專題05 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（4知識點+8重難點+6技巧+4易錯）（原卷版）-2025高考數(shù)學一輪復習知識

專題05一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1導數(shù)的概念1、函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)定義一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函數(shù)f(x)的導函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導函數(shù)．知識點2導數(shù)的運算1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、導數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．3、復合函數(shù)的導數(shù)（1）復合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過中間變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為和的復合函數(shù)，記作.（2）復合函數(shù)的求導法則：一般地，復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間的關系為，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.規(guī)律：從內到外層層求導，乘法連接。（3）求復合函數(shù)導數(shù)的步驟第一步分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數(shù)；第二步分別求導：分別求各層函數(shù)對相應變量的導數(shù)；第三步相乘：把上述求導的結果相乘；第四步變量回代：把中間變量代回。知識點3導數(shù)與函數(shù)的單調性1、導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系在某個區(qū)間內，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減．【注意】（1）在某區(qū)間內（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；（2）可導函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內都不恒為零．2、導數(shù)法求函數(shù)單調區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間．知識點4導數(shù)與函數(shù)的極值、最值1、函數(shù)的極值（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．2、函數(shù)的最值（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3、函數(shù)極值與最值的關系（1）函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的，是一個整體的概念，與函數(shù)的極大（?。┲挡煌?，函數(shù)的最大（?。┲等粲?，則只有一個。（2）開區(qū)間內的可導函數(shù)，若有唯一的極值，則這個極值是函數(shù)的最值。重難點01根據(jù)切線情況求參數(shù)已知，過點，可作曲線的（）條切線問題第一步：設切點第二步：計算切線斜率；第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關于的方程就有幾個實數(shù)解；【典例1】（23-24高三上·廣東·月考）若曲線在點處的切線方程為，則．【典例2】（22-23高三下·湖南長沙·月考）設直線是曲線的一條切線，則．【典例3】（23-24高三上·廣西南寧·月考）已知曲線與的公切線為，則實數(shù).重難點02含參函數(shù)單調性討論依據(jù)（1）導函數(shù)有無零點討論（或零點有無意義）；（2）導函數(shù)的零點在不在定義域或區(qū)間內；（3）導函數(shù)多個零點時大小的討論?！镜淅?】（23-24高三下·江西·月考）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程;（2）若，討論的單調性.【典例2】（2024·海南·模擬預測）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)（為的導函數(shù)），討論的單調性.重難點03構造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型關系式為“加”型構造：構造（2）構造（3）構造（4）構造（注意的符號）（5）構造關系式為“減”型構造：（6）構造（7）構造（8）構造（9）構造（注意的符號）（10）構造【典例1】（2024·山東聊城·三模）設函數(shù)的定義域為，導數(shù)為，若當時，，且對于任意的實數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且恒成立，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·山東菏澤·月考）若定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為重難點04單變量不等式恒成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2024·河南·三模）若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．【典例2】（2024·陜西·二模），有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．重難點05雙變量不等式與等式一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．【典例1】（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）對于，使得，求實數(shù)的取值范圍．【典例2】（2023高三·全國·專題練習）設函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線過點，求的值；（2）設若對，，使得成立，求的取值范圍．重難點06導數(shù)與函數(shù)零點問題利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法1、圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極（最）值的位置，借助數(shù)形結合的思想分析問題（畫草圖時注意有時候需要使用極限）；2、利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值（最值）及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)?！镜淅?】（2024高三下·浙江杭州·模擬預測）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函數(shù)在區(qū)間內有唯一極值點，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內有唯一零點.重難點07隱零點問題的應用導函數(shù)的零點不可求時的應對策略：1、“特值試探”法：當導函數(shù)的零點不可求時，可嘗試利用特殊值試探，此時特殊值的選取應遵循以下原則：①在含有的函數(shù)中，通常選取，特別地，選當時，來試探；②在含有的函數(shù)中，通常選取，特別地，選取當時，來試探，在探得導函數(shù)的一個零點后，結合導函數(shù)的單調性，確定導函數(shù)在零點左右的符號，進而確定原函數(shù)的單調性和極值，使問題得到解決.2、“虛設和代換”法：當導函數(shù)的零點無法求出顯性的表達式時，我們可以先證明零點存在，再虛設為，接下來通常有兩個方向：①由得到一個關于的方程，再將這個關于的方程的整體或局部代入，從而求得，然后解決相關的問題；②根據(jù)導函數(shù)的單調性，得出兩側導函數(shù)的正負，進而得出原函數(shù)的單調性和極值，使問題得解。【典例1】（23-24高三上·湖南·月考）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）記函數(shù)的導函數(shù)為，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函數(shù)；（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）在恒成立，求整數(shù)的最大值.重難點08極值點偏移問題證明極值點偏移問題常用思路：利用分析法，將所證不等式中的變量分到不等式的兩邊，構造對稱函數(shù)，注意將和化到同一區(qū)間，再利用導數(shù)據(jù)研究函數(shù)的單調性，求極致、最值等手段證得不等式?！镜淅?】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)為實數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）若存在滿足，求證：.【典例2】（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).（1）若，求的取值范圍;（2）若、是的零點，且，證明:.一、導數(shù)定義中極限的計算瞬時變化率的變形形式lim?x→0【典例1】（2023·吉林長春·模擬預測）利用導數(shù)的定義計算值為（

）A．1 B． C．0 D．2【典例2】（2024·江蘇南通·二模）已知，當時，.二、求曲線“在”與“過”某點的切線1、求曲線“在”某點處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點處切線的斜率第二步（寫方程）：用點斜式第三步（變形式）：將點斜式變成一般式。2、求曲線“過”某點處的切線方程步驟第一步：設切點為；第二步：求出函數(shù)在點處的導數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為．【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲線在點處的切線方程為．【典例2】（23-24高三上·山東青島·期中）曲線過原點的切線方程為.三、已知函數(shù)的單調性求參數(shù)（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調增（單減）在區(qū)間D上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內單調不存在變號零點（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內不單調存在變號零點【典例1】（2023·貴州遵義·模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．m>1四、利用導數(shù)求函數(shù)的極值或極值點1、利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟（1）求導數(shù)；（2）求方程的所有實數(shù)根；（3）觀察在每個根x0附近，從左到右導函數(shù)的符號如何變化．①如果的符號由正變負，則是極大值；②如果由負變正，則是極小值．③如果在的根x＝x0的左右側的符號不變，則不是極值點．【典例1】（23-24高三下·山東菏澤·月考）函數(shù)的極小值點為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函數(shù)在處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求的極值.五、根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)根據(jù)函數(shù)的極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路：根據(jù)函數(shù)的極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路先求解出，然后分析的根的個數(shù)：①分類討論法分析的根的個數(shù)并求解參數(shù)范圍；②參變分離法分析的根的個數(shù)并求解參數(shù)范圍；③轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題并求解參數(shù)范圍.【典例1】（23-24高三上·山西臨汾·月考）已知曲線在點處的切線斜率為3，且是的極值點，則函數(shù)的另一個極值點為.【典例2】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．六、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內可導，則求函數(shù)最值的步驟為：（1）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；（3）實際問題中，“駐點”如果只有一個，這便是“最值”點。【典例1】（23-24高三下·河南·月考）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖南長沙·月考）已知函數(shù).（1）當時，求在處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的最小值.易錯點1復合函數(shù)求導錯誤點撥：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)，即。【典例1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的導數(shù)是．【典例2】（2024高三·全國·專題練習）設函數(shù)，則易錯點2誤解“導數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關系點撥：在使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側導函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導數(shù)與極值關系不清。可導函數(shù)在一點處的導函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點取到極值的必要條件，充要條件是兩側異號?！镜淅?】（2