2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專題11 圓錐曲線中的定點、定值和定直線問題（原卷）

專題11圓錐曲線中的定點、定值和定直線問題一、橢圓定點問題1．已知圓E：x+12+y2=16，點F1,0，G是圓E(1)求動點H的軌跡Γ的方程；(2)經(jīng)過點F和T7,0的圓與直線l：x=4交于P，Q，已知點A2,0，且AP、AQ分別與Γ交于M、N.試探究直線2．已知點A(2,0)，B?65(1)求橢圓M的方程；(2)直線l與橢圓M交于C,D兩個不同的點（異于A,B），過C作x軸的垂線分別交直線AB,AD于點P,Q，當(dāng)P是CQ中點時，證明．直線l過定點.3．如圖，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B．左、右焦點分別為

(1)求橢圓C的方程；(2)已知P，Q是橢圓C上兩動點，記直線AP的斜率為k1，直線BQ的斜率為k2，k1=2k2．過點B作直線PQ的垂線，垂足為H．問：在平面內(nèi)是否存在定點4．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A(1)求C的方程；(2)C的弦DE過F1，直線AE，AD分別交直線x=?4于M，N兩點，P是線段MN的中點，證明：以PD5．已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求△APQ的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點D，使過點D的直線l交C于M,N，交PQ于點R，且滿足MR?二、雙曲線定點問題6．已知點P4,3為雙曲線E:x2a2?y(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過點P的直線y=kx+t與雙曲線E交于A,B兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線y=kx+t過定點，并求該定點的坐標(biāo).7．雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點為(1)求雙曲線C的方程；(2)已知M,N是C上不同的兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為2，且MN的中垂線為直線l，是否存在半徑為1的定圓E，使得l被圓E截得的弦長為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請說明理由.8．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點，右頂點分別為F，A，B0,b，(1)求雙曲線C的方程.(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，在x軸上是否存在與F不同的定點E，使得EP?FQ=9．已知雙曲線C與雙曲線x212?(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點D(2,0)，E，F(xiàn)是雙曲線C上不同于D的兩點，且DE·DF=0，DG⊥EF于點G，證明:存在定點H10．已知雙曲線C:x2?y2b2=1b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是C的左頂點，C的離心率為2．設(shè)過F2

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AP、AQ分別交直線x=12于M、N兩點，證明：(3)是否存在常數(shù)λ，使得∠PF2A=λ∠PA三、拋物線定點問題11．已知動圓M恒過定點F0,18，圓心M到直線y=?(1)求M點的軌跡C的方程；(2)過直線y=x?1上的動點Q作C的兩條切線l1,l2，切點分別為12．已知拋物線C1:x2=2py(p>0)和圓C2:(x+1)2+y(1)求拋物線C1(2)動點M在C1的準(zhǔn)線上，動點A在C1上，若C1在點A處的切線l2交y軸于點B，設(shè)13．已知直線l1:x?y+1=0過橢圓C:x24+y2(1)求橢圓C及拋物線M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l2過拋物線M的焦點且與拋物線M交于A，B兩點，直線OA，OB與橢圓的過右頂點的切線交于M，N兩點.判斷以MN為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點P，若存在，求出定點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為點Q的動圓恒過點F(0,1)，且與直線y=?1相切，設(shè)動圓的圓心Q的軌跡為曲線Γ．(1)求曲線Γ的方程；(2)P為直線l：y=y0y0<0上一個動點，過點P作曲線Γ的切線，切點分別為A，B，過點P作AB的垂線，垂足為H，是否存在實數(shù)y0，使點P在直線l上移動時，垂足15．已知拋物線C：y2=2pxp>0，直線x+y+1=0(1)求拋物線C的方程；(2)若直線y=kx?p2與曲線C交于A，B兩點，直線OA，OB與直線x=1分別交于M，N四、橢圓定值問題16．已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過定點P1,1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且與直線y=?34x相交于點Q，如果AQ=λ17．在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓Γ(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的蒙日圓上一點M，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點N，若kOM，kON存在，證明：18．已知O為坐標(biāo)原點，定點F1?1,0，F(xiàn)21,0，圓O:x2+y2(1)求動點M的軌跡方程；(2)設(shè)M的軌跡為曲線E，若直線l與曲線E相切，過點F2作直線l的垂線，垂足為N，證明：ON19．設(shè)橢圓E：x2a2+(1)求橢圓E的方程；(2)△ABC內(nèi)接于橢圓E，過點P4,1和點A的直線l與橢圓E的另一個交點為點D，與BC交于點Q，滿足APQD=20．橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)過F且斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點，P是直線x=4上任意一點.求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列.五、雙曲線定值問題21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓F1：x+22+y2=4，F(xiàn)22,0，P是圓F1上的一個動點，線段PF2(1)求曲線C的方程；(2)過點F2作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點H，求證：AB22．已知雙曲線x2?y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，動直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P1

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么k123．已知P是圓C:(x+2)2+y2=12上一動點，定點M(2,0)，線段PM的垂直平分線n與直線PC交于點(1)求C'(2)若直線l與曲線C'恰有一個共點，且l與直線l1:y=33x，l224．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0(1)求C的方程；(2)設(shè)點P是直線l：x=2上的任意一點，直線PA1、PA2分別交雙曲線C于點M、N，A2Q⊥MN，垂足為25．已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點，Q為x軸上一點，滿足QA=QB六、拋物線定值問題26．已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點，且∠PGQ=π2，點F到直線27．已知拋物線C1:y

(1)求a，p的值；(2)設(shè)P為直線x=?1上除?1,?3，?1,3兩點外的任意一點，過P作圓C2:x?22+y2=3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，28．已知點F是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點，縱坐標(biāo)為2的點N在C上，以F為圓心、NF為半徑的圓交y軸于D，E(1)求拋物線C的方程；(2)過?1,0作直線l與拋物線C交于A，B，求kNA29．貝塞爾曲線是計算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據(jù)對應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖所示，拋物線Γ:x2

(1)寫出拋物線Γ的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；(2)若直線l:y=kx?2pk+2p與拋物線只有一個公共點，求實數(shù)k的值；(3)如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F(xiàn)，證明：|AD||DE|30．已知點A為直線l:x+1=0上的動點，過點A作射線AP（點P位于直線l的右側(cè)）使得AP⊥l,F1,0，設(shè)線段AF的中點為B，設(shè)直線PB與x軸的交點為T,PF=TF(1)求動點P的軌跡C的方程.(2)設(shè)過點Q0,2的兩條射線分別與曲線C交于點M,N，設(shè)直線QM,QN的斜率分別為k1,k2七、橢圓定直線問題31．橢圓E的方程為x24+y28=1，左、右頂點分別為A?2,0，B(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點，若PD=2，求PC的長；(2)若直線l過點?1,0，且交橢圓E于另一點Q（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由．32．已知曲線C:(5?m)x(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)m=4，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線l:y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點G．試問點G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．33．已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l:y=x+m與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點A，B，試問：△MAB的內(nèi)心是否在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．34．已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)過點P1,2的直線l交C于A、B兩點時，在線段AB上取點M，滿足AP?MB35．橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，左、右頂點分別為A?2,0，B2,0，點1,6(1)求橢圓E的方程．(2)過點?1,0的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．八、雙曲線定直線問題36．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E:x24?y2b2=1b>0的左、右焦點分別為F1、F2，從F2

(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)A1、A2為雙曲線E實軸的左、右頂點，若過P4,0的直線l與雙曲線C交于M、N兩點，試探究直線A1M37．已知曲線C上的動點P滿足|PF1|?|P(1)求C的方程；(2)若直線AB與C交于A、B兩點，過A、B分別做C的切線，兩切線交于點P'.在以下兩個條件①②①直線AB經(jīng)過定點M4,0②點P'在定直線x=38．已知點(2,3)在雙曲線C:x(1)雙曲線上動點Q處的切線交C的兩條漸近線于A,B兩點，其中O為坐標(biāo)原點，求證：△AOB的面積S是定值；(2)已知點P(12,1)，過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M?N，在線段MN上取異于點M?N的點H，滿足PM39．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0經(jīng)過點D4,3，直線l1、l2分別是雙曲線C的漸近線，過D分別作l1和l2的平行線l'1和(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)A1、A2分別是雙曲線C的左、右頂點，過右焦點F的直線交雙曲線C于P、Q兩個不同點，直線A1P與A240．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，過點(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且AB=4，試判斷直線AN與直線BM的交點G九、拋物線定直線問題41．過拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)部一點Pm,n作任意兩條直線AB,CD，如圖所示，連接AC,BD延長交于點Q，當(dāng)P為焦點并且AB⊥CD

(1)求拋物線的方程；(2)若點P1,1，證明Q42．已知拋物線E:y2=2pxp>0，過點?1,0的兩條直線l1、l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點．當(dāng)(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G在定直線上．43．已知拋物線C1：x2=2py(p>