8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

獨(dú)立性檢驗(yàn)一、復(fù)習(xí)引入某藥廠研制一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為90%.隨機(jī)選擇了10名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)不超過六人.你是否懷疑藥廠的宣傳？請(qǐng)說明理由.問題1.1“藥廠的宣傳夸大了有效率”這一判斷是否一定正確？為什么？問題1.2

這種假設(shè)檢驗(yàn)與之前學(xué)習(xí)的什么方法比較類似？它們的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)是什么？反證法假設(shè)檢驗(yàn)相同點(diǎn)方法相同。假設(shè)檢驗(yàn)和反證法都是在某種假設(shè)下推出矛盾，從而證明假設(shè)不成立或拒絕零假設(shè)。不同點(diǎn)結(jié)論一定正確假設(shè)檢驗(yàn)給出的結(jié)論可能會(huì)出錯(cuò)，出錯(cuò)的概率可以控制在小概率內(nèi)。例1

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對(duì)于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：881771合計(jì)45738乙校(X=1)431033甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計(jì)數(shù)學(xué)成績學(xué)校

典例分析因此,甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果：通過比較發(fā)現(xiàn),兩個(gè)學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率.乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為

因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.等高堆積條形圖思考2：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的？甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率為：乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率為：依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可推斷P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).即甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高，故可認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異.“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來的.但有可能在隨機(jī)抽取的樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實(shí)際上是沒有差別的.導(dǎo)致推斷放錯(cuò)誤的原因：①樣本容量較小，導(dǎo)致頻率與概率的誤差較大；②樣本具有隨機(jī)性，因而頻率有隨機(jī)性，頻率和概率之間存在誤差；思考3：有多大的把握推斷“學(xué)校與優(yōu)秀率有關(guān)”？這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的可能性多大？希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.典例分析例1

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異“所屬學(xué)?！迸c“優(yōu)秀與否”這兩個(gè)分類變量是否相關(guān)聯(lián)由于樣本具有隨機(jī)性，所以用頻率判斷得出的結(jié)論可能是錯(cuò)的，因此我們需要尋找更加合理的推斷方法二、探索新知：獨(dú)立檢驗(yàn)之零假設(shè)探究：如何從概率的角度，研究兩個(gè)分類變量是否有關(guān)聯(lián)？研究“兩個(gè)分類變量是否有關(guān)聯(lián)”

研究？“兩個(gè)分類變量是否互相影響”“兩個(gè)分類變量是否互相獨(dú)立”問題3：研究事件A、B是否相互獨(dú)立，如果直接研究不方便，不妨做一個(gè)假設(shè)。從概率的角度思考：“假設(shè)獨(dú)立”與“假設(shè)不獨(dú)立”哪個(gè)更好？假設(shè)獨(dú)立更好事件A、B相互獨(dú)立提出零假設(shè)H0：“所屬學(xué)?！芭c”優(yōu)秀與否“無關(guān)（即事件A、B相互獨(dú)立）二、探索新知：獨(dú)立檢驗(yàn)之零假設(shè)為了研究一般情況，把表格中的數(shù)字用字母代替，得到2x2列聯(lián)表（表1）a+b+c+db+da+c合計(jì)c+ddc乙校()a+bba甲校(A)不優(yōu)秀()優(yōu)秀(B)合計(jì)數(shù)學(xué)成績學(xué)校

寫一寫：在假設(shè)H0成立下，令n=a+b+c+d,請(qǐng)根據(jù)觀測(cè)值表，寫出下列事件的概率：零假設(shè)：”所屬學(xué)校“與”優(yōu)秀與否“無關(guān)（即事件A、B相互獨(dú)立）寫一寫：在假設(shè)H0成立下，令n=a+b+c+d,請(qǐng)根據(jù)觀測(cè)值表，寫出下列事件的概率：零假設(shè)：”所屬學(xué)校“與”優(yōu)秀與否“無關(guān)（即事件A、B相互獨(dú)立）算一算：令n=a+b+c+d,在假設(shè)H0成立下，填寫下表（表2）中的頻數(shù)的預(yù)測(cè)值：優(yōu)秀不優(yōu)秀甲校乙校想一想：在假設(shè)H0成立下，表1和表2相應(yīng)位置上的數(shù)據(jù)應(yīng)該是什么關(guān)系？如果沒有此關(guān)系，可以下什么結(jié)論？二、探索新知：獨(dú)立檢驗(yàn)之統(tǒng)計(jì)量試一試：如果要找一個(gè)合理的統(tǒng)計(jì)量來衡量著兩個(gè)表格對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之間的差異，進(jìn)而推斷假設(shè)H0是否成立，你覺得這個(gè)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該怎么表示？卡方統(tǒng)計(jì)量XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d1900年，英國數(shù)學(xué)家卡爾.皮爾遜發(fā)布了

統(tǒng)計(jì)量，用來描述樣本的實(shí)際觀測(cè)值與理論推理之間的吻合程度.當(dāng)

比較大時(shí)，推斷零假設(shè)不成立，否則認(rèn)為零假設(shè)成立。卡方統(tǒng)計(jì)量XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d思考：究竟大到什么程度，可以判斷零假設(shè)不成立？根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律，可以通過確定一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件來實(shí)現(xiàn)，在假定H0的條件下，對(duì)于有放回簡單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了χ2的近似分布.思考：究竟

大到什么程度，可以判斷零假設(shè)不成立？

P(χ2≥xα)=α

我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值可以作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).

xαα概率值α越小，臨界值xα越大.

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則:二、探索新知：獨(dú)立檢驗(yàn)追問3

怎么看這個(gè)表呢？二、探索新知：獨(dú)立檢驗(yàn)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828追問3

怎么看這個(gè)表呢？思考：對(duì)于小概率值α=0.05，下面兩個(gè)獨(dú)立性檢驗(yàn)說明什么？

下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：（1）χ2

≥x0.05=3.841（1）χ2

<

x0.05=3.841α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828追問3

怎么看這個(gè)表呢？

按α=0.1的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立（數(shù)學(xué)結(jié)論），可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立（實(shí)際結(jié)論）.

下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：典例解析典例解析

例1

采用簡單隨機(jī)抽樣的方法得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：列2×2列聯(lián)表零假設(shè)為H0：分類變量X與Y相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異.根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.1的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立.因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828三、總結(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值比較.(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.總結(jié)上面的例子，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題主要環(huán)節(jié):注意，上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同的情況進(jìn)行調(diào)整.例如，在有些時(shí)候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.

解:

零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136由已知數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，如下：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值α=0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異.典例解析典例解析問題5在例3的2×2列聯(lián)表中，若對(duì)調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，則卡方計(jì)算公式中a,b,c,d的賦值都會(huì)相應(yīng)地改變.這樣做會(huì)影響χ2取值的計(jì)算結(jié)果嗎療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136對(duì)調(diào)前療法療效合計(jì)未治愈治愈乙66369甲155267合計(jì)21115136對(duì)調(diào)后這說明，對(duì)調(diào)兩種療法的位置，不會(huì)影響χ2取值的計(jì)算結(jié)果，同理對(duì)調(diào)兩種療效的位置也不會(huì)影響結(jié)果.鞏固練習(xí)課本134頁1.對(duì)于例3中的抽樣數(shù)據(jù)，采用小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.根據(jù)題意，可得解：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立即認(rèn)為兩種療法效果有差異.鞏固練習(xí)課本134頁2.根據(jù)同一抽查數(shù)據(jù)推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)，應(yīng)用不同的小概率值，是否會(huì)得出不同的結(jié)論為什么解