數(shù)值分析,計算方法試題庫及答案

2008_~2009_學(xué)年第學(xué)期

?計算方法》課程考試試卷(A)

開課二級學(xué)院：理學(xué)院，考試時間：2009年月一日時

考試形式：閉卷/口、開卷口，允許帶計算器入場

考生姓名：學(xué)號：專業(yè)：班級：

題序—?二三四五七總分

得分

評卷人

f一、填空(每個空3分，共27分)

：I,設(shè)x=2.6718,/=2.671,則x?有位有效數(shù)字

j2,/=2.8451是經(jīng)四舍五人得到的近似值，則其相對誤差卜；|?

;3,設(shè)x=(3,-2,6),則|WL=-卜L=

j4,設(shè)/"(x)>0,則由梯形公式計算的近似值T和定積分/=，7(幻心的值的大小

j關(guān)系為

|5,設(shè)/(0)=1J⑴=3,/(2)=4,/(3)=2,_/I(ffl]23]=

省6,對點=…擬建立模型￥=。+尿2,則%6滿足的正規(guī)方程組為

na+^b=i—

7,若a4滿足的正規(guī)方程組為：fh上

力n中+k￡*=之n十Y

fsixr=iyi

則y與x之間的關(guān)系式為_______________________

8,對轅法迭代公式x"+”=Axat當(dāng)k充分大時有常數(shù)s使x(z>=xrM),則A的按模最大

的特征值4工

寂涯網(wǎng)絡(luò)0工jybase.nel2008?2009學(xué)年第」_學(xué)期《計算方法》課程試卷A第」一頁共」L頁

二、設(shè)/(-2)=0J(0)=2J(2)=8,求p(x)使夕(毛)=/(茗)，(i=0,1,2)：乂

設(shè)|/"(x)|<.W,則估計余項r(x)=f(x)-p(x)的大小.(15分)

三、設(shè)/(0)=1J(0.5)=5J(l)=6,/(1.5)=3,./?⑵=2,|尸>憶材(女=2,3,4).

(1)計算。/(為心.(2)估計截斷誤差的大小(12分)

寂涯網(wǎng)絡(luò)E,jybase.net2008?2009學(xué)年第」_學(xué)期《計算方法》課程試卷A第2頁共，_頁

四、設(shè)方程/+5--12=0在［1,2］內(nèi)有實根a,試寫出迭代公式

左=0」,2,…，使｛rj—a.并說明迭代公式的收斂性.（10分）

135

五、設(shè)有線性方程組4r=力，其中A=31015

51530

（1）求4=LU分解；（2）求方程組的解（3）判斷矩陣A的正定性（14分）

建

繞

發(fā)灌網(wǎng)絡(luò)e,2QQ8?2009學(xué)年第1學(xué)期《計算方法》課程試卷A第2頁共頁

1

六、設(shè)有線性方程組=6,其中

A22

4

試討論Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。（14分）

T

七、設(shè)4=“是〃階實對稱正定矩陣，4經(jīng)過一次高斯消元計算變?yōu)?/p>

OA2

其中r為行向量,o是零列向量.試證明&是對稱正定矩陣（8分）

寂若網(wǎng)絡(luò)e,20Q8?2009學(xué)年第1學(xué)期?計算方法》邃程試卷A第頁共/-頁

2008_?2009_學(xué)年第學(xué)期

《計算方法》課程考試送卷（B）

開課二級學(xué)院：理學(xué)院，考試時間：2008年12見31日時

考試形式：閉卷/口、開卷口，允許帶計算器入場

考生姓名：學(xué)號：專業(yè)：班級：

題序—?二三四五七八總分

得分

評卷人

一、填空（每空3分，共27分）

1.牛頓―柯特斯求積公式的系數(shù)C"=

2,設(shè)X的相對誤差為￡,則正的相對誤差為

3,設(shè)Y=4.5585是經(jīng)四舍五人得到的近似值，則卜?一布

d4,設(shè)X=(2,-2,8),則|忖［=，|此=

5.對實驗數(shù)據(jù)（七,此）（，=1,2擬建立模型，=。+次，則明〃滿足的正規(guī)

y

方程組為

na+工xg=2人

i=lr=I

著滿足的正規(guī)方程組為：

緩a4

￡片4+￡.￡%=￡片月

f=!i=1i=l

則y與x之間的關(guān)系式為_______________________

7,若為是彳t的按模最大的特征值，則4的按模最小的特征值為

8,對耗法迭代公式=Ax,ij當(dāng)￡充分大時有常數(shù)使

-d+n+px（t+,）+qx（l）s0,則4的技模最大的特征值4工=

寂涯網(wǎng)絡(luò)ejyMse.nei2008?2009學(xué)年第二學(xué)期《計算方法》課程試卷B第二一頁共/_頁

二、設(shè)/(T)=lJ(0)=2,/(l)=6,求p(x)使MxJ=/(xJ(i=0,l,2)：

又設(shè),則估計余項r(x)=/(x)-p(.x)的大小。(15分)

三、設(shè),〃-1)=1,/(-0.5)=4,/(0)=6,八0.5)=9,〃1)=2,|/")卜時,則用

宜化Simpson公式計算J：/(x滋，并估計整體截斷誤差(12分)

寂涯網(wǎng)絡(luò)e.200&?2009學(xué)年第一L學(xué)期《計算方法》謙程試卷B第2頁共二L頁

'124''0

四、設(shè)有線性方程組及=6,其中力=269,b=1

4920「3

（1）求.4=LU分解；（2）求方程組的解（3）判斷矩陣力的正定性（14分）

五、設(shè)有線性方程組及=6.其中

-12-4"

J=1I2.試討論Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性.（14分）

1I1

寂涯網(wǎng)絡(luò)jybase.nct2008?2009學(xué)年第」_學(xué)期《計算方法》課程試卷B第工頁共，頁

六、設(shè)方程Y+41-10=0在口,2］內(nèi)有實根a.試寫出迭代公式

x*+i=O（xJ）*=0.L2,…，使kj—a.（10分）

七、設(shè)力是非奇異矩陣.矩陣序列W*｝滿足Xz=X1（2/-4X*）,若/（/-4丫。）＜1,

證明：limX*=/T（8分）

寂涯網(wǎng)絡(luò)eiybasc,net2008?2009學(xué)年第二_學(xué)期《計算方法》課程試卷B第_￡_頁共_1_頁

200_8_?200_9_學(xué)年第學(xué)期

《計算方法》課程

試卷(A)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

開課二級學(xué)院：理學(xué)院，學(xué)生班級：07數(shù)學(xué),07信算1,2教師:何滿喜

一、填空(共27分，每空3分)

1,32,-xl0~*3,1164.T>I5,4

4

6.-/=,X7,-=a+bx8.S

2出+力.的空心7

1=1i=l?=1

二(共15分)、由公式得

p(x)=f(x0)+/[x。,x](x-&)+f[x0,x,,x,](A--.r0Xx-$)3'

lr(V)l=|3!(X+2)X(X-2)……3'

Mc、，M1686?,?

<—\(x+2).r(x-2)|<-x—==~~M....3

oo3y327

三(共12分)、根據(jù)給定數(shù)據(jù)點的個數(shù)應(yīng)該用兜化simpson公式計算由公式得

\y(x)dx=1(/(0)+4(/(0.5)+/(1.5))+2/(1)+/(2))……4'

風(fēng)/巴)|=一嬴川/⑷⑺……3"

Zoov

<------M=------3'

28801440

若用其它公式計算正確，且誤差比以上的誤差大時只給過程分?jǐn)?shù)8分.扣除方法分?jǐn)?shù)4分.

四、(10分)把方程/+5--12=0等價變?yōu)橐韵路匠?2'

?計算方法》課程試卷A參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁共3頁

MXtp(x}=,....2'則有=/I=，....2'

Vx+52J(x+5)，

因此對1<x<2有2'

2J(x+5.2J(i+5)s266

所以由定理可知迭代公工Uz=叭心）是收斂的.即迭代公式

收斂千方程在區(qū)間口.2］內(nèi)根a上.2'

人+5

13

五、（14分）因為［A,b］=310

515

'100Y135、

(1)J=LU=300103'

A01八00

00Y135100”135、

(3)由于A=310010311010

540

、5005八500

所以矩陣A是對稱正定的…3'

-0-44

六(14分)、Bt=D-'(D-A)=-20-22'

-4-40

:.囚一即=萬=0……2'

所以p（Bt）=0<l,由定理可知簡單（Jacobi）迭代法收斂.……3'

‘100、0-44‘0-44、

B2=(I-L)-'U=-21000-2=08-10...2,

、4-41,000、0-1624,

2

\AI-B2\=2(Z-322+32)=0……2,

所以p（&）=16+4jiZ>l,由定理可知Seidel迭代法不收斂。……3'

<計算方法》課程試卷A叁考容案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁共3頁

七（8分）、證：A2的元素為=aii--al.=aji-23端,

a\\a\\

因此出為對稱矩陣.……2'

10—o-

°n?！?T

4”一啊11…00O1'

記叫i=—,Lx=.則L/L；==...2'

anA2O

—mal0??10

對任意n-1維非零向量/.作x=（0,x；）',記］，=上"，則y戶0,;.)/力>0,…一2'

為O'

而了川=(G?A(0x)=x"Gx=(0,x；=-%42*0,,?>°，

OA2I:)

從而4為正定矩陣.……2'

＜計算方法》課程試卷A參考答案及訐分標(biāo)準(zhǔn)第」_頁共」_頁

課程編號：12000044北京理工大學(xué)2010-2011學(xué)年第一學(xué)期

2009級計算機學(xué)院《數(shù)值分析》期末試卷A卷

班級學(xué)號姓名成績

注意：①答題方式為閉卷.

②可以使用計算器.

請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上.

一、填空題（2

0X2'）

1.設(shè)尸0.231是精確值廿=0.229的近似值，則x有_____________位有效數(shù)字。

lIXYlloo^（注意：不計算114rli8的值）。

3.非線性方程大x）=0的迭代函數(shù)k（x）在有解區(qū)間滿足，則使用該

迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。

4.若HxK7一好+1,則ypoZZZUNZt___________________________，

真20,2口2,232t25,26,27］］=.

5.區(qū)間心力］上的三次樣條插值函數(shù)S（x）在［a/］上具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

6.當(dāng)插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛

頓差商公式的（填寫前插公式、后插公式或中心差

分公式），若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的

（填寫前插公式、后插公式或中心差分公式）：如果要估計結(jié)果的舍入誤差，

應(yīng)該選用插值公式中的-

7.拉格朗日插值公式中式動的系數(shù)a仆）的特點是：￡%（x）=：

f?0

所以當(dāng)系數(shù)詠X)滿足,計算時不會放大人動的誤

差.

8.要使畫的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取______位有效數(shù)字。

9.對任意初始向量X。)及任意向量g,線性方程組的迭代公式""心區(qū)西)

+g(jl=0,l,…)收斂于方程組的精確解產(chǎn)的充分必要條件是

10.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是

X00.511.522.5

-2-1.75-10.2524.25

11.牛頓下山法的下山條件為

12.線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差々a=0』「\〃)來實現(xiàn)的，其中

的殘差r,—,(z=0,l,?*^).

13.在非線性方程凡*)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解.

且*x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點沏的選取依據(jù)為

14.使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、、迭代計算。

二、判斷題(在題目后的()中填上“或"X".)

(ioxr)

1、若4是〃階非奇異矩陣，則線性方程組4￥=b一定可以使用高斯消元法求解。

()

2、解非線性方程小)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的.

()

3、若/為〃階方陣，且其元素滿足不等式

|%|A(i=

沖

則解線性方程組4r的高斯——塞德爾迭代法一定收斂.

4、樣條插值一種分段插值。()

5、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。

()

6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截

斷誤差及舍入誤差.

()

7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組4￥=兒()

8、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后

一步迭代計算的舍入誤差.

()

9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原

則是截斷誤差=舍入誤差。

()

10,插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差.()

三、計算題

(5X8'+10')

1、用列主元高斯消元法解線性方程組。(計算時小數(shù)點后保留5位)。

xl-x2+x3--4

?5xt-4X2+3X3=-12

2x,+x2+x3=11

2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x),

并寫出其截斷誤差的表達(dá)式(設(shè)凡t)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。

0012

A.)1-13

15

3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高

斯——賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一

一賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。

2X1-x2+x4=1

xt—x3+5X4=6

+4X3—x4=8

-x,+3X2-x3=3

4、設(shè)尸口加，當(dāng)取xo=1.74,XI=L76,X2=L78建立拉格朗日插值公式計算x=1.75的

函數(shù)值時，函數(shù)值外,以,力應(yīng)取幾位小數(shù)？

5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)）=/（口的如下數(shù)據(jù)：

勺-0.110.001.501.80

A.)-1.23-0.101.171.58

若用插值法計算,x約為多少時｛丫）=1.（計算時小數(shù)點后保留5位）。

6、應(yīng)用牛頓法于方程/（X）=1--?=O,導(dǎo)出求函的迭代公式，并用此

公式求JIB的值。（計算時小數(shù)點后保留4位）。

課程編號：12000044北京理工大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期

2009級計算機學(xué)院《數(shù)值分析》期末試卷A卷

班級學(xué)號姓名成績

注意：①答題方式為閉卷。

②可以使用計算器。

請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上.

四、填空題(20X2')

15.設(shè)尸0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字。

16.設(shè)「321r2T14118=5.Ilxil8=_

A==

-21J[__3_

3,

II/LTIIoo^15.

17.非線性方程./(x)=0的迭代函數(shù)尸(X)在有佛區(qū)間滿足I'(x)|<1，則使

用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。

18.若凡丫內(nèi)7一必+1,則八2。2,22,23,24,25,262]=1,

外2。.町=0°

19.區(qū)間口力]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在口⑸上具有直到」_階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

20.當(dāng)插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛

頓差商公式的前插公式,若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點

下牛頓雜商公式的后插公式：如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該

選用插值公式中的拉格朗日插值公式。

21.拉格朗日插值公式中風(fēng)動的系數(shù)a,G)的特點是：￡%(x)=J：

f?O

所以當(dāng)系數(shù)見外滿足。仆)>1，計算時不會放大

人功的誤差.

22.要使舊的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取4位有效數(shù)字.

23.對任意初始向量X。)及任意向量g,線性方程組的迭代公式

+以上=0,1,…)收斂于方程組的精確解產(chǎn)的充分必要條件是_____________但

24.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是5

X00.511.522.5

.詞X)-2-1.75-10.2524.25

25.牛頓下山法的下山條件為為xn+l)KIRxn)l.

26.線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差r,…⑼來實現(xiàn)的，其中

的殘差門=血氣.也印工…也夢必"_______________________,(Z=O,1,

27.在非線性方程使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解.

且大外的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點x0的選取依據(jù)為f{xO)『(xO)>O

28.使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值___________、迭代計算.

五、判斷題(ioxr)

10、若力是〃階非奇異矩陣，則線性方程組4r=8一定可以使用高斯消元法

求解。(x)

11,解非線性方程.4x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。

()

12、若“為〃階方陣，且其元素滿足不等式

%|之￡同"=1，2，…,〃)

j=l

川

則解線性方程組4r=6的高斯——塞德爾迭代法一定收斂。

(X)

13、樣條插值一種分段插值。

()

14、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。

()

15、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、

截斷誤差及舍入誤差.

()

16、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX=b.

(X)

17、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到

最后一步迭代計算的舍入誤差。

(X)

18、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分

配原則是截斷誤差=舍入誤差.

()

10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。

X)

六、計算題(5X10')

1、用列主元高斯消元法解線性方程組.

X]-X?+x3=—4

?5巧—4X2+3x?=-12

2x.+x,+x,=11

解答：

(1,5,2)最大元5在第二行，交換第一與第二行：

5x1-4X2+3巧=-12

?xl-x2+x3=-4

2X[+.r2+x3=11

L21=l/5=0.2,hi=2/5=0.4方程化為:

5Xj—4X2+3X3=-12

?—0.2工2+0.4x3=-1.6

2.6.一0.2X3=15.8

(-0.226)最大元在第三行，交換第二與第三行:

5Xj-4X2+3巧=-12

?2.6X2-0.2&=15?8

—0.2x,+0.4x,=-1.6

L32Ho.2/2.6=9076923,方程化為:

5Xj-4X2+3X3=-12

?2.6*2-0.2x3=15.8

V,0.38462x,3=-0.38466

回代得：f毛=3.00005

?x2=5.99999

x,=-1.00010

2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式R（x）,

并寫出其截斷誤差的表達(dá)式（設(shè)4r）在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）.

為012

助）1-13

/'(M15

解答：

做差商表

xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+Lxi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]

01

1-1-2

1-113

23430

2351-2-1

P4(x)=l-2x-3x(x-l卜x(x-1)(x-1)(x-2)

R4(x)=R5)()/5!x(x-l)(x-l)(x-2)(x-2)

3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高

斯——賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一

一賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由.

2x,-x2+=1

x,—x3+5X4=6

x2+4X3—K=8

-x,+3x,—x3=3

解答：

交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu):

2X1-X2+X4=1

—x,+3X2—x3=3

x2+4X3—x4=8

x,—x3+5X4=6

雅克比迭代公式：

2xt-x2+x4=1

-Xj+3X2-x3=3

x2+4x3—.口=8

x,—x3+5xt=6

4、設(shè).產(chǎn)sinx,當(dāng)取.“=1.74,X]=1.76,X2=L78建立拉格朗日插值公式計算T=1.75的

函數(shù)值時，函數(shù)值用刈,”應(yīng)取幾位小數(shù)？

5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù):

勺-0.110.001.501.80

加）-1.23-0.101.171.58

若用插值法計算，x約為多少時兒。=1。（計算時小數(shù)點后保留5位）.

6、應(yīng)用牛頓法于方程/（*）=1-?=0,導(dǎo)出求?的迭代公式，并用此

公式求J幣的值。（計算時小數(shù)點后保留4位）.

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷（A卷）

2007學(xué)年第二學(xué)期考試科目：數(shù)值分析考試時間：120分鐘

學(xué)號姓名年級專業(yè)

三

題號—二四總分

123456

得分

評閱人

一、判斷題（每小題2分，共10分）

1000[

1.用計算機求工需時，應(yīng)按照〃從小到大的順序相加.

el〃

2.為了減少誤差，應(yīng)將表達(dá)式J麗-J麗改寫為T=="/進行計算.（）

V2001+V1999

3.用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時，步長越小計算就越精確.（）

4.采用龍格一庫塔法求解常微分方程的初值問題時,公式階數(shù)越高，數(shù)值解越精確。（

）

5.用迭代法解線性方程組時,迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有

關(guān)，與常數(shù)項無關(guān)。<

二、填空題（每空2分，共36分）

1.已知數(shù)a的有效數(shù)為0.01,則它的絕對誤差限為.相對誤差限為

2.設(shè)Z=0—21,x=-5，則||4=_____-||x||2=______.14丫,=______.

-130J|_1

3.己知/(x)=2xs+4x3-5x,則/[-1,1,0]=-2,-1,1,2,3]=.

4.為使求枳公式J：/(xMm4/(-4)+4/(0)+的代數(shù)精度盡fit高，應(yīng)使

4=.4=.4=，此時公式具有次的代數(shù)精度.

5.n階方陣A的譜半徑0(4)與它的任意一種范數(shù)?|的關(guān)系是.

6.用迭代法解線性方程組4丫=8時，使迭代公式=N(￡=0,1,2,…)產(chǎn)

生的向量序列｛Yu,｝收斂的充分必要條件是.

7.使用消元法解線性方程組4丫=8時，系數(shù)矩陣彳可以分解為卜三角矩陣上和上三角矩

陣U的乘枳,即4=▲(/.若采用高斯消元法解4r=8,其中/=4-2,則

21

L=.U=：若使用克勞特消無法解4丫=8,則

/=：若使用平方根方法解AX=B,則。與wu的大小關(guān)系為(選填：

>.<,=,不一定)。

f

8.以步長為1的二階泰勒級數(shù)法求解初值問題<J'='+'的數(shù)值解,其迭代公式為

三、計售題(第1?3、6小題每題8分，第4、5小題每題7分，共46分)

1.以X。=2為初值用牛頓迭代法求方程/(x)=x3-3x7=0在區(qū)間(L2)內(nèi)的根.要求

(1)證明用牛頓法解此方程是收斂的：

(2)給出用牛頓法解此方程的迭代公式.并求出這個根(只需計算七,毛，計算結(jié)果

取到小數(shù)點后4位).

2.給定線性方程組

Xj+0.4X2+0.4巧=1

,0.4Xj+x2+0.8X3=2

0.4X]+0.8X2+x3=3

(1)分別寫出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組的迭代公式:

(2)試分析以上兩種迭代方法的斂散性。

3.已知函數(shù)J，=/（x）在如卜節(jié)點處的函數(shù)值

X-1012

y1430

（1）建立以上數(shù)據(jù)的差分表：

（2）根據(jù)后三個節(jié)點建立二階牛頓后插公式巴（x）,并計算雙1.1）的近似值:

（3）采用事后估計法計算（2）中近似值的截斷誤差（結(jié)果保留四位小數(shù)）.

4.已知如下數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求它的二次坡小平方逼近多項式.

X-1012

y1250

5.已知函數(shù)j=/(x)在以下節(jié)點處的函數(shù)值，利用差商表求，⑶和/*(3)的近似值。

X134

y218

6.寫出前進歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個公式構(gòu)造一個預(yù)估一校正公式求解F列

常微分方程的數(shù)值解.

/=x2+/

(04x41,h=0.2)

"0)=0

四、（8分）已知n+1個數(shù)據(jù)點（七，乂*=04,2,請用多種方法建立這些數(shù)據(jù)點之間

的函數(shù)關(guān)系,并說明各種函數(shù)的適用條件.

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）

2007學(xué)年第二學(xué)期考試科目：數(shù)值分析

一、判所題：（每小題2分，共10分）

1.X2.V3.X4.X5.X

二、填空池：（每空2分，共36分）

I.0.005或0.5x1Of,0.5

2.5,726,15

3.0,2

4.1,0,1,3

5.夕(⑷41|川

6.p(M)<\

"°1k山

'1ro2,1=

1_2」L」

8.券+1="+K+”)+g。+x“+J'")或"+1=L5x.+2.5乂+0.5,M=0,1,2,…

三、解答題(第1?4小題每題8分，第5、6小題每題7分，共46分)

1.(1)證明：/(x)=.x3-3x-l,由于

a)/(1)=-3<0,/(2)=1>0,

b)/'(幻=3/-3工0(xe(l,2)),

c),n.r)=6.v>0(xe(l,2)),即r(x)在(1,2)上不變號.

d)對于初值a=2,滿足/(2)./(2)>0,

所以用牛頓迭代法求解此方程是收斂的.

............................4分

(2)解：牛頓迭代法的迭代公式為

/K)x：-3x.-l

v.=r----------=v——--------------

""+,"f\x?)"3x：-3

............................2分

取初值0=2進行迭代，得

x,=1.8889,

............................1分

x2=1.8795.

............................1分

2.解：(1)Jasbi迭代公式為

工—=-0.4壯＞-0.4引＞+1

，x)“=T).4x，'-0.8x『+2.....................................2分

x"=-0.4x)-0.8xj+3

Gauss-Seidel迭代公式為

x；*+n=-0.4x『一0.4x『+1

，x：+n=-0.4x產(chǎn)-0.8x7+2.....................................2分

=-0.4*+”-0.8x；w，+3

X0.40.4

(2)Jacobi迭代矩陣的特征方程為0.4A0.8=0.展開得

0.40.8A

0.964+0.256=0，即(4-0.8)(2+0.4+A/O.505)(2+0.4-＞/o.5O5)=0.

從而得2,=-1.09280,=0.8000,A,=0.2928.(或由單調(diào)性易判斷必有一個大于1

的特征根.)因此迭代矩陣的譜半徑等于必大于1，所以Jacobi迭代法發(fā)散.

......................................2分

20.40.4

Gauss-Seidel迭代矩陣的特征方程為0.4420.8=0,展開得

0.420.82A

K/l1-0.8321+0.128)=0.解得A,=0,4e0.628,4,0.204,迭代矩陣的譜半徑小

于1,所以Gauss-Seidel迭代法收斂.

.....................................2分

解：（1）建立差分表

XyAFA[FA,r

-11

3

04-4

-12

13-2

-3

20

2分

（2）建立牛頓后插公式為

=-3(x—2)-(X-2)(x-1)

-X'+4

則所求近似值為

A(l.l)=2.79

3分

（3）根據(jù)前三個方點建立牛頓后插公式為

則考”(1.1)=2.68

根據(jù)事后誤差估計法

x-2

[A(0.9)-7>,,,(0.9)]

x+1

故截斷誤差

-0.9

號。.1)加——x(2.79-2.68)?-0.0471

2.1

3分

4.解：設(shè)所求二次最小平方逼近多項式為4（幻=q+。9+/12.根據(jù)已知數(shù)據(jù).得

2

,?=

2分

則

M'M=

1分

建立法方程組為

2分

解得

ac=3.5,ax=1.5,a2=-1?5?

1分

從血得所求一次最小平方逼近多項式為4(x)=3.5+1.5x-l.5x2.

5.解：設(shè)4(x)為已知節(jié)點數(shù)據(jù)的插值二次型項式.構(gòu)造如F差商表:

Xy一階差商二階差商

12

25

48

72

31

用3,31巴[4,3,3]

3P式3)

用3,3|川3,3,3]

34(3)

.....................................2分

因為二次多項式的二階差商為常數(shù)，又￡(x)是/(x)的插值函數(shù),故有

7?|4,3,3|=^13,3,3|=1

.....................................2分

而

1居[3,3]-75

4143,3]=———=Q，

因此得

9

^1X31=

由于

|x,x,x,…用.