2.2-6傳遞函數(shù)概述

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-1微分方程2-2傳遞函數(shù)2-3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換2-4信號流圖及梅遜公式2-5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2-2傳遞函數(shù)（transferfunction）用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設計。為此提出傳遞函數(shù)的概念。一、傳遞函數(shù)的定義和概念以上一節(jié)RLC電路的微分方程為例：設初始狀態(tài)為零，對上式進行拉氏變換，得到：G(s)R(s)C(s))定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。一般形式：設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是：y(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式，若,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的；

(2)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)；

(3)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關(guān)；

(4)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)；

(5)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號下的動態(tài)特性就確定了。三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1）比例環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來表示式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：特點：輸出與輸入量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)等。2）慣性環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的常系數(shù)非齊次微分方程式來表示傳遞函數(shù)為：式中T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無振蕩。

實例：RC網(wǎng)絡，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3）積分環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的微分方程式來表示傳遞函數(shù)為：特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：模擬計算機中的積分器。4）微分環(huán)節(jié)：是積分的逆運算，其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示傳遞函數(shù)為：式中——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。實例：測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。圖2-16R-C網(wǎng)絡1）實際的微分環(huán)節(jié)，如圖2-16所示，它的傳遞函數(shù)為：2）直流測速發(fā)電機。如圖2-17圖2-17直流測速發(fā)電機5）振蕩環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來表示。傳遞函數(shù)為：特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。1）R-L-C電路的傳遞函數(shù)2）彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上述兩個傳遞函數(shù)，雖然它們的阻尼比ζ和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足0＜ζ＜1，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。6）延遲環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示傳遞函數(shù)為：式中——延遲時間特點：輸出量能準確復現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。以上6種是常見的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型1）是按數(shù)學模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對應的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)，有不同的傳遞函數(shù)；3）傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。建立控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的步驟與建立控制系統(tǒng)微分方程的步驟相類似，首先確定系統(tǒng)和各元件的輸入量和輸出量，列出各組成元件的原始方程，并得到各方程的拉氏變換形式，消去中間變量，求得輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，從而得到傳遞函數(shù)。對于電氣網(wǎng)絡（有源或無源），也可用復數(shù)阻抗的思想直接求出傳遞函數(shù)。四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

圖2-18具有傳遞滯后的裝置例：

圖中z1和z2為復數(shù)阻抗，由圖即電氣網(wǎng)絡傳遞函數(shù)的求取圖2-20R-C電路例

求圖2-20所示電路的傳遞函數(shù)解：得有源網(wǎng)絡電路圖2-21有源網(wǎng)絡1圖2-22有源網(wǎng)絡2設Z1、Z2、Z3、Z4為復數(shù)阻抗，，并略去運放的輸入電流，則由圖2-21得基于上述同樣的假設，由圖2-22得即消去上述式中的中間變量I1、I2、I3、I4和UB，得：例求圖示兩個有源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。1）在圖2-23中，于是得2）在圖2-24中，則由前例得圖2-23PI調(diào)節(jié)器圖2-24PD調(diào)節(jié)器2-3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成1、信號線：有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。2、引出點：信號引出或測量的位置。從同一信號線上引出的信號，數(shù)值和性質(zhì)完全相同3、綜合點：對兩個或兩個以上的信號進行代數(shù)運算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相減。4、方框：表示典型環(huán)節(jié)或其組合，框內(nèi)為對應的傳遞函數(shù)，兩側(cè)為輸入、輸出信號線。二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立L例：雙T網(wǎng)絡1）微分方程2）拉氏變換，寫成規(guī)范的“因果”形式，結(jié)果系數(shù)為“1”3）繪動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。按照變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來電磁力矩：電樞反電勢：電樞回路：力矩平衡：例

電樞控制式直流電動機直流電動機結(jié)構(gòu)圖三、典型連接方式及等效變換X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s)1、串聯(lián)及等效2、并聯(lián)及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)G(s)X(s)Y(s)3、反饋及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)四、等效移動規(guī)則1、引出點的移動G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12）后移在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框2、綜合點的移動在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框1）前移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2）后移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相鄰綜合點之間可以隨意調(diào)換位置

3）相鄰綜合點移動x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相鄰引出點和綜合點之間不能互換!相鄰引出點之間可以隨意調(diào)換位置

結(jié)構(gòu)圖等效變換方法若有三種典型結(jié)構(gòu)，串聯(lián)，并聯(lián)或反饋，則直接用公式先化簡若沒有三種典型結(jié)構(gòu)，且回路之間有交叉，則必須移位。比較點只能向相鄰比較點方向移位，引出點只能向相鄰引出點方向移位。且移位后，常常伴隨著與相鄰綜合點或相鄰引出點交換位置，以解交叉。由內(nèi)回路向外回路一層層簡化。注意：相鄰引出點和綜合點之間不能互換!例

結(jié)構(gòu)圖簡化：電樞控制直流電動機例2：x-y記錄儀結(jié)構(gòu)圖如下：求例：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。例：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。方法1:引出點后移例：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。例：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。方法2:引出點前移

2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換（1）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的導出微分方程（2）結(jié)構(gòu)圖等效化簡課程回顧x1x4x3x2abc12-4信號流圖及梅遜公式一、信流圖的基本概念

支路：表示變量之間的傳輸關(guān)系。

節(jié)點：表示系統(tǒng)中的變量。

信號流圖是一種描述系統(tǒng)中各信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形。只適用于線性系統(tǒng)。其優(yōu)點在于流圖增益公式實用性。信號流圖由節(jié)點和支路組成。信流圖的基本術(shù)語1、源點：只有流出支路的節(jié)點。對應于系統(tǒng)的輸入信號，或稱為輸入節(jié)點。2、陷點：只有輸入支路的節(jié)點。對應于系統(tǒng)的輸出信號，或稱為輸出節(jié)點。3、混合節(jié)點：既有輸入支點也有輸出支點的節(jié)點輸入節(jié)點（源點）輸出節(jié)點（陷點）輸入節(jié)點（源點）信流圖的基本術(shù)語4、通路：從某一節(jié)點開始沿支路箭頭方向到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構(gòu)成的路徑。5、回路：如果通路的終點就是起點，并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次。6、回路增益：回路中各支路增益的乘積。7、前向通路：從源點開始并終止于陷點，且與其他節(jié)點相交不多于一次的通道。該通路各支路增益乘積稱為前向通路增益。8、不接觸回路：各回路之間沒有任何公共節(jié)點。反之稱為接觸回路。二、信號流圖的繪制1、由結(jié)構(gòu)圖繪制信流圖結(jié)構(gòu)圖信號流圖輸入信號源節(jié)點輸出信號陷節(jié)點比較點，引出點混合節(jié)點環(huán)節(jié)支路環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)支路增益

基本步驟：在結(jié)構(gòu)圖的信號線上，標出各變量對應節(jié)點名稱。若比較點之后又有引出點，只需設一個節(jié)點。所有輸入為源點，輸出為陷點，可以通過引入單位增益支路實現(xiàn)。將各節(jié)點按原來順序排列；連接各支路，注意支路增益符號。（1）信號流圖

結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)信號流圖2、由方程組繪制信流圖首先按照節(jié)點的次序繪出各節(jié)點，然后根據(jù)各方程式繪制各支路。當所有方程式的信號流圖繪制完畢后，即得系統(tǒng)的信號流圖。三、梅森（Mason）增益公式例：由流圖利用梅森公式。見黑板。例：由結(jié)構(gòu)圖求流圖，再利用梅森公式。例：由結(jié)構(gòu)圖直接利用梅森公式。四個單獨回路，兩個回路互不接觸e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––afbgchehgf++afchabcded(1–bg)前向通路兩條信號流圖例1求C(s)/R(s)例2求C(s)/R(s)

例3求C(s)/R(s)Mason公式（4）例4求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例4求C(s)/R(s)Mason公式（5）例5求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例5求C(s)/R(s)

2－5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)定義為把主反饋通道斷開，得到的傳遞函數(shù)Y(s)二、輸入作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)三、擾動作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)四、系統(tǒng)的總輸出Y(s)五、誤差傳遞函數(shù)輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)擾動作用下的誤差傳遞函數(shù)六、系統(tǒng)的總誤差Y(s)例

求C(s)/R(s),C(s)/N(s)L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[]N(s)梅遜公式求C(s)(1-G1H1)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+△1=1+

G2H2P1=1控制系統(tǒng)的數(shù)學模型掌握建立微分方程的方法掌握拉氏變換求解微分方程的方法牢固掌握系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義能熟練地進行動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換能熟練運用梅遜公式求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)了解控制系統(tǒng)中各種傳遞函數(shù)的定義本章小結(jié)習題課

求取電氣網(wǎng)絡數(shù)學模型，微分方程和傳遞函數(shù)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換，求傳遞函數(shù)梅遜公式求取控制系統(tǒng)中各種傳遞函數(shù)解：由復數(shù)阻抗概念，可寫出聯(lián)立式，消去中間變量微分方程為

例：如圖，求系統(tǒng)微分方程和傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為

傳遞函數(shù)例

系統(tǒng)如圖，被控對象微分方程為求系統(tǒng)傳遞函數(shù)F(s)。解.(1)求G0(s)

(2)由運放

傳遞函數(shù)整理得

結(jié)構(gòu)圖簡化步驟觀察。若有三種典型結(jié)構(gòu)，串聯(lián)，并聯(lián)或反饋，則直接先化簡。若沒有三種典型結(jié)構(gòu)，且回路之間有交叉，則必須移位。比較點只能向相鄰比較點方向移位，引出點只能向相鄰引出點方向移位。且移位后，經(jīng)常要與相鄰綜合點或相鄰引出點交換位置，以解交叉。由內(nèi)回路向外回路一層層簡化。注意：相鄰引出點和綜合點之間不能互換!例

結(jié)構(gòu)圖簡化：電樞控制直流電動機例

結(jié)構(gòu)圖簡化+例：用等效變換和梅遜公式法求閉環(huán)傳遞函數(shù).

例2求C(s)/R(s)R-L-C網(wǎng)絡如圖所示。圖中，為輸入量，（1）求該電網(wǎng)絡的微分方程式；

(2）求該電網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。為輸出量?？刂葡到y(tǒng)的方塊圖如圖所示。（1）利用方塊圖等效變換方法簡化方塊圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）繪出該系統(tǒng)的信號的信號流圖，并利用梅遜增益公式確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。