3-2工程數(shù)學(xué)-概率的基本性質(zhì)與事件獨(dú)立性

第二節(jié)概率的基本性質(zhì)與事件獨(dú)立性1概率的可列可加性概率的公理化定義2概率的性質(zhì)概率的有限可加性3證明4證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得5例1.一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，當(dāng)電流強(qiáng)度超過一定值時(shí)，甲燒斷的概率為0.82，乙燒斷的概率為0.74，兩根同時(shí)燒斷的概率為0.63，問至少有一根保險(xiǎn)絲燒斷的概率是多少？6例2在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為解7于是所求概率為8思考

袋中有3只白球,2只紅球,現(xiàn)從袋中任取一球(不放回),充分混合后再任取出另一球，假設(shè)每個(gè)球被取到的可能性相同.若已知第一次取到的球是白球,問第二次取得球也是白球的概率是多少？設(shè)

A

表示第一次任取一球?yàn)榘浊颍?/p>

B

表示第二次任取一球?yàn)榘浊?古典概型9所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為10定義

ABAB1、條件概率11例3

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義12例4擲兩枚硬幣，已發(fā)現(xiàn)一枚是正面的條件下，求至少有一枚是反面的概率。13142、概率乘法公式15例5.一批零件共100件，次品率為10﹪，取三次，每次從中任取一個(gè)零件不再放回，求（1）第一次取得次品且第二次取得正品的概率；（2）第三次才取得正品的概率16171.樣本空間的劃分三、全概率公式182.全概率公式全概率公式19說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.20例6

有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解21由全概率公式得30%20%50%2%1%1%22四、事件的獨(dú)立性(一)兩個(gè)事件的獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：23則有引例242.定義注.1o說明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).252o獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.26定理6若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立.①②③注

稱此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.27例7

分別擲兩枚均勻的硬幣，令A(yù)={硬幣甲出現(xiàn)正面H}，B={硬幣乙出現(xiàn)反面T}，試驗(yàn)證A、B相互獨(dú)立．

解樣本空間

={HH,HT,TH,TT}共含有4個(gè)基本事件，它們發(fā)生的概率均為1/4．而A={HH,HT}，B={HT,TT}，AB={HT}，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A)P(B)

，所以A、B相互獨(dú)立．28例8甲,乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}B={乙擊中敵機(jī)}C={敵機(jī)被擊中}依題設(shè),∴A與B不互斥

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))29由于甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,進(jìn)而=0.830

設(shè)A1，A2，…，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n個(gè)事件的獨(dú)立性定義31n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去