等式的性質(zhì)為起點(diǎn),逐一驗(yàn)證每一個(gè)命題的真?zhèn)?（1）成立.∵2-x>0,由性質(zhì)知2-x·a>2-x·b;（2）不成立.令a=5,b=4,c=3,d=1時(shí)，有a-c<b-d;（3）不成立.a>b>0,c<0,d>0時(shí)顯然有;（4）不成立.|a|>b>0|a|n>bn,但|a|n與an可能相等，也可能互為相反數(shù).學(xué)點(diǎn)三利用不等式的性質(zhì)證明不等式【分析】恰當(dāng)使用不等式性質(zhì)進(jìn)行變形是關(guān)鍵.（1）已知a>b,，求證：a>0,且b<0;（2）已知a>b>0,c<d<0,求證：ac<bd;（3）已知a>b>0,c<d<0，求證：

;（4）已知a>b>0,c>d>0,求證：.例7.【解析】

【評(píng)析】只有同向時(shí)不等式才能相加，兩邊同乘（除）某一數(shù)（式）時(shí)，一定要注意其正負(fù)，必要時(shí)要分類討論.例8.（1）如果30<x<36，2<y<6，求x－2y及的取值范圍。18<x－2y<32，（2）若－3<a<b<1，－2<c<－1，求(a－b)c2的取值范圍。

因?yàn)椋?<a－b<0，1<c2<4，所以－16<(a－b)c2<0學(xué)點(diǎn)四應(yīng)用不等式的性質(zhì)討論范圍已知,求,的范圍.

【分析】已知的不等式相當(dāng)于

所以本題其實(shí)就是已知單角范圍求和角、差角范圍，所以要進(jìn)行不等式的加減.但我們只有這樣的性質(zhì)：同向不等式可相加，那么要進(jìn)行不等式相減怎么辦？那只有將其轉(zhuǎn)化為同向不等式再相加.例9.

【解析】【評(píng)析】?jī)蓚€(gè)不等式要相減時(shí)，不能直接相減，而要轉(zhuǎn)化為同向相加：α-β=α+(-β).同時(shí)要注意，本題中的取不到等號(hào)，而左邊可以取到等號(hào)，這一點(diǎn)極易出錯(cuò).例10求:的取值范圍.已知:函數(shù)解：因?yàn)閒(x)=ax2－c,所以解之得所以f(3)=9a－c=因?yàn)樗詢墒较嗉拥茫?≤f(3)≤20.練習(xí)：已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范圍。解：設(shè)9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，所以9a－b=

(a－b)+

(4a－b)由－4≤a－b≤－1，得由－1≤4a－b≤5，得以上兩式相加得－1≤9a－b≤20.例11.甲、乙兩位采購(gòu)員同去一家糧食銷售公司買(mǎi)了兩次糧食（同一品種），兩次糧食的價(jià)格不同，兩位采購(gòu)員的購(gòu)糧方式也不同.其中，甲每次購(gòu)買(mǎi)1000kg,乙每次購(gòu)糧用去1000元錢(qián)，誰(shuí)的購(gòu)糧方式更合算？解：設(shè)兩次價(jià)格分別為a元，b元，則甲的平均價(jià)格為

元，乙的平均價(jià)格為

.∴乙合算.1.不等關(guān)系a≤b或a≥b的含義是什么？

不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b”，其含義是指“或者a<b，或者a=b”等價(jià)于“a不大于b”，即若a<b或a=b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確.如2<3正確，則2≤3沒(méi)有邏輯錯(cuò)誤，因?yàn)?,3是具體數(shù)值，“2<3”比“2≤3”更確切.從集合的觀點(diǎn)看，如果a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有{(a,b)|a≥b}={(a,b)|a>b}∪{(a,b)|a=b}，同理，{(a,b)|a≤b}={(a,b)|a<b}∪{(a,b)|a=b}.不等式a≥b應(yīng)讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者a>b，或者a=b”,等價(jià)于“a不小于b”,即若a>b或a=b之中有一個(gè)正確，則a≥b正確.2.如何理解不等式的性質(zhì)?(1)性質(zhì)1說(shuō)明把不等式的左邊與右邊交換，所得的不等式與原不等式異向.（2）性質(zhì)2說(shuō)明不等式的傳遞性提供了兩個(gè)實(shí)數(shù)a,c在比較大小時(shí)的一種間接方法——媒介法（即通過(guò)中間值作媒介來(lái)比較大小），同時(shí)它也是對(duì)不等關(guān)系作適當(dāng)放縮的依據(jù).（3）性質(zhì)3說(shuō)明①有了不等式的加法單調(diào)性，不等式的移項(xiàng)法則也就有了理論依據(jù)，因而不等式就可以像方程一樣地變形、化簡(jiǎn)；②這里的推論還可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊可以分別相加，也就是說(shuō)，多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得的不等式與原不等式同向.（4）性質(zhì)4說(shuō)明①在一個(gè)不等式的兩邊同乘一個(gè)非零實(shí)數(shù)時(shí)，不等號(hào)是否改向取決于所乘的這個(gè)數(shù)的正負(fù)性；②在性質(zhì)4的推論中，要注意所有的字母都是正數(shù)，例如，如果僅有a>b,且c>d，就不能推出ac>bd；同時(shí)有兩個(gè)異號(hào)不等式，如a>b>0,0<c<d，也不能推出ac>bd.