2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期名校領(lǐng)軍考試試題文含解析

PAGE18-2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期名校領(lǐng)軍考試試題文（含解析）留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，，再求交集即可．【詳解】＝＝，

，

故＝，故選：C【點睛】本小題主要考查交集的概念和運算，考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則=（）A.2 B.8 C. D.13【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運算化簡，再由求解.【詳解】依題意＝，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運算，考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.3.直線繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與雙曲線：的一條漸近線重合，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)后直線的夾角得出其直線方程，結(jié)合漸近線方程，利用離心率公式，化簡即可得出答案.【詳解】直線繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得直線的傾斜角為，則旋轉(zhuǎn)后的直線方程為所以，雙曲線的離心率.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則a5=（）A.2 B.4 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)數(shù)列的公比為，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式進行化簡，由此求得的值.【詳解】依據(jù)題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，若，則＝＝.故選：B【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.5.已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則3x-y的最大值是（）A.4 B.3 C.-2 D.-【答案】A【解析】【分析】首先畫出平面區(qū)域，令＝，利用目標函數(shù)幾何意義求最大值．【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖：

令＝變形為＝，

此直線在軸截距最小時，最大，

由區(qū)域可知，直線經(jīng)過圖中時，取最大值；

由：；

∴；

∴取最大值為：＝故選：A【點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.6.某中學(xué)實行“感恩、責任、信仰、奮斗”的十八歲成人禮儀式，其中有一項學(xué)生發(fā)言，打算從3名男生、2名女生中隨機選2人發(fā)言，則既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】基本領(lǐng)件總數(shù)，既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，由此能求出既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言的概率．【詳解】某中學(xué)實行“感恩、責任、信仰、奮斗”的十八歲成人禮儀式，

其中有一項學(xué)生發(fā)言，打算從名男生、名女生中隨機選人發(fā)言，

基本領(lǐng)件總數(shù)，

既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，∴既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言的概率．故選：C【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.7.已知變量x，y的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)z=lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)下：由上表可得線性回來方程，則c=（）A.-4 B. C.109 D.e109【答案】D【解析】【分析】依據(jù)回來直線方程過樣本中心點，求得，再依據(jù)對數(shù)運算求得的值.【詳解】，代入得，解得.所以.由＝，得＝＝＝，令＝，則＝，∴＝，則＝．故選：D【點睛】本小題主要考查回來直線方程的計算，考查非線性回來有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為4，則推斷框內(nèi)可填入的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案．【詳解】其次次執(zhí)行循環(huán)體，＝，＝，不滿意退出循環(huán)的條件（1）第三次執(zhí)行循環(huán)體，＝，＝，不滿意退出循環(huán)的條件（2）第四次執(zhí)行循環(huán)體，＝，＝，滿意退出循環(huán)的條件（3）若輸出的值為，則推斷框內(nèi)可填入的條件是？.故選：C【點睛】本小題主要考查補全程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，過點A及C1D1中點作與直線平行的平面α，則平面α與該正方體ABCD-A1B1C1D1各面交線長度之和為（）A.5 B.2 C.2+3 D.5【答案】B【解析】【分析】由題意畫出圖形，找出截面，求解三角形得答案．【詳解】如圖，為

的中點，則，得平面，由及，可得，則，，求得，＝，＝．∴平面與該正方體各面交線長度之和為．故選：B【點睛】本小題空間線段長度的計算，考查空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知定義在上的增函數(shù)f(x)滿意對隨意，都有，且，若，則a的取值范圍是（）A. B.(-1，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】B【解析】【分析】利用賦值法求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得不等式中的取值范圍.【詳解】由，得，即，由于，.，即.由于在上遞增，所以由，得，則，解得.故選：B【點睛】本小題主要考查依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，所以基礎(chǔ)題.11.蒙日圓涉及的是幾何學(xué)中的一個聞名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條相互垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓C：(a>0)的蒙日圓，a=（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由題意可得橢圓上兩條相互垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，設(shè)特別值法，求出兩條切線的交點坐標，代入蒙日圓的方程可得的值．【詳解】因為橢圓上兩條相互垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，找兩個特別點分別為，，則兩條切線分別是，，這兩條切線相互垂直，且兩條直線的交點為，而在蒙日圓上，所以＝，解得＝.故選：A【點睛】本小題主要考查利用給定的定理進行計算，考查橢圓的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.12.已知數(shù)列滿意，設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，則S2024=（）A.2024 B.2024 C.1010 D.0【答案】D【解析】【分析】本題可先構(gòu)造數(shù)列：令，先得出數(shù)列的特點及周期性，然后可得數(shù)列的規(guī)律，再用分組求和法可得的值，再通過＝可得到正確選項．【詳解】由題意，可構(gòu)造數(shù)列：令，則可得數(shù)列，，，，，，，，…即數(shù)列是最小正周期為的周期數(shù)列．∴數(shù)列，，，，，，，，…∴＝＝＝＝，∴＝＝＝．故選：D【點睛】本小題主要考查分組求和法，考查分析、思索與解決問題的實力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.斜率為-1的直線l與的圖象相切，則直線l的方程為____.【答案】＝【解析】【分析】設(shè)出切點坐標，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于求得切點坐標，再由直線方程的點斜式得答案．【詳解】設(shè)切點坐標為，由，得＝，則，即＝，則．∴直線的方程為，即＝．故答案為：＝【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，若，則k=__________.【答案】【解析】【分析】求出的坐標，利用向量的數(shù)量積運算即可求解．【詳解】．∵＝，∴＝．∴＝．故答案為：【點睛】本小題主要考查平面對量數(shù)量積的坐標運算，考查平面對量坐標的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.15.函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】求出時，；令求出的取值范圍即可．【詳解】函數(shù)＝，當時，；令，解得，此時存在，使得＝，所以的取值范圍是．故答案為：【點睛】本小題主要考查依據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.16.在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，AD=，把該四邊形沿AC折起，使得點B到達點E，且平面AEC⊥平面ACD，若點A、C、D、E都在同一個球的表面上，則該球的表面積為_____.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，證明的中點為三棱錐外接球的球心，求解三角形可得，代入球的表面積公式得答案．【詳解】如圖，由＝＝，＝，得，即，又平面平面，平面平面＝，∴平面，底面為等腰直角三角形，過的中點作底面的垂線，交于，則為三棱錐外接球的球心，則外接球的半徑．∴球的表面積為．故答案為：【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算，考查空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.2024年國慶節(jié)假期期間，某商場為駕馭假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計了10月1日7:00-23：00這一時間段內(nèi)顧客0這一時間段內(nèi)顧客購買商品人次，統(tǒng)計發(fā)覺這一時間段內(nèi)顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7:00?11:00，11:00?15:00，15:00~19:00，19:00~23:00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].（1）求該天顧客購買商品時刻的中位數(shù)t與平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）現(xiàn)從10月1日在該商場購買商品的顧客中隨機抽取100名顧客，經(jīng)統(tǒng)計有男顧客40人，其中10人購物時刻在[19，23](夜晚)，女顧客60人，其中50人購物時刻在[7，19)(白天)，依據(jù)供應(yīng)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認為“男顧客更喜愛在夜晚購物”?附：【答案】中位數(shù)為，平均數(shù)為；（2）2×2列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為“男顧客更喜愛在夜晚購物”.【解析】【分析】（1）利用頻率之和為列方程，解方程求得中位數(shù)，利用平均數(shù)的估計方法，求得平均數(shù)的估計值.（2）填寫2×2列聯(lián)表，計算出的值，由此推斷出沒有的把握認為“男顧客更喜愛在夜晚購物”.【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為，則＝，解得＝．平均數(shù).（2）列聯(lián)表如圖：白天夜晚總計男顧客女顧客總計觀測值．∴沒有的把握認為“男顧客更喜愛在夜晚購物”．【點睛】本小題主要考查依據(jù)頻率分布直方圖計算中位數(shù)和平均數(shù)，考查列聯(lián)表獨立性檢驗，屬于基礎(chǔ)題.18.已知△ABC中.（1）求cos∠BAC;（2）若AC=3，AB=1，點D在BC邊上，且∠BAD=∠CAD，求AD的長【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此求得的值.（2）依據(jù)的值，求得的值.利用等面積法列方程，解方程求得的長.【詳解】（1）中，∵，∴由正弦定理得，由，，得：＝，整理，得：＝，∴＝，∴＝，∵，，∴．（2）由，得，由＝，得＝，由＝，得：，整理，得，解得．【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD=2，AB=BC=1，CD=，點E為PD中點.（1）求證：CE∥平面PAB；（2）若PA⊥AD，P4=2，∠PAB=，求三棱錐A-PCD的體積【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）作于，點為中點．證明四邊形是平行四邊形，推出，然后證明平面．（2）求出到平面的距離，三角形的面積，然后轉(zhuǎn)化求解三棱錐的體積．【詳解】（1）作于，點為中點．所以為的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面．（2），，所以平面，＝，，所以到平面的距離為：，＝，＝＝，，所以三角形的面積為：，三棱錐的體積為：．【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查錐體體積計算，考查空間想象實力和邏輯推理實力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知過點P（4，0）的動直線與拋物線C：交于點A，B，且（點O為坐標原點）.（1）求拋物線C的方程；（2）當直線AB變動時，x軸上是否存在點Q使得點P到直線AQ，BQ的距離相等，若存在，求出點Q坐標，若不存在，說明理由.【答案】（1）＝；（2）軸上存在點，使得點到直線，的距離相等.【解析】【分析】（1）設(shè)過點的動直線為＝，聯(lián)立拋物線的方程，設(shè)，，運用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡可得，進而得到拋物線方程；（2）軸上假設(shè)存在點符合題意，由題意可得＝，運用直線的斜率公式和韋達定理，化簡可得的值，即可推斷存在性．【詳解】（1）設(shè)過點的動直線為＝，代入拋物線＝，可得＝，設(shè)，，可得＝，由可得＝＝，解得＝，則拋物線的方程為＝；（2）當直線變動時，軸上假設(shè)存在點使得點到直線，的距離相等，由角平分線的判定定理可得為的角平分線，即有＝，由（1）可得＝，＝，則，化為＝，即為＝，化簡可得＝，則軸上存在點，使得點到直線，的距離相等．【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查考查拋物線中的定點問題，考查運算求解實力，屬于中檔題.21.已知.（1）探討函數(shù)_f(x)的單調(diào)性；（2）若，且有2個不同的極值點，求證：.【答案】（1）時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可推斷的單調(diào)性；（2）①方法一：依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，求得和的關(guān)系，因此可以求得的取值范圍；方法二：依據(jù)方法一求得和的關(guān)系，依據(jù)函數(shù)的零點存在定理求得的取值范圍；②依據(jù)①可知，表示出，消元，依據(jù)的取值范圍和函數(shù)的單調(diào)性即可求得【詳解】（1），求導(dǎo)，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增；②當時，，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上可知，時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）①方法一：因為＝，所以，有個不同的極值點，，則，是方程＝的兩個根，由，得＝，且＝，＝，結(jié)合，可得，由，得，所以，方法二：因為＝，所以，有個不同的極值點，，則，是方程＝的兩個根，由，得＝，且＝，＝，結(jié)合，可得，設(shè)＝＝，因為，＝，由零點存在定理得；②，設(shè)，，求導(dǎo)，，，故＝單調(diào)遞減，，所以【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］22.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R).在以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為.（1）若點A(0，4)在直線l上，求直線l極坐標方程；（2）已知a>0，若點P在直線l上，點Q在曲線C上，若|PQ|最小值為，求a的值.【答案】（1）（2）【解析】