新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練10.6 三定問題及最值（基礎(chǔ)版）（解析版）

10.6三定問題及最值（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一定點【例1】（2022·河南模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上下頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓的標準方程；（2）不過點SKIPIF1<0的直線l交橢圓于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0的斜率之和為2，證明：直線l恒過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓的方程為SKIPIF1<0；（2）證明：由（1）可得SKIPIF1<0，①當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，不符合題意，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，符合題意，故恒過點SKIPIF1<0；②當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，必過定點SKIPIF1<0，綜上可得，直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0；【一隅三反】1．（2022·浙江模擬）如圖，已知點A是拋物線SKIPIF1<0在第一象限上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且SKIPIF1<0垂直于x軸．過A作圓SKIPIF1<0的兩條切線，與拋物線在第四象限分別交于M，N兩點，且直線SKIPIF1<0的斜率為4．（1）求拋物線的方程及A點坐標；（2）問：直線SKIPIF1<0是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點坐標，若不是，請說明理由．【答案】見解析【解析】（1）解：因為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以拋物線方程為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（2）解：設(shè)SKIPIF1<0的傾斜角依次為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，再設(shè)SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，下證SKIPIF1<0．方法一：由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0．方法二：直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別對應(yīng)SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0．因為直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別對應(yīng)SKIPIF1<0，再設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立求得其交點SKIPIF1<0均滿足SKIPIF1<0，代入拋物線C的方程SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入前式，有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，再代入SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0．2．（2022·西安模擬）已知拋物線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0到其準線的距離為5．不過原點的動直線交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，點M在準線l上的射影為N．（1）求拋物線C的方程；（2）當SKIPIF1<0時，求證：直線AB過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由拋物線C的方程可得其準線方程SKIPIF1<0，依拋物線的性質(zhì)得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴拋物線C的方程為SKIPIF1<0．（2）證明：當直線AB的斜率為0時，顯然不符合題意；當直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以直線AB過定點SKIPIF1<0.3．（2022·朝陽模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的一個頂點為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于另一點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于另一點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（2）證明：當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0必有一點與點SKIPIF1<0重合，不合乎題意，所以，SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不合乎題意.綜上所述，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0考點二定值【例2】（2022高三上·大理月考）已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓E交于A，B兩點，過點B作SKIPIF1<0，垂足為C點，直線AC與橢圓E的另一個交點為D.（1）求橢圓E的方程；（2）試問SKIPIF1<0是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由已知得b=3ca=22，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）解：由已知，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入橢圓SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022高三上·大同開學(xué)考）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，離心率SKIPIF1<0，點F到左頂點的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）已知四邊形SKIPIF1<0為橢圓的內(nèi)接四邊形，若邊SKIPIF1<0過坐標原點，對角線交點為右焦點F，設(shè)SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，試分析SKIPIF1<0是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由題意知ca=12a+c=3?a=2所以橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0代入橢圓方程整理得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0代入上式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程的一個解∴點C的橫坐標SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上∴SKIPIF1<0，同理：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為定值，定值SKIPIF1<0.2．（2022·雅安模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，長軸長為4，離心率為SKIPIF1<0．過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓C交于A，B兩點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為定值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）-1【解析】（1）由已知有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓C的標準方程為：SKIPIF1<0；（2）解：由已知直線l斜率不為零，故設(shè)其方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去x得：（SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為定值-1．3．（2022·河南模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程.（2）若過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，記直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，試問SKIPIF1<0是否是定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）-1【解析】（1）解：設(shè)橢圓SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）解：由題意可知直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0為定值-1.考點三最值【例3】（2022·陜西模擬）已知拋物線SKIPIF1<0上有一動點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0．（1）判斷線段SKIPIF1<0的中垂線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由；（2）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交拋物線SKIPIF1<0于另一點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積的最小值．【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，和拋物線方程SKIPIF1<0聯(lián)立得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的中垂線過定點SKIPIF1<0.（2）解：由（1）可知，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0將其與拋物線方程SKIPIF1<0聯(lián)立得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·焦作模擬）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的兩條互相垂直的弦AB，SKIPIF1<0，設(shè)弦AB，SKIPIF1<0的中點分別為P，Q，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】見解析【解析】（1）解：依題意，設(shè)SKIPIF1<0．由拋物線的定義得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）解：由題意可知SKIPIF1<0，直線AB的斜率存在，且不為0．設(shè)直線AB的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．因為P是弦AB的中點，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為8．2．（2022·嵊州模擬）已知直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0分別相交于A，B兩點（異于坐標原點O），與直線SKIPIF1<0分別相交于P，Q兩點，且SKIPIF1<0．（1）求線段SKIPIF1<0的中點M的軌跡方程；（2）求SKIPIF1<0面積的最小值．【答案】見解析【解析】（1）解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故線段SKIPIF1<0的中點M的軌跡方程SKIPIF1<0（2）解：直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點橫坐標為SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又直線SKIPIF1<0與x軸的交點坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0面積有最小值SKIPIF1<0.10.6三定問題及最值（精練）（基礎(chǔ)版）題組一定點1．（2022·煙臺模擬）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，其左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0面積的最大值為1.題組一定點（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）已知SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又當SKIPIF1<0位于上頂點或者下頂點時，SKIPIF1<0面積最大，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0（2）解：由題知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，所以設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為直徑的圓為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.①因為SKIPIF1<0，令①中的SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點SKIPIF1<0.2．（2022·莆田三模）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程．（2）若直線l與橢圓C相切于點D，且與直線SKIPIF1<0交于點E．試問在x軸上是否存在定點P，使得點P在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上？若存在，求出P點的坐標；若不存在．請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由題意得SKIPIF1<0，所以橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0.（2）解：由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設(shè)切線方程的切點為SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0，下面證明：聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，及直線SKIPIF1<0與橢圓只有一個公共點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓相切，所以橢圓上切點為SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0.切線方程SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立得SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡整理得SKIPIF1<0，由題意可知，此式恒成立，故當SKIPIF1<0滿足題意.此時SKIPIF1<0.故存在定點P，使得點P在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上.3（2022·河南模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，C的四個頂點圍成的四邊形面積為SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）已知點SKIPIF1<0，若不過點Q的動直線l與C交于A，B兩點，且SKIPIF1<0，證明：l過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由離心率為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①C的四個頂點圍成的四邊形面積為SKIPIF1<0．②由①②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C的方程為SKIPIF1<0．（2）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為Q不在l上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不是零向量，故SKIPIF1<0，由題意可知l的斜率一定存在．設(shè)l的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立方程組得SKIPIF1<0，消去y并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，此時直線l的方程為SKIPIF1<0，所以直線l過定點SKIPIF1<0．題組二題組二定值1．（2022·安徽模擬）點SKIPIF1<0為坐標原點，過點SKIPIF1<0的直線與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0.（1）求拋物線的方程；（2）動點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線在第一象限內(nèi)兩點，且直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，求證：SKIPIF1<0是定值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析【解析】（1）解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，所以拋物線的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：設(shè)點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；因為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，由題設(shè)得SKIPIF1<0；不妨設(shè)SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0點，SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0點；即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是定值.2．（2022·安徽三模）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其右焦點為F，左頂點為A，點P是橢圓C上異于點A的一個動點，且當SKIPIF1<0軸時，△APF的面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線AP交直線l：SKIPIF1<0于點Q，直線l與x軸交于點T，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析【解析】（1）解：設(shè)SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入橢圓方程，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0．（2）證明：易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線AP的方程是SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以點Q的坐標為SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0軸時，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當PF與x軸不垂直時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3．（2022·延慶模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，其中左頂點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：SKIPIF1<0為定值.【答案】見解析【解析】（1）解：由已知得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（2）證明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<04．（2022·臨沂模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的左頂點，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若動直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的橫坐標之積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：易知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：分以下兩種情況討論：①當直線SKIPIF1<0軸時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的橫坐標之積為SKIPIF1<0；②當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由題意可知直線SKIPIF1<0不與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線平行或重合，即SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交點，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0.綜上所述，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的橫坐標之積為定值.5．（2022·青州模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的右頂點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）動直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為坐標原點．求證：SKIPIF1<0的面積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：不妨設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0故由SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所以雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為：SKIPIF1<0（2）解：設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0點，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0由于動直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個公共點，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點SKIPIF1<0，當動直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當動直線SKIPIF1<0的斜率存在時，且斜率SKIPIF1<0，不妨設(shè)直線SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0SKIPIF1<0依題意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0，同理可求，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因為原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積是為定值，定值為SKIPIF1<06．（2022·平江模擬）在平面直角坐標系中，橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點SKIPIF1<0，與橢圓相交于點SKIPIF1<0；（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程，（2）在SKIPIF1<0軸上是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值？若存在，請求出點SKIPIF1<0的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0（2）解：設(shè)SKIPIF1<0（ⅰ）當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合時，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，無論SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0的值恒為2，得點SKIPIF1<0，（ⅱ）當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0=2由i和ii得，在SKIPIF1<0軸上是存在兩點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0題組三題組三最值1．（2022·唐山二模）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，橢圓SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的離心率；（2）如圖：直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于A，D兩點，交橢圓E于B，C兩點．①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：橢圓SKIPIF1<0的標準方程為：SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0（2）證明：對于①，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立整理得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1