考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷1（共131題）

考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷1（共5套）（共131題）考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)隨機(jī)變量Xi～(i=1，2)且滿足P{X1X2=0}=1，則P{X1=X2}等于()A、0B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由P{X1X2=0}=1得知，P{X1X2≠0}=0。于是根據(jù)X1，X2的分布律，有P{X1=—1，X2=—1}=0，P{X1=—1，X2=1}=0。P{X1=1，X2=—1}=0，P{X1=1，X2=1}=0。再根據(jù)聯(lián)合分布律與邊緣分布律的性質(zhì)及其關(guān)系可得(X1，X2)的聯(lián)合分布律如下表由上表顯然可見(jiàn)，X1=X2有三種情況，每種情況的概率均為0，因此P{X1=X2}=0，故選A。2、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，則下列服從相應(yīng)區(qū)間或區(qū)域上均勻分布的是()A、X2B、X—YC、X+YD、(X，Y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)X，Y的獨(dú)立性可知，(X，Y)的聯(lián)合密度f(wàn)(x，y)=因此(X，Y)服從區(qū)域D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1}上的二維均勻分布，故選D。3、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，已知P{X=k}=p(1—p)k—1，k=1，2，…，0＜P＜1，則P{X＞Y}的值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得知P{X＞Y}=P{X＜Y}=(1—P{X=Y})。故選B。4、設(shè)(X，Y)為二維隨機(jī)變量，則下列結(jié)論正確的是()A、若X與Y不相關(guān)，則X2與Y2不相關(guān)。B、若X2與Y2不相關(guān)，則X與Y不相關(guān)。C、若X與Y均服從正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立和X與Y不相關(guān)等價(jià)。D、若X與Y均服從0—1分布，則X與Y獨(dú)立和X與Y不相關(guān)等價(jià)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)X～B(1，P)，Y～B(1，q)，當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)X與Y不相關(guān)。反之，當(dāng)X與Y不相關(guān)，即E(XY)=E(X)E(Y)=pq時(shí)，可得分布律如下表所示由此可知X與Y獨(dú)立。故此時(shí)X與Y獨(dú)立和X與Y不相關(guān)等價(jià)，故選D。根據(jù)不相關(guān)的性質(zhì)可排除A、B。對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)X與Y均服從正態(tài)分布時(shí)，(X，Y)未必服從二維正態(tài)分布，故C選項(xiàng)不正確。5、設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)()A、是連續(xù)函數(shù)。B、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)。C、是階梯函數(shù)。D、恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：分布函數(shù)F(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充要條件為P{X=x0}=0。P{Y=2}=P{X≥2}=∫2+∞λe—λxdx≠0，因?yàn)閄為連續(xù)型隨機(jī)變量，在單點(diǎn)處的概率為0，所以對(duì)任意a＜2，P{Y=a}=P{X=a}=0。綜上所述，隨機(jī)變量的分布函數(shù)Y恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)，故選D。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=及直線y=0，x=1，x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，則(X，Y)關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D的面積為SD==2。因此(X，Y)的聯(lián)合概率密度是f(x，y)=且其關(guān)于x的邊緣概率密度為fX(x)=∫—∞+∞fx(x)dy=因此可知fX(2)=7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，且都服從p=的0—1分布，則隨機(jī)變量Z=max{X，Y}的分布律為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意顯然Z也是離散型隨機(jī)變量，只取0，1兩個(gè)值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=，P{Z=1}=1—P{Z=0}=所以Z的分布律如下表所示8、設(shè)(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則P{X＜y}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—Y～N(0，2σ2)，從而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示試求：9、X與Y的邊緣分布律，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)檫吘壏植悸删褪锹?lián)合分布律表格中行或列中諸元素之和，所以p1.=p2.=P3.=p4.=；P.1=；P.2=；P.3=；p.4=，(Pi.=P{X=i}，P.j=P{Y=j})假如隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，就應(yīng)該對(duì)任意的i，j都有pij=pi.P.j而本題中p14=0，但是p1.與p.4均不為零，所以P14≠p1.p.4，故X與Y不是相互獨(dú)立的。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、P{X=Y}。標(biāo)準(zhǔn)答案：P{X=Y}=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X，Y)聯(lián)合分布率及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布率中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。標(biāo)準(zhǔn)答案：填入數(shù)據(jù)之后的表格如下所示：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、編號(hào)為1，2，3的三個(gè)球隨意放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每盒僅放一個(gè)球，令求(X1，X2)的聯(lián)合分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：如果將3個(gè)數(shù)的任一排列作為一個(gè)基本事件，則基本事件總數(shù)為3!=6，P{X1=1}=P{1號(hào)球落入1號(hào)盒}=,P{X1=0}=，同理，P{X2=1}=，P{X2=0}=，又P{X1=1，X2=1}=P{1號(hào)球落入1號(hào)盒，2號(hào)球落入2號(hào)盒}=，依次可求得(X1，X2)的聯(lián)合分布如下表所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，X在區(qū)間[0，2]上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求：13、二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知X在區(qū)間[0，2]上服從均勻分布，Y服從指數(shù)分布e(2)，因此可得根據(jù)隨機(jī)變量獨(dú)立的性質(zhì)，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、概率P{X≤Y}。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜0或者x＞2時(shí)，f(x，y)=0，因此區(qū)域x≤y為y軸和x=2之間，且在直線y=x上方的無(wú)界區(qū)域，所以其對(duì)概率密度在積分區(qū)域上進(jìn)行二重積分，所以可表示為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=。15、計(jì)算兩個(gè)邊緣概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≤0時(shí)，fX(x)=0；當(dāng)x＞0時(shí)，fX(x)=∫x+∞e—ydy=e—x，即當(dāng)y≤0時(shí)，fY(y)=0；當(dāng)y＞0時(shí)，fY(y)=∫0ye—ydx=ye—y，即fY(y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求條件概率密度f(wàn)Y｜X(y｜x=2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：fY｜X(y｜x=2)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求條件概率P{Y≤1｜X≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：X≤1，Y≤1所對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖3—3—3所示：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求：18、(X，Y)的邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知(X，Y)的概率密度，所以關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=所以，關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=∫—∞+∞f(x，y)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、Z=2X—Y的概率密度f(wàn)Z(z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X—Y≤z}。(1)當(dāng)z＜0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P{2X—Y≤z}=0；(2)當(dāng)0≤z＜2時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P{2X—Y≤z}=z—z2；(3)當(dāng)z≥2時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P{2X—Y≤z}=1。所以FZ(z)的即分布函數(shù)為FZ(z)=故所求的概率密度為fZ(z)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為20、試求(X，Y)的邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y)，并問(wèn)X與Y是否獨(dú)立。標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出f(x，y)非零定義域，應(yīng)用定義、公式進(jìn)行計(jì)算。fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=同理因?yàn)閒X(x)fY(y)≠f(x，y)，所以X與Y不獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、令Z=X—Y，求Z的分布函數(shù)FZ(z)與概率密度f(wàn)Z(z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：分布函數(shù)法。Z=X—Y的分布函數(shù)為FZ(z)=P{X—Y≤z}=(1)當(dāng)z≤0時(shí)，如圖3-3-7所示，有(2)當(dāng)z＞0時(shí)，如圖3-3-8所示，有綜上得，F(xiàn)Z(z)=由于FZ(z)為z的連續(xù)函數(shù)，除z=0外，導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù)，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，如果X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y的概率分布為P{Y=—1}=，P{Y=1}=。求：22、Z=XY的概率密度f(wàn)Z(z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，X～N(0，1)且X與Y相互獨(dú)立，所以Z=XY的分布函數(shù)為FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=—1}P{XY≤z｜Y=—1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1}=P{Y=—1}P{—X≤z｜Y=—1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=—1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z}=[1—P{X＜—z}]+P{X≤z}=即Z=XY服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以其概率密度為fZ(z)=φ(z)=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、V=｜X—Y｜的概率密度f(wàn)V(v)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于V=｜X—Y｜只取非負(fù)值，因此當(dāng)v＜0時(shí)，其分布函數(shù)FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}=0；當(dāng)v≥0時(shí)，F(xiàn)V(v)=P{—v≤X—Y≤v}=P{Y=—1}P{—v≤X—Y≤v｜Y=—1}+P{Y=1}P{—v≤X—Y≤v｜Y=1}=P{—v—1≤X≤v—1｜Y=—1}+P{—v+1≤X≤v+1｜Y=1}=P{—v—1≤X≤v—1}+P{—v+1≤X≤v+1}=[Φ(v—1)—Φ(—v—1)]+[Φ(v+1)—Φ(—v+1)]=Φ(v—1)—[1—Φ(v+1)]+Φ(v+1)—[1—Φ(v—1)]=Φ(v—1)+Φ(v+1)—1。綜上計(jì)算可得，F(xiàn)V(v)=由于FV(v)是連續(xù)函數(shù)，且除個(gè)別點(diǎn)外，導(dǎo)數(shù)都是存在的，所以V的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)，邊緣分布為FX(x)和FY(y)，則概率P{X＞x，Y＞y}等于()A、1—F(x，y)。B、1—FX(x)—FY(y)。C、F(x，y)—FX(x)—FY(y)+1。D、FX(x)+FY(y)+F(x，y)—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：記事件A={X≤x}，B={Y≤y}，則P{X＞x，Y＞y}==1—P(A∪B)=1—P(A)—P(B)+P(AB)=1—P{X≤x}—P{Y≤y}+P{X≤x，Y≤y}=1—FX(x)—FY(y)+F(x，y)，故選C。2、已知隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)｜—1＜x＜1，—1＜y＜1}上服從均勻分布，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)知(X，Y)的概率密度函數(shù)為由于P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=。因P{max(X，Y)≥0}=1—P{max(X，Y)＜0}=1—P{X＜0，Y＜0}=所以A、B、C三項(xiàng)都不正確，故選D。3、設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y均服從P(1)分布，則P{X=1｜X+Y=2}的值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：P{X=1｜X+Y=2}=。P{X=1，X+Y=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=e—1.e—1=e—2。所以P{X=1｜X+Y=2}=，故選A。4、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，則與隨機(jī)變量Z=Y—X同分布的隨機(jī)變量是()A、X—Y。B、X+Y。C、X—2Y。D、Y—2X。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知，Z～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故X+Y和Z是同分布的隨機(jī)變量，故選B。5、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為FX(x)與FY(y)，則Z=max{X，Y}的分布函數(shù)FZ(z)是()A、max{FX(z)，F(xiàn)Y(z)}。B、FX(z)+FY(z)—FX(x)FY(z)。C、FX(z)FY(z)。D、[FX(z)+FY(z)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：FZ(z)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}.P{Y≤z}=FX(z).FY(z)，故選C。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=則P{X+Y≤1}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)，求滿足一定條件的概率P{g(X，Y)≤z0}，一般可轉(zhuǎn)化為二重積分P{g(X，Y)≤z0}=進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)題設(shè)可得，如圖3—3—1所示，7、假設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立且都服從0—1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1—p(i=1，2，3，4,0＜P＜1)，已知二階行列式的值大于零的概率等于，則P=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記△==X1X4—X2X3，則p應(yīng)使P{△＞0}=P{X1X4—X2X3＞0}=P{X1X4＞X2X3}=，因?yàn)閄i僅能取1或0，且相互獨(dú)立，故事件{X1X4＞X2X3}={X1X4=1,X2X3=0}，所以=P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=0}+P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=1}+P{X1=1，X4=1，X2=1，X3=0}=p2(1—p)2+p3(1—p)+p3(1—p)=p2(1—p2)=p2—p4，則p4—p2+。(P=不符合題意，故舍去)8、設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P{max(X，Y)＞μ}—P{min(X，Y)＜μ}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：P{max(X，Y)＞μ}—P{min(X，Y)＜μ}=1—P{max(X，Y)≤μ}—[1—P{min(X，Y)≥μ}]=—P{max(X，Y)≤μ}+P{min(X，Y)≥μ}=—P{X≤μ，Y≤μ}+P{X≥μ，Y≥μ}=—P{X≤μ}+P{X≤μ，Y＞μ}+P{X＞μ，Y＞μ}=—P{X≤μ}+P{Y＞μ}。因?yàn)閄與Y均服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，所以P{X≤μ}=，P{Y＞μ}=，故P{max(X，Y)＞μ}—P{min(X，Y)＜μ}==0。三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)設(shè)ξ，η是兩個(gè)相互獨(dú)立且服從同一分布的隨機(jī)變量，已知ξ的分布率為P{ξ=i}=，i=1，2，3。又設(shè)X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)。9、寫(xiě)出二維隨機(jī)變量的分布律，填在下表中：標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)的定義可知，P{X＜Y}=0，即P{X=1，Y=2}=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0，同時(shí)有，P{X=1，Y=1}=P{ξ=1，η=1}=P{ξ=1}.P{η=1}=，P{X=2，Y=2}=P{ξ=2，η=2}=P{ξ=2}.P{η=2}=，P{X=3，Y=3}=P{ξ=3，η=3}=P{ξ=3}.P{η=3}=，P{X=2，Y=1}=P{ξ=1，η=2}+P{ξ=2，η=1}=，P{X=3，Y=2}=P{ξ=2，η=3}+P{ξ=3，η=2}=，P{X=3，Y=1}=；所以所求的分布律如下表所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)。標(biāo)準(zhǔn)答案：X的邊緣分布如下表所示因此X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、已知隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為的0—1分布，即P{X=0}=P{X=1}=，P{Y=0}=P{Y=1}=，定義隨機(jī)變量Z=求Z的分布；(X，Z)的聯(lián)合分布；并問(wèn)X與Z是否獨(dú)立。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(X，Y)是二維離散隨機(jī)變量，故由邊緣分布及相互獨(dú)立可求得聯(lián)合分布；應(yīng)用解題一般模式，即可求得Z及(X，Z)的分布，進(jìn)而判斷X、Z是否獨(dú)立。由題設(shè)知將其改寫(xiě)成矩陣形式，Z，(X，Z)的分布如下表所示由此可得Z服從參數(shù)P=的0—1分布，所以(X，Z)的聯(lián)合概率分布如下表所示因P{X=i，Z=j}==P{X=i}P{Z=j}(i，j=0，1)，故X與Z獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析袋中有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)。12、求P{X=1｜Z=0}。標(biāo)準(zhǔn)答案：在沒(méi)有取白球的情況下取了一次紅球，根據(jù)壓縮樣本空間原則，相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸了一個(gè)紅球。所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：X，Y取值范圍為0，1，2，則(X，Y)的概率分布計(jì)算并列表如下P(X=0，Y=0)=，P(X=1，Y=0)=，P(X=2，Y=0)=，P(X=0，Y=1)=，P(X=1，Y=1)=，P(X=2，Y=1)=0，P(X=0，Y=2)=，P(X=1，Y=2)=0，P(X=2，Y=2)=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為求：14、系數(shù)A。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)∫—∞+∞∫—∞+∞f(x，y)dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae—(2x+3y)dxdy==1，解得A=6。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：將A=6代入得(X，Y)的聯(lián)合概率密度為所以當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，F(xiàn)(x，y)=∫0y∫0x6e—(2u+3v)dudv=6∫0xe—2udu∫0ye—3vdv=(1—e—2x)(1—e—3y)，而當(dāng)x和y取其他值時(shí)，F(xiàn)(x，y)=0。綜上所述，可得聯(lián)合概率分布函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、邊緣概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，X的邊緣密度為fX(x)=∫0+∞6e—(2x+3y)dy=2e—2x，當(dāng)x≤0時(shí)，fX(x)=0。因此X的邊緣概率密度為fX(x)=同理可得Y的邊緣概率密度函數(shù)為fY(y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、(X，Y)落在區(qū)域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6內(nèi)的概率。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)公式P[(X，Y)∈R]=，已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，將其轉(zhuǎn)化為二次積分，可表示為P[(X，Y)∈R]==2∫03(e—2x—e—6)dx=1—7e—6≈0．983。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中參數(shù)λ＞0，試求X與Y的邊緣分布函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)X(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1—e—x；當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)X(x)=0，所以關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=同理，關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為19、試求X的概率密度f(wàn)(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，f(x)=0；當(dāng)0＜x＜1，有f(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、試求事件“X大于y″的概率P{X＞Y}。標(biāo)準(zhǔn)答案：事件“X大于Y″的概率知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求條件概率P{Y＞1｜X＜0．5}。標(biāo)準(zhǔn)答案：條件概率P{Y＞1｜X＜0．5}=。其中P{X＜0．5}=∫00．5f(x)dx=。P{X＜0．5，Y＞1}=。于是P{Y＞1｜X＜0．5}=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域G={(x，y)｜1≤x+y≤2,0≤y≤1}上服從均勻分布。試求：22、(X，Y)的邊緣概率密度f(wàn)X(x)和fY(y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域G如圖3-3-6所示：可知區(qū)域G是菱形，其面積為1。故fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=fY(y)=∫—∞+∞f(x，y)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、Z=X+Y的概率密度f(wàn)Z(z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=故FZ(z)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為P{X=i}=(i=—1，0，1)，Y的概率密度為fY(y)=記Z=X+Y。24、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求Z的概率密度f(wàn)Z(z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、如下四個(gè)二元函數(shù)，不能作為二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)。其中存在性質(zhì)，對(duì)于x1＜x2，y1＜y2，則有F(x2，y2)一F(x2，y1)一F(x1，y2)+F(x1，y1)≥0，選項(xiàng)(C)中的函數(shù)，取x1=0，x2=1，y1=0，y2=1，代入上式得一1＜0。故選(C)。2、已知隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立且有相同的分布，且P{Xi=一1}=P{Xi=1}=，i=1，2，則()A、X1與X1X2獨(dú)立且有相同的分布。B、X1與X1X2獨(dú)立且有不同的分布。C、X1與X1X2不獨(dú)立且有相同的分布。D、X1與X1X2不獨(dú)立且有不同的分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}=。又P{X1=一1，X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=l}=,所以X1與X1X2的概率分布為從而X1與X1X2有相同的分布且相互獨(dú)立。故選(A)。3、設(shè)隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x)=F2(x)=，一∞＜x＜+∞．則X1+X2的分布函數(shù)F(x)=()A、F1(x)+F2(x)。B、F1(x)+F2(x)。C、F1(x)+F2(x－1)。D、F2(x)+F2(x－1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知X1為離散型隨機(jī)變量，其分布律為則有F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x∣X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x∣X1=1}={X2≤x}+P{X2≤x一1}=F2(x)+F2(x－1)。故選(D)。4、設(shè)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立同分布，且X分布函數(shù)為F(x)，則Z=max{X，Y}分布函數(shù)為()A、F2(x)。B、F(x)F(y)。C、1一[1一F(x)]2。D、[1一F(x)][1一F(y)]。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：依定義，有F(z)=P(Z≤z)=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=F(z)F(z)=F2(z)。故選(A)。5、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)fX(x)fY(y)分別表示X，Y的概率密度，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度f(wàn)X∣Y(x∣y)為()A、fX(x)。B、fY(y)。C、fX(x)fY(y)。D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，故X與Y相互獨(dú)立，于是fX∣Y(x∣y)=fX(x)。故選(A)。6、設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，則()A、X+Y一定服從正態(tài)分布。B、X和Y不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)。C、(X，Y)一定服從正態(tài)分布。D、(X，一Y)未必服從正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)(A)不成立，例如，若Y=-X，則X+Y=0不服從正態(tài)分布。選項(xiàng)(C)不成立，(X，Y)不一定服從正態(tài)分布，因?yàn)檫吘壏植家话悴荒軟Q定聯(lián)合分布。選項(xiàng)(B)也不成立，因?yàn)橹挥挟?dāng)X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時(shí)“X和Y獨(dú)立”與“X和Y不相關(guān)”二者等價(jià)。雖然隨機(jī)變量X和一Y都服從正態(tài)分布，但是因?yàn)檫吘壏植疾荒軟Q定聯(lián)合分布，故(X，一Y)未必服從正態(tài)分布。故選(D)。7、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為則下列式子正確的是()A、X=Y。B、P{X=Y}=0。C、P{X=Y}=。D、P{X=Y}=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{X=1，Y=l}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1}=故選(C)。8、設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)()A、是連續(xù)函數(shù)。B、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)。C、是階梯函數(shù)。D、恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：Y的分布函數(shù)：①當(dāng)y＜0時(shí)，F(xiàn)y(Y)=0；②當(dāng)0≤y＜2時(shí)，F(xiàn)y(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=1一P{min{X，2}＞y}=1一P{X＞y}=1一∫y+∞λe-λxdx=1一e-λy；③當(dāng)y≥2時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1。又有FY(0一0)=FY(0+0)=0=FY(0)，F(xiàn)Y(2—0)=1一e-2λ≠1=FY(2)，所以FY(y)恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)。故選(D)。9、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ1，σ12)，Y服從正態(tài)分布N(μ1，σ22)，且P{∣X一μ1∣＜1}＞P{∣Y一μ2∣＜1}，則()A、σ1＜σ2。B、σ1＞σ2。C、μ1＜μ2。D、μ1＞μ2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知P{∣X一μ1∣＜1}=P＞P{∣Y一μ2∣＜1}=P即有即，其中Φ(x)是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。因?yàn)棣?x)是單調(diào)不減函數(shù)，所以，即σ1＜σ2，故選(A)。10、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，Y的概率分布為P{Y=0}=P{Y=1}=，記FZ(z)為隨機(jī)變量Z=XY的分布函數(shù)，則函數(shù)FZ(z)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A、0。B、1。C、2。D、3。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依定義，有Fz(z)=P{XY≤z}=P{XY≤z∣Y=0}P{Y=0}+P{XY≤z∣Y=1}P{Y=1}=[P{XY≤z∣Y=0}+P{XY≤z∣Y=1}]=[P{X.0≤z∣Y=0}+P{X≤z∣Y=1}]，由已知X與Y獨(dú)立，所以Fz(z)=[P{X.0≤z}+P{X≤z}]，于是當(dāng)z＜0時(shí)，則Fz(z)=Φ(z)；當(dāng)z≥0時(shí)，則Fz(z)=[1+Φ(z)]。因此z=0為間斷點(diǎn)。故選(B)。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、設(shè)(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)=則P{X＞1，Y＞1}=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)表示區(qū)域上的概率，并結(jié)合分布函數(shù)的定義可得P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)=12、假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且P{X=k}=，P{Y=一k}=，k=1，2，3，則a=__________,b=___________，Z=X+Y的分布律為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意故X，Y的分布律分別為于是Z=X+Y的可能取值為一2，一1，0，1，2。且P{Z=一2}=P{X+Y=一2}=P{X=1，Y=一3}=P{X=1}P{Y=一3}=類(lèi)似地P{Z=一1}=P{X+Y=一1}=P{X=1，Y=一2}+P{X=2，Y=一3}=P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=1，Y=一1}+P{X=2，Y=一2}+P{X=3，Y=一3}=P{Z=1}=P{X=2}P{Y=一1}+P{X=3}P{Y=一2}=P{Z=2}=P{X=3}P{Y=一1}=,故可寫(xiě)出Z的分布律。13、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0，3]上的均勻分布，則P{max{X，Y}≤1}=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，X與Y具有相同的概率密度f(wàn)(x)=則有P{max{X，Y}≤1}=P{X≤1，Y≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}=(P{X≤1})2=14、從數(shù)l，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)?，2，…，X中任取—個(gè)數(shù)，記為Y，則P{Y=2}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2∣X=1}+P{X=2}P{Y=2∣X=2}+P{X=3}P{Y=2∣X=3}+P{X=4}P{Y=2∣X=4}=15、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=則P{X+Y≤1}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)(如圖3—6所示的積分區(qū)域D)，有P{X+Y≤1}==(6x一12x2)dx=16、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=則c=_________，Y的邊緣概率密度為fY(y)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：√2+l，知識(shí)點(diǎn)解析：由概率密度的性質(zhì)∫一∞+∞∫一∞+∞f(x，y)dxdy=1，得由邊緣概率密度的定義表達(dá)式fY(y)=∫一∞+∞f(x，y)dx=17、設(shè)隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立，它們的分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，已知?jiǎng)tX1+X2的分布函數(shù)F(x)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：F2(x－1)知識(shí)點(diǎn)解析：由X1的分布函數(shù)為F1(x)，則X1～B(1,),即P{X1=0}=，P{X1=1}=.由全概率公式，可得F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P∣X1+X2≤x∣X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x∣X1=1}=P{X2≤x∣X1=0}+P{1+X2≤x∣X1=1}=p{X2≤x}+P{X2≤x一1}=F1(x)+F2(x一1)。18、已知X的分布律P{Y=一)=1，又n維向量α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，則α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1線性相關(guān)的概率為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1線性相關(guān)=X+2Y=0．故所求的概率為P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0，Y=一}+P{X+2Y=0，Y≠一}=P{X=1，Y=一}=P{X=1}—P{X=1，Y≠一}=。19、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度函數(shù)為f(x，y)，則隨機(jī)變量(2X，Y+1)的概率密度函f1(x，y)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)隨機(jī)變量(2X，Y+1)的分布函數(shù)為F1(x，y)，則F1(x，y)=P{2X≤x，Y+1≤y}=P{X≤，Y≤y一1)=∫-∞2/x∫-∞y-1f(t,s)dtds，于是f1(x，y)=三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)20、設(shè)X1，X2獨(dú)立同分布，其分布律為P{Xi=±1}=，i=1，2。令X3=X1X2，討論X1，X2，X3的獨(dú)立性。標(biāo)準(zhǔn)答案：X1，X2的聯(lián)合分布律如下表所示顯然X1與X2相互獨(dú)立，同理可知X1與X3和X2與X3相互獨(dú)立，即X1，X2，X3兩兩獨(dú)立。但是P{X1=1，X2=1，X3=一1}=0，P{X1=1}．P{X2=1}.P{X3=一1}=，由此可得X1=1，X2=1，X3不相互獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為p(0＜p＜1)，且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車(chē)的人數(shù)。試求：21、在發(fā)車(chē)時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車(chē)的概率；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知在X=n條件下，Y服從二項(xiàng)分布，故P{Y=m∣X=n}=Cnmpm(1一P)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知X服從參數(shù)為λ的泊松分布，即P{X=n}=，n=0，1，2，…。故由條件概率公式，得P{X=n，Y=m}=P{X=n}P{Y=m∣X=n}.Cnmpm(1一P)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、一射手進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)射擊，已知每次擊中目標(biāo)的概率為p(0＜p＜1)，射擊一直進(jìn)行到擊中兩次目標(biāo)為止。令X為首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行射擊的次數(shù)，Y表示總共進(jìn)行射擊的次數(shù)。求(X，Y)的聯(lián)合分布律、邊緣分布律和條件分布律。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求(X，Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律方法一：設(shè)事件“X=m”是第m次射擊首次擊中目標(biāo)，事件“Y=n”是第n次射擊第二次擊中目標(biāo)，即m＜n，m，n∈Z+，于是(X，Y)的聯(lián)合分布律為P{X=m，Y=n}=(1一p)m-1p(1一p)n-m-1P=(1一p)N-2P2，m=1，2，…，n一1；n=m+1，m+2，…，于是可得P{x=m}=(1一P)n-2P2=P2=P(1一P)m-1，m=1，2，…，P{Y=n}=(1一p)n-2P2=(n一1)(1一p)n-2P2，n=2，3，…。方法二：由題意可知X服從幾何分布C(p)，Y服從負(fù)二項(xiàng)分布NB(2，P)，即P{X=m}=P(1一P)m-1，m=1，2，…，P{Y=n}=Cn-11(1一P)n-2P2=(n一1)(1一P)n-2P2，n=2，3，…。X和Y的聯(lián)合分布律P{X=m，Y=n}=(1一P)n-2P2，m=1，2，…，n一1；n=m+1，m+2，…。再求條件分布律：當(dāng){Y=n}時(shí)，X的條件分布律為P{X=m∣Y=n}=，m=1，2，…，n一1，同理可得，當(dāng){X=m}時(shí)，Y的條件分布律為P{Y=n∣X=m}=(1一p)n-m-1P，n=m+1，m+2，…。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布為求：24、(X，Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：X的所有可能值為0，1，則(X，Y)關(guān)于X的邊緣概率P{X=0}=P11+P12+P13=0．1+0．1+0．3=0．5，P{X=1}=P21+P22+P23=0．25+0+0．25=0．5，因此得X的概率分布Y的全部可能值為1，2，3，則(X，Y)關(guān)于Y的邊緣概率P{Y=1}=P11+P21=0．1+0．25=0．35，P{Y=2}=P12+P22=0．1+0=0．1，P{Y=3}=P13+P23=0．3+0．25=0．55，于是得Y的概率分布知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、在Y=3的條件下，隨機(jī)變量X的條件概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：在Y=3的條件下，由條件概率公式得X的條件概率P{X=0∣Y=3}=,P{X=1∣Y=3}=得在Y=3的條件下，X的條件概率分布為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、在X=0的條件下，隨機(jī)變量Y的條件概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：在X=0的條件下，同理得，隨機(jī)變量Y的條件概率P{Y=1∣X=0}==0．2，P{Y=2∣X=0}==0．2，P{Y=3∣X=0}==0．6得在X=0的條件下，Y的條件概率分布為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)只取(一1，一1)，(一1，0)，(1，一1)，(1，1)四個(gè)值，其相應(yīng)概率分別為27、求(X，Y)的聯(lián)合概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，(X，Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣概率分布分別為表中最右一列與最下一行。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求在Y=1條件下關(guān)于X的條件概率分布與在X=1條件下關(guān)于Y的條件概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于P{X=1}=，P{Y=1}=，且在Y=1條件下，X只取1，因此關(guān)于X的條件概率分布為P{X=1∣Y=1}==1，在X=1條件下，Y取一1和1兩個(gè)值，其條件概率分別為P{Y=一1∣X=1}=，P{Y=1∣X=1}=.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)=其中參數(shù)λ＞0，試求X與Y的邊緣分布函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)X(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1一e-x；當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)X(x)=0。因此關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=同理，關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞，求常數(shù)A以及條件概率密度f(wàn)X∣Y(y∣x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，有1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=A∫-∞+∞∫-∞+∞e-2x2+2xy-y2dxdy，=A∫-∞+∞∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(y-x)2d(y一x)=A×√π×√π=Aπ，解得A=，即f(x，y)=e-2x2+2xy—y2因?yàn)閄的邊緣概率密度為fX(x)=因此條件概率密度f(wàn)Y∣X(Y∣X)=e-x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=求：32、Z=X+Y的概率密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)f(x，z一x)=xe-(-z-x)時(shí)，必須滿足0＜x＜z一x，即0＜x＜。于是可得：當(dāng)z≤0時(shí)fZ(z)=0；當(dāng)z＞0時(shí)，fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z－x)dx=e-z∫0z/2xexdx=(－1)e-z/2+e-z所以，Z=X+Y的概率密度為fZ(z)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、U=max{X，Y}和V=min{X，Y}的概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求U=max{X，Y}的分布函數(shù)，于是FU(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤u}=P{X≤u，Y≤u}。當(dāng)u＜0時(shí)，F(xiàn)U(u)=0。當(dāng)u≥0時(shí)，F(xiàn)U(u)=P{X≤u，Y≤u}=∫0udx∫xuxe-ydy=∫0ux(e-x一e-u)dx=∫0uxe-xdx一e-u∫0uxdx=(一ue-u一e-u+1)一e-u=1一(+u+1)e-u。綜上Fu(u)=將分布函數(shù)FU(u)對(duì)u求導(dǎo)，則U=max{X，Y}的概率密度為fU(U)=V=min{X，Y}的分布函數(shù)為FV(v)=P{V≤v}=1一P{V＞v}=1一P{min{X，Y}＞v}=1一P{X＞v，Y＞v}。當(dāng)v＜0時(shí)，F(xiàn)V(v)=0。當(dāng)v≥0時(shí)，F(xiàn)V(v)=1一P{X＞v，Y＞v}=1一∫v+∞dy∫vyxe-ydx=1一∫v+∞(y22-ydy=1－(v+1)e-v。綜上FV(v)=將分布函數(shù)FV(v)對(duì)v求導(dǎo)，則V=min{X，Y}的概率密度為fV(V)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=求：34、(X，Y)的邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由定義，關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=同理，關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、Z=2X—Y的概率密度f(wàn)Z(z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：Z=2X—Y的分布函數(shù)FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X—Y≤z}，則其有效積分區(qū)域如圖3—7所示。當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)Z(Z)=0。當(dāng)z≥2時(shí)，F(xiàn)Z(Z)=1。當(dāng)0＜z＜2時(shí)，P{Z＞z}=P{2X—Y＞z}=FZ(z)=P{Z≤z}=1一P{Z＞Z}=z一。即分布函數(shù)為故所求的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)二維隨機(jī)變量(X1，X2)的密度函數(shù)為f1(x1，x2)，則隨機(jī)變量(Y1，Y2)(其中Y1=2X1，Y2=X2)的概率密度f(wàn)2(y1，y2)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)(X1，X2)的分布為F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布為F2(y1，y2)。F2(y1，y2)=P{Y1≤y1)，Y2≤y2}=P{2X1≤y1，X2≤y2}=P{X1≤，X2≤3y2}=F1。所以f2(y1，y2)=，故選B。2、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X～，Y的概率密度f(wàn)(y)=則P{X+Y≤}的值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：，X取值只能是X=0或X=1，將X=0和X=1看成完備事件組，用全概率公式有故選A。3、設(shè)相互獨(dú)立的兩隨機(jī)變量X，Y均服從[0，3]上的均勻分布，則P{1＜max(X，Y)≤2}的值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：P{1＜max(X，Y)≤2}=P{max(X，Y)≤2}—P{max(X，Y)≤1}=P{X≤2，Y≤2}—P{X≤1，Y≤1}=P{X≤2}P{Y≤2}—P{X≤1}P{Y≤1}=故選C。4、設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，則()A、X+Y一定服從正態(tài)分布。B、X和Y不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)。C、(X，Y)一定服從正態(tài)分布。D、(X，—Y)未必服從正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A選項(xiàng)不成立，例如，若Y=—X，則X+Y=0不服從正態(tài)分布。B選項(xiàng)也不成立，因?yàn)橹挥挟?dāng)X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時(shí)“X和Y獨(dú)立”與“X和Y不相關(guān)”二者等價(jià)。C選項(xiàng)不成立，(X，Y)不一定服從正態(tài)分布，因?yàn)檫吘壏植家话悴荒軟Q定聯(lián)合分布。雖然隨機(jī)變量X和—Y都服從正態(tài)分布，但是因?yàn)檫吘壏植家话悴荒軟Q定聯(lián)合分布，故(X，—Y)未必服從正態(tài)分布，故選D。5、設(shè)隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為則X1+X2的分布函數(shù)F(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意知X1為離散型隨機(jī)變量，其分布律如下表所示F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x｜X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x｜X1=1}=。故選D。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為則隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意分布函數(shù)F(x)是F(x，y)的邊緣分布函數(shù)，所以F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此7、已知，且n維向量α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，則α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1線性相關(guān)的概率為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以“α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1線性相關(guān)”=X+2Y=0”，故所求的概率為P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0，Y=}+P{X+2Y=0，Y≠}=P{X=1，Y=}=P{X=1}=。8、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量X—Y的概率密度函數(shù)的最大值等于_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可知，X—Y～N(0，2)，其概率密度函數(shù)f(x)的最大值在x=0處，最大值為。三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)設(shè)隨機(jī)變量，且P{｜X｜≠｜Y｜=1。9、求X與Y的聯(lián)合分布律，并討論X與Y的獨(dú)立性。標(biāo)準(zhǔn)答案：由P{｜X｜≠｜Y｜}=1知，P{｜X｜=｜Y｜}=0。由此可得X與Y的聯(lián)合分布律如下表所示因?yàn)镻{X=—1，Y=—1}≠P{X=—1}P{Y=—1}，所以X與Y不獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、令U=X+Y，V=X—Y，討論U與V的獨(dú)立性。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(X，Y)的聯(lián)合分布律知P{U=V=—1}=P{X=—1，Y=0}=，P{U=—1，V=1}=P{X=0，Y=—1}=，P{U=1，V=—1}=P{X=0，Y=1}=，P{U=V=1}=P{X=1，Y=0}=，所以U與V的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如下表所示即可驗(yàn)證U與V獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3中等可能取值，隨機(jī)變量Y在1～X中等可能地取值。求：11、二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知P{X=1，Y=2}=P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=0。由乘法公式，可得P{X=1，Y=1}=P{X=1}.P{Y=1｜X=1}=，P{X=2，Y=1}=P{X=2}.P{Y=1｜X=2}=，P{X=3，Y=1}=P{X=3}.P{Y=1｜X=3}=，P{X=2，Y=2}=P{X=2}.P{Y=2｜X=2}=，P{X=3，Y=2}=P{X=3}.P{Y=2｜X=3}=，P{X=3，Y=3}=P{X=3}.P{Y=3｜X=3}=。所以{X，Y}的聯(lián)合分布律如下表所示進(jìn)一步得到邊緣分布如下表所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求在Y=2的條件下X的條件分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：在Y=2的條件下X可能的取值為2，3，因此從而得到在Y=2條件下隨機(jī)變量X的條件分布如下表所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)隨機(jī)變量Yi(i=1，2，3)相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)p的0—1分布，令求隨機(jī)變量(X1，X2)的聯(lián)合分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意隨機(jī)變量(X1，X2)是離散型的，它的全部可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)。題目中是要計(jì)算出取各相應(yīng)值的概率。注意事件Y1，Y2，Y3相互獨(dú)立且服從同參數(shù)p的0—1分布，所以它們的和Y1+Y2+Y3服從二項(xiàng)分布B(3，p)。于是P{X1=0，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=0}+P{Y=3}=(1—P)3+P3，P{X1=0，X2=1}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3=2}=P{Y=2}=3p2(1—P)，P{X1=1，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=1}=3p(1—P)2，P{X1=1，X2=1}=P{Y1+Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3=2}==0。計(jì)算可得(X1，X2)的聯(lián)合概率分布如下表所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=Ae—2x2+2xy—y2，—∞＜x＜+∞，—∞＜y＜+∞，求常數(shù)A及條件概率密度f(wàn)Y｜X(y｜x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)概率密度的性質(zhì)∫—∞+∞∫—∞+∞f(x，y)dxdy=1，可知∫—∞+∞∫—∞+∞Ae—2x2+2xy—y2dxdy=A∫—∞+∞e—x2dx∫—∞+∞e—(x—y)2dy=1，又因?yàn)椤摇?∞e—x2dx=，所以∫—∞+∞e—x2dx∫—∞+∞e—(x—y)2dy==π，所以A=，即f(x，y)=。X的邊緣概率密度為所以，條件概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，當(dāng)X取到x(0＜x＜1)時(shí)，隨機(jī)變量Y等可能地在(x，1)上取值。試求：15、(X，Y)的聯(lián)合概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題設(shè)X在(0，1)上服從均勻分布，因此其概率密度函數(shù)為而變量Y，在X=x的條件下，在區(qū)間(x，1)上服從均勻分布，所以其條件概率密度為再根據(jù)條件概率密度的定義，可得聯(lián)合概率密度知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)求得的聯(lián)合概率密度，不難求出關(guān)于Y的邊緣概率密度當(dāng)0＜y＜1時(shí)，fY(y)=∫—∞+∞f(x，y)dx==—ln(1—y)；當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，fY(y)=0，所以fY(y)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、P{X+Y＞1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3—3—4所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為18、求P{X＞2Y}。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知X，Y的概率密度，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求Z=X+Y的概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求Z的分布函數(shù)FZ(z)=P(X+Y≤Z)=(1)當(dāng)z＜0時(shí)，F(xiàn)Z(0)=0；(2)當(dāng)0≤z＜1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=∫0zdy∫0z—y(2—x—y)dx=z2—z3；(3)當(dāng)1≤z＜2時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1—P(X+Y＞Z)=1—∫z—11dy∫z—y1(2—x—y)dx=1—(2—z)3；(4)當(dāng)z≥2時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1。故Z=X+Y的概率密度為FZ(z)=F′Z(z)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布。首先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用，而另一臺(tái)自行開(kāi)動(dòng)，試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)先后開(kāi)動(dòng)的兩臺(tái)自動(dòng)記錄儀無(wú)故障工作的時(shí)間分別為X1與X2，則T=X1+X2，X1，X2的密度函數(shù)均為f(x)=直接根據(jù)兩個(gè)獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量之和的卷積公式，可得fT(t)=∫—∞+∞f(x)f(t—x)dx=∫0t5e—5x.5e—5(t—x)dx=25te—5t(t＞0)。從而其概率密度為fT(t)=F′T(t)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)總體X的概率密度為其中θ＞0是未知參數(shù)。從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn，記=min{X1，X2，…，Xn}。21、求總體X的分布函數(shù)F(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=∫—∞xf(t)dt=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：=P{min(X1，X2，…，Xn)≤x}=1—P{min(X1，X2，…，Xn)＞x}=1—P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}=1—[1—F(x)]n=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多維隨機(jī)變量及其分布）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，fX(x)，fY(y)分別表示X，Y的概率密度，則在Y=y條件下，X的條件概率密度f(wàn)X｜Y(x｜y)為()A、fX(x)B、fY(y)C、fX(x)fY(y)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，那么X與Y獨(dú)立，且f(x，y)=fX(x)fY(y)則fX｜Y(x｜y)==fX(x)故選A。2、設(shè)相互獨(dú)立的兩隨機(jī)變量X與Y均服從分布，則P{X≤2Y}=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P{X≤2Y}=P{X=0}+P{X=1，Y=1}=+P{X=1}P{Y=1}=故選D。3、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0，1)和N(1，1)，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于X～N(0，1)與Y～N(1，1)以及X與Y相互獨(dú)立，得X+Y～N(1，2)，X—Y～N(—1，2)。因?yàn)?，若Z～N(μ，σ2)，則必有比較四個(gè)選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)正確，故選B。4、已知隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立且有相同的分布：P{Xi=—1}=P{Xi=1}=(i=1，2)，則()A、X1與X1X2獨(dú)立且有相同的分布。B、X1與X1X2獨(dú)立且有不同的分布。C、X1與X1X2不獨(dú)立且有相同的分布。D、X1與X1X2不獨(dú)立且有不同的分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)知X1X2可取—1，1，且P{X1X2=—1}=P{X1=—1，X2=1}+P{X1=1，X2=—1}=P{X1=—1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=—1}=。又P{X1=—1，X1X2=—1}=P{X1=—1，X2=1}=，所以X1與X1X2的概率分布如下表從而X1與X1X2有相同的分布且相互獨(dú)立，故選A。二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、已知(X，Y)的概率分布如下表所示且P{X2+Y2=1}=0．5，則P{X2Y2=1}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0．3知識(shí)點(diǎn)解析：由于0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=0．6+α+β=1，即α+β=0．4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=—1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1。故α=0．3，β=0．1。那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=—1}=0．2+β=0．3。6、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在xOy平面上由直線y=x與曲線y=x2所圍成的區(qū)域上服從均勻分布，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由直線y=x與曲線y=x2所圍成的區(qū)域面積為A=∫01(x—x2)dx，所以(X，Y)的概率密度函數(shù)為f(x，y)=于是7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)為Φ(2x+1)Φ(2y—1)，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則(X，Y)～N_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(X，Y)的分布函數(shù)為Φ(2x+1)Φ(2y—1)，所以可知X，Y獨(dú)立。Φ(2x+1)Φ(2y—1)==FX(x)FY(y)，根據(jù)正態(tài)分布X～N(μ，σ2)的標(biāo)準(zhǔn)化可知FX(x)=P{X≤x}=，又因?yàn)镕X(x)=。同理，Y～。故(X，Y)～。8、已知隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y1=X1，Y2=X2—，則Y1—Y2服從_______分布，參數(shù)為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：Y1—Y2=X1—X2+，所以Y1—Y2為多個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)變量和，且服從正態(tài)分布。又E(Y1—Y2)=0，D(Y1—Y2)=，故Y1—Y2～三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)已知隨機(jī)變量X，Y的概率分布分別為，并且P{X+Y=1}=1，求：9、(X，Y)的聯(lián)