全國各省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題匯編含答案

學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載2019各省數(shù)學(xué)競(jìng)賽匯集2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、填空題（70分）1、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為__18___.2、在中，已知?jiǎng)t___4____.3、從集合中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，這3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為____________.4、已知是實(shí)數(shù)，方程的一個(gè)實(shí)根是（是虛部單位），則的值為________.5、在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條過原點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若的面積為，則直線的斜率為_______.6、已知是正實(shí)數(shù)，的取值范圍是________.7、在四面體中，,,該四面體的體積為____________.8、已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：則______.（）9、將這個(gè)數(shù)排成一列，使任意連續(xù)個(gè)數(shù)的和為的倍數(shù)，則這樣的排列有___144_____種.10、三角形的周長為，三邊均為整數(shù)，且，則滿足條件的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)為__24___.二、解答題（本題80分，每題20分）11、在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，證明：（1）（2）12、已知為實(shí)數(shù)，，函數(shù).若.（1）求實(shí)數(shù)；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若實(shí)數(shù)滿足，求證：13、如圖，半徑為的圓上有一定點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn).在射線上有一動(dòng)點(diǎn),.線段交圓于另一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).求線段長的取值范圍.14、設(shè)是正整數(shù)，是方程的兩個(gè)根.證明：存在邊長是整數(shù)且面積為的直角三角形.2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試題參考答案（高一年級(jí)）說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評(píng)閱，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。）1．已知集合N，且N，則1．2．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則．3．函數(shù)的值域?yàn)椋?．已知，，則．5．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，如果，則5．6．在△中，角的對(duì)邊長滿足，且，則．7．在△中，，．設(shè)是△的內(nèi)心，若，則的值為．8．設(shè)是方程的三個(gè)根，則的值為－5．二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）9．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，，求的通項(xiàng)公式．解在已知等式兩邊同時(shí)除以，得，所以． ------------------------------------------4分令,則，即數(shù)列是以＝4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列，所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是，當(dāng)時(shí),因此,------------------------------------------16分10．已知正實(shí)數(shù)滿足，且，求的最小值．解令，，則．----------------------------------------5分令，則，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以．因此，的最小值為．------------------------------------------20分11．設(shè)，其中且．若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．解．由得，由題意知，故，從而，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.------------------------------------------5分（1）若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為．在區(qū)間上不等式恒成立，等價(jià)于不等式成立，從而，解得或．結(jié)合得．------------------------------------------10分（2）若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最大值為.在區(qū)間上不等式恒成立，等價(jià)于不等式成立，從而，即，解得．易知，所以不符合．------------------------------------------15分綜上可知：的取值范圍為．------------------------------------------20分2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試題（高二年級(jí)）說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評(píng)閱，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。）1．函數(shù)的值域?yàn)開_______________．2．已知，，則_______________．3．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，如果，則．4．設(shè)集合，是的子集，且滿足，，那么滿足條件的子集的個(gè)數(shù)為．5．過原點(diǎn)的直線與橢圓：交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任一點(diǎn)．若直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為_______________．6．在△中，，．設(shè)是△的內(nèi)心，若，則的值為_______________．7．在長方體中，已知，則長方體的體積最大時(shí)，為_______________．8．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則．二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）9．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，，求的通項(xiàng)公式．10．已知正實(shí)數(shù)滿足，且，求的取值范圍．11．已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，過作斜率分別為的兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點(diǎn)．（1）當(dāng)且時(shí)，求△的面積的最小值；（2）若（為常數(shù)），證明：直線過定點(diǎn)．2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試題參考答案（高二年級(jí)）說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；解答題的評(píng)閱，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。）1．函數(shù)的值域?yàn)椋?．已知，，則．3．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，如果，則5．4．設(shè)集合，是的子集，且滿足，，那么滿足條件的子集的個(gè)數(shù)為185．5．過原點(diǎn)的直線與橢圓：交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任一點(diǎn)．若直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為．6．在△中，，．設(shè)是△的內(nèi)心，若，則的值為．7．在長方體中，已知，則長方體的體積最大時(shí)，為．8．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則2019．二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）9．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，，求的通項(xiàng)公式．解在已知等式兩邊同時(shí)除以，得，所以． ------------------------------------------4分令,則，即數(shù)列是以＝4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列，所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是，當(dāng)時(shí),因此,------------------------------------------16分10．已知正實(shí)數(shù)滿足，且，求的取值范圍．解令，，則．----------------------------------------5分令，則，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以．又，所以．--------------------------------------20分11．已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，過作斜率分別為的兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點(diǎn)．（1）當(dāng)且時(shí)，求△的面積的最小值；（2）若（為常數(shù)），證明：直線過定點(diǎn)．解所在直線的方程為，其中，代入中，得設(shè)，則有，從而則．所在直線的方程為，其中，同理可得．------------------------------------------5分（1）當(dāng)時(shí)，，，，，．又，故，于是△的面積當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，△的面積的最小值為.------------------------------------------10分（2），所在直線的方程為，即．------------------------------------------15分又，即，代入上式，得，即．當(dāng)時(shí)，有，即為方程的一組解，所以直線恒過定點(diǎn)．------------------------------------------20分2019年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1.如圖,正六邊形的邊長為1,它的6條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形,如此繼續(xù)下去,則所有這些六邊形的面積和是.2.已知正整數(shù)滿足:,則的最小可能值是.3.若，,，則.4．已知關(guān)于的方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．如圖，是邊長為的正方形的內(nèi)接三角形，已知，，則.6．方程的非負(fù)整數(shù)解.7．一個(gè)口袋里有5個(gè)大小一樣的小球，其中兩個(gè)是紅色的，兩個(gè)是白色的，一個(gè)是黑色的，依次從中摸出5個(gè)小球，相鄰兩個(gè)小球的顏色均不相同的概率是.（用數(shù)字作答）8．?dāng)?shù)列定義如下：.若，則正整數(shù)的最小值為.二、解答題9．（本題滿分14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC與BD的夾角，記直線AB與CD的距離為．求的表達(dá)式，并寫出x的取值范圍．10．（本題滿分14分）給定實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值．11．（本題滿分16分）正實(shí)數(shù)滿足，求證：（1）；（2）．12．（本題滿分16分）給定整數(shù)，記為集合的滿足如下兩個(gè)條件的子集A的元素個(gè)數(shù)的最小值：（a）；（b）A中的元素（除1外）均為A中的另兩個(gè)（可以相同）元素的和．（1）求的值；（2）求證：．2019年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案1、2、923、114、5、6、7、8、40259．解由平行四邊形對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和得…（2分）在△OBC中，由余弦定理所以，②由①，②得．③…（5分）所以故，所以．…（10分）由③可得，，故．因?yàn)?，結(jié)合②，③可得解得（結(jié)合）．綜上所述，，．…（14分）10．解．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且當(dāng)時(shí)不等式等號(hào)成立，故．…（6分）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)“耐克”函數(shù)在內(nèi)是遞減，故此時(shí)綜上所述，…（14分）11．證（1）記，由平均不等式…（4分）于是，所以，而，所以，即，從而．…（10分）（2）又因?yàn)樗?，故．…?6分）12．解（1）設(shè)集合，且A滿足（a），（b）．則．由于不滿足（b），故．又都不滿足（b），故．而集合滿足（a），（b），所以．…（6分）（2）首先證明事實(shí)上，若，滿足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為．令，由于，故．又，所以，集合，且B滿足（a），（b）．從而．…（10分）其次證明：事實(shí)上，設(shè)滿足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為．令由于，所以，且．而從而B滿足（a），（b），于是．…（14分）由①，②得．③反復(fù)利用②，③可得．…（16分）2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽（四川初賽）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）1、設(shè)集合，，則=（）A、B、C、D、2、正方體中與截面所成的角是（）A、B、C、D、3、已知，，則“”是“在上恒成立”的（）A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件4、設(shè)正三角形的面積為，作的內(nèi)切圓，再作內(nèi)切圓的內(nèi)接正三角形，設(shè)為，面積為，如此下去作一系列的正三角形，其面積相應(yīng)為，設(shè),，則=（）A、B、C、D、2 5、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A、B、C、D、6、設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為一個(gè)等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并放入半徑為的一個(gè)實(shí)心球，此時(shí)球與容器壁及水面恰好都相切，則取出球后水面高為（）A、 B、 C、 D、二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7、如圖，正方形的邊長為3，為的中點(diǎn)，與相交于，則的值是．8、的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是．（用具體數(shù)字作答）9、設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的值為．10、不超過2019的只有三個(gè)正因數(shù)的正整數(shù)個(gè)數(shù)為．11、已知銳角滿足，則的最大值是．12、從1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，任取一個(gè)五位數(shù)，滿足條件“”的概率是．三、解答題（本大題共4個(gè)小題，每小題20分，共80分）13、設(shè)函數(shù)，（I）求函數(shù)在上的最大值與最小值；（II）若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，求的值．14、已知，滿足，（I）求的最小值；（II）當(dāng)取最小值時(shí)，求的最大值．15、直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)和的中點(diǎn)，求直線在軸的截距的取值范圍．16、設(shè)函數(shù)在上的最大值為（）．（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：對(duì)任何正整數(shù)，都有成立；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有成立．2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽（四川初賽）參考解答一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7、8、9、010、1411、12、三、解答題（本大題共4個(gè)小題，每小