考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷11（共239題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷11（共9套）（共239題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)y=f(x)滿足且f(0)=0，則∫01f(x)dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且∫abf2(x)dx=1，則∫abxf(x)f’(x)dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、已知f(x)連續(xù),∫01f(x)dx=5，則∫01f(x)[∫x1(t)dx]dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt，若當(dāng)x→0時(shí)F’(x)與x2為等價(jià)無(wú)窮小，則f’(0)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt=x2∫0x(t)dt一∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)(x2f’(x)－x2f(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依題設(shè)，當(dāng)x→0時(shí)F’(x)與x2為等價(jià)無(wú)窮小，從而6、已知f(x)=∫1x2e-t2dt，則∫01xf(x)dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、∫0+∞x7e-x2dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：∫t33e-tdt=e-t(at3+bt2+dt+e)+C，兩邊求導(dǎo)得t3e-t=e-t[一at3+(3a—b)t2+(2b—d)t+d—e]，比較兩邊t的同次冪項(xiàng)的系數(shù)得a=一1，b=一3，d=一6，e=一6．于是8、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因(xex)’=ex(x+1)，令xex=t，則dt=ex(x+1)dx，于是二、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)10、求下列積分(其中n=1，2，3，…)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)建立Jn的遞推公式．首先知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)a＞0，f(x)在(一∞，+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)，φ(x)為已知的可微函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)連續(xù)，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，令(I)試求A的值，使F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)；(Ⅱ)求F’(x)并討論其連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由變上限積分性質(zhì)知F(x)在x≠0時(shí)連續(xù)．為使其在x=0處連續(xù)，只要知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)x∈[0，a]時(shí)f(x)連續(xù)且f(x)＞0(x∈(0，a])，又滿足求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)連續(xù)及xx可導(dǎo)知f2(x)可導(dǎo)，又f(x)＞0，從而f(x)可導(dǎo)，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故將上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得2f(x)f’(c)=f(x).2x→f’(x)=x．在(*)式中令x=0可得f(0)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求函數(shù)在區(qū)間[e，e2]上的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值，再求出f(a)與f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)單調(diào)，則最大(小)值必在端點(diǎn)處取得．由可知f(x)在[e，e2]上單調(diào)增加，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求下列平面圖形的面積：(I)y=x，y=xlnx及x軸所圍圖形；(Ⅱ)y=sinx，y=cosx，x=0，x=2π所圍圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)如圖3．3．由x=xlnx，知兩曲線的交點(diǎn)為(e，e)．由圖形可以看出，陰影部分的面積等于三角形的面積減去定積分∫1exlnxdx，即(Ⅱ)如圖3．4．所求面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)由曲線與直線y=a(其中常數(shù)a滿足0＜a＜1)以及x=0，x=1圍成的平面圖形(如右圖的陰影部分)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V(a)，求V(a)的最小值與最小值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由曲線與直線y=a(其中0＜a＜1)以及x=0，x=1圍成的平面圖形分為左、右兩個(gè)部分區(qū)域，即(見(jiàn)圖3．5)在D1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體中滿足y→y+dy的一層形狀是圓形薄片，其半徑為，厚度為dy,從而這個(gè)圓形薄片的體積dV=π(1一y2)dy，于是區(qū)域D1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積在D2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體中滿足y→y+dy的一層形狀為圓環(huán)形薄片，其內(nèi)半徑為，外半徑為1，厚度為dy，從而這個(gè)圓環(huán)形薄片的體積為dV=π[1一(1一y2)]dy=πy2dy，故區(qū)域D2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積把V1(a)與V2(a)相加，就得到了知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)∫0xf(x一t)dt=sin4x，求f(x)在148上的平均值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且．證明：在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f’(c)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于，根據(jù)積分中值定理，因而根據(jù)題設(shè)f(x)在[0，ξ]上滿足羅爾定理的條件，因此，使得f’(c)=0成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：在左端表達(dá)式中令x=2t，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)在[A，B]上連續(xù)，A＜a＜b＜B，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[a，b]，｜h｜充分小時(shí)，x+h∈[A，B]，因而f(x+h)一f(x)在[a，b]上連續(xù)．對(duì)∫ab(x+h)dx作積分變量替換，則有由于上式每一項(xiàng)對(duì)h可導(dǎo)且h→0時(shí)均趨于零．因此，由洛必達(dá)法則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求證：(I)若f(x)為奇函數(shù)，則F(x)也是奇函數(shù)．(Ⅱ)(0，0)是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)F(x)在(一∞，+∞)上有定義，且F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt，故F(一x)=2∫0-x(t)dt+x∫0-xf(t)dt．作換元t=一u，則當(dāng)t：0→一x→u：0→x，且dt=一du，代入可得有F(一x)=2∫0x(一u)f(一u)(一du)+x∫0xf(一u)(一du)=一2∫0xu[一f(一u)]du+x∫0x[-f(一u)]du=2∫0xuf(u)du+x∫0xf(u)du=一[2∫0xuf(u)du—x∫0xf(u)du]=一F(u)，這表明F(x)是(一∞，+∞)上的奇函數(shù)．(Ⅱ)顯然F(0)=0，由f(x)在(一∞，+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(0)≠0知使當(dāng)｜x｜＜δ時(shí)f’(x)與f’(0)同號(hào)．為確定起見(jiàn)，無(wú)妨設(shè)f’(0)＞0，于是當(dāng)｜x｜＜δ時(shí)f’(x)＞0．計(jì)算可得F’(x)=2xf(x)一∫0xf(x)dt—xf(x)=xf(x)一∫0xf(t)dt，故(0，0)是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、證明：當(dāng)x≥0且n為自然數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt，則f’(x)=(x一x2)sin2nx．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，除x=kπ(k=1，2，3，…)時(shí)f’(x)=0外，均有f’(x)＜0，故f(x)在0≤x≤1單調(diào)上升，在x≥1單調(diào)減小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又當(dāng)t≥0時(shí)，sint≤t，于是當(dāng)x≥0時(shí)有f(x)≤f(1)=∫01(t一t2)sin2ndt≤∫01(t一t2)t2ndt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)an＞0，n=1，2，…，若(一1)n—1an收斂，則下列結(jié)論正確的是A、a2n發(fā)散．B、a2n—1發(fā)散．C、(a2n—1+a2n)收斂．D、(a2n—1—a2n)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：注意，級(jí)數(shù)(a2n—1—a2n)是把收斂級(jí)數(shù)(一1)n—1an各項(xiàng)不改變順序且相鄰兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)構(gòu)成的新級(jí)數(shù)，由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)知該級(jí)數(shù)必收斂，故應(yīng)選D．2、下述各選項(xiàng)中正確的是A、若(un+vn)2收斂．B、若vn都收斂．C、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)．D、若級(jí)數(shù)un收斂，且un≥vn(n=1，2，…)，則級(jí)數(shù)vn也收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于0≤(un+vn)2≤(｜un｜+｜vn｜)2=un2+2｜unvn｜+vn2≤2un2+2vn2，又級(jí)數(shù)，(2un2+2vn2)亦收斂．從而級(jí)數(shù)(un+vn)2收斂．故選A．對(duì)于(B)，只要令un=()n，vn=2n，易驗(yàn)證(B)錯(cuò)誤．對(duì)于(C)，令un=，顯然選項(xiàng)C錯(cuò)誤．對(duì)于(D)，當(dāng)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，vn為負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)(如令vn=一1)，易驗(yàn)證(D)錯(cuò)誤．3、設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂性與a的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于．應(yīng)選C．4、若級(jí)數(shù)an(x一1)n在x=一1處收斂，則此級(jí)數(shù)在x=2處A、條件收斂．B、絕對(duì)收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件an(一2)n收斂，可知冪級(jí)數(shù)，antn的收斂半徑R≥2，從而antn當(dāng)t∈(一2，2)時(shí)絕對(duì)收斂．注意x=2時(shí)對(duì)應(yīng)的t=x一1=1．故冪級(jí)數(shù)an(x—1)n在x=2處絕對(duì)收斂．故選B．5、設(shè)un=∫nπ(n+1)πun為A、發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)．B、收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)．C、發(fā)散的交錯(cuò)級(jí)數(shù)．D、收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令x=nπ+t，則所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)un收斂，故選D．6、已知級(jí)數(shù)條件收斂，則常數(shù)p的取值范圍是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故當(dāng)p+an收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)p+an發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．當(dāng)0＜p+時(shí)，顯然an→0(n→∞)．令所以x充分大時(shí)f(x)單調(diào)增加，于是n充分大時(shí)，an=單調(diào)減少，應(yīng)用萊布尼茨判別法推知當(dāng)一時(shí)原級(jí)數(shù)條件收斂．故選D．當(dāng)p+時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散．7、下列命題中正確的是A、若冪級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑為R≠0，則．B、若極限anxn沒(méi)有收斂半徑．C、若冪級(jí)數(shù)anxn的收斂域?yàn)閇一1，1]，則冪級(jí)數(shù)nanxn的收斂域也為[一1，1]．D、若冪級(jí)數(shù)anxn的收斂域?yàn)閇一1，1]，則冪級(jí)數(shù)xn的收斂域也為[一1，1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：極限=ρ只足收斂半徑為R=的一個(gè)充分條件，因此A不對(duì)．冪級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑存在而且唯一，所以B不對(duì)．取級(jí)數(shù)可以排除(C)．(D)可以由冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)得到，故選D．8、設(shè)冪級(jí)數(shù)(x一a)n在點(diǎn)x1=一2處條件收斂，則冪級(jí)數(shù)(x一a)n在點(diǎn)x2=處A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、其斂散性與口的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：首先，冪級(jí)數(shù)收斂半徑為R=1．其次，級(jí)數(shù)在x1=一2處條件收斂，則x1=一2必為收斂區(qū)間的端點(diǎn)．由｜x1一x2｜=必在收斂域之外．與a的取值無(wú)關(guān)．因此選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)級(jí)數(shù)(un+un+1+un+2)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镾=un收斂，那么由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)有=S+(S一u1)+(S—u1—u2)=3S一2u1—u2．由于u1=S1=1，u2=S2一u1=，則10、冪級(jí)數(shù)x2n—1的收斂半徑為_(kāi)__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)級(jí)數(shù)顯然收斂．當(dāng)x≠0時(shí)設(shè)un(x)=x2n—1，于是用比值判別法知，當(dāng)x2＜1時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而當(dāng)x2＞1時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2．11、冪級(jí)數(shù)的收斂域是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一2，2)知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)級(jí)數(shù)必收斂．當(dāng)x≠0時(shí)設(shè)un(x)=，于是故當(dāng)＜1即｜x｜＜2時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而當(dāng)｜x｜＞2時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)x=2時(shí)，冪級(jí)數(shù)變?yōu)椋@然發(fā)散；當(dāng)x=一2時(shí)，冪級(jí)數(shù)變?yōu)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨判別法易判斷其收斂．故收斂域?yàn)閇一2，2)．12、冪級(jí)數(shù)xn的收斂域?yàn)開(kāi)__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1)知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)收斂半徑的計(jì)算公式，冪級(jí)數(shù)，的收斂半徑為1，收斂域?yàn)閇一1，1)；冪級(jí)．?dāng)?shù)的收斂域?yàn)?一2，2)．因此原級(jí)數(shù)在[一1，1)收斂，在(一2，一1)∪[1，2)一定發(fā)散．又根據(jù)阿貝爾定理，原級(jí)數(shù)在(一∞，一2]∪[2，+∞)也一定發(fā)散．故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1)．13、冪級(jí)數(shù)102n(2x一3)2n—1的收斂域?yàn)開(kāi)__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1．45，1．55)知識(shí)點(diǎn)解析：這是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，把一般項(xiàng)化成an(x一x0)2n—1的標(biāo)準(zhǔn)形再計(jì)算．所以當(dāng)202=0．05時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)｜x一｜＞0．05時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．故冪級(jí)數(shù)102n(2x一3)2n—1的收斂區(qū)間為(1．45，1．55)．又當(dāng)｜x—｜=0．05時(shí)，原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分別是un=一10和un=10，所以發(fā)散．因此冪級(jí)數(shù)102n(2x一3)2n—1的收斂域?yàn)?1．45，1．55)．14、冪級(jí)數(shù)(n2—1)xn的和函數(shù)是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：+1，(｜x｜＜1)知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x≠0時(shí)設(shè)un(x)=(n2—1)xn，由于可見(jiàn)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1．當(dāng)x=±1時(shí)原級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于零，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一1，1)．求和函數(shù)得三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)判別下列級(jí)教的斂散性．15、標(biāo)準(zhǔn)答案：用比值判別法．故該級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：本題中四個(gè)級(jí)數(shù)均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，故用正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法．16、標(biāo)準(zhǔn)答案：un==0，所以u(píng)n=e0=1≠0，故級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：此題可以用比值判別法或極限形式的比較判別法．比值判別法：＜1，故收斂．比較判別法：取v=收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、(其中常數(shù)p＞1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：用比較判別法的極限形式，將題設(shè)的級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)作比較．因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析判別下列級(jí)數(shù)的斂散性．若收斂，需說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂．19、標(biāo)準(zhǔn)答案：I(一I)n—1一1，利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法極限形式，我們?nèi)n=．因?yàn)閷?duì)于原級(jí)數(shù)，令f(x)=，在區(qū)間[e，+∞)上有f’(x)=＜0，故f(x)=在區(qū)間[e，+∞)上單調(diào)遞減，且滿足萊布尼茨判別法的兩個(gè)條件：un=0，un≥un+1．故得知原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1+x)≤x(x≥0)，可知ln(en+e-n)=lnen(1+e-2n)=n+ln(1+e-2n)＜n+e-2n．令f(x)=＜0．因此f(x)單調(diào)減少，故數(shù)列單調(diào)遞減．又=0，由萊布尼茨判別法，知原級(jí)數(shù)收斂．故原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、討論級(jí)數(shù)的斂散性，其中{xn}是方程x=tanx的正根按遞增順序編號(hào)而得的序列。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x一tanx，x∈(nπ一)，則f’(x)=1一=一tan2x≤0，等號(hào)僅在x=nπ時(shí)成立，故f(x)單調(diào)減少．又故f(x)在(nπ一)有唯一的根，且xn∈(nπ一)，從而xn＞＞n一2，繼而有xn＞(n—2)2，．由于收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、討論級(jí)數(shù)的斂散性與參數(shù)p，x的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)n充分大時(shí)．1一＞0，故級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．故vn發(fā)散，故當(dāng)p+x＞1時(shí)，un收斂；當(dāng)p+x≤1時(shí)，un發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知函數(shù)y=y(x)滿足等式y(tǒng)’=x+y，且y(0)=1，試討論級(jí)數(shù)的收斂性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥’=x+y，所以y"=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y"(0)=2．根據(jù)麥克勞林公式，就有知識(shí)點(diǎn)解析：y(x)是已知微分方程的一個(gè)特解，再由其麥克勞林公式討論級(jí)數(shù)的收斂性．24、設(shè)f(x)在[一2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫-xxf(x+t)dt，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)在[一2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則｜f’(x)｜在[一2，2]上連續(xù)，設(shè)M為｜f’(x)｜在[一2，2]上的最大值，則x∈[一1，1]時(shí)，F(xiàn)(x)=∫-xxf(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u一2x)=f(u)(u一2x)｜02x一∫02xf’(u)(u一2x)du=一∫02xf’(u)(u一2x)du，由此可得｜F(x)｜≤M∫02x(2x—u)du=2Mx2，x∈[一1，1]．因此收斂，由比較判別法可得絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：25、f(x)=lnx，分別在x=1與x=2處；標(biāo)準(zhǔn)答案：利用換元法與已知的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式ln(1+x)=xn(一1＜x≤1)求解本題．首先設(shè)x一1=t→x=1+t，代入可得f(x)=lnx=ln(1+t)=(x—1)2，展開(kāi)式的成立范圍是一1＜t≤1即一1＜x一1≤1→0＜x≤2．其次設(shè)x—2=t→x=2+t，代入可得展開(kāi)式的成立范圍是一1＜≤1→一2＜x一2≤2→0＜x≤4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、f(x)=，在x=1處．標(biāo)準(zhǔn)答案：展開(kāi)式成立的范圍是＜1，即一2＜x＜4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、將函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x0=1處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，并求f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)視為(x一1)bn(x一1)n即可．因?yàn)槔霉?5．14)，并以代替其中的x，則有由于f(x)的冪級(jí)數(shù)an(x一1)n的系數(shù)an=，所以f(n)(1)=n!an=．知識(shí)點(diǎn)解析：“在點(diǎn)x0=1處展成冪級(jí)數(shù)”即展成x一1的冪級(jí)數(shù)．28、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：用比值判別法判別其斂散性．當(dāng)x=0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x≠0時(shí)有所以，當(dāng)0＜｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；｜x｜＞1時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)｜x｜=1時(shí)，由于，un≠0，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求冪級(jí)數(shù)(2n+1)x2n+2的收斂域，并求其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2n+1)x2n=x2(2n+1)x2n，記(2n+1)x2n的和函數(shù)為S(x)，則知識(shí)點(diǎn)解析：記un(x)=(2n+1)x2n“，消去每項(xiàng)中的系數(shù)(2n+1)便可化為等比級(jí)數(shù)．求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：30、(n+1)2xn；標(biāo)準(zhǔn)答案：易知冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?一1，1)．記S(x)=(n+1)2xn，則對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得和函數(shù)S(x)=(一1＜x＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、標(biāo)準(zhǔn)答案：故只要消去系數(shù)中的因子n便可以使用ex的展開(kāi)式求和．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一∞，+∞)．和函數(shù)把g(x)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式作逐項(xiàng)積分，可得所以g(x)=(xex)’=(1+x)ex，S(x)=xg(x)=(x+x2)ex(一∞＜x＜+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次去掉冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的分母n(2n+1)，化為幾何級(jí)數(shù)求和函數(shù)．計(jì)算可得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1，收斂域是[一1，1]，設(shè)其和函數(shù)為S(x)，則S(x)=，一1≤x≤1，且S(0)=0．為便于利用逐項(xiàng)求導(dǎo)去掉冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的分母n(2n+1)化為幾何級(jí)數(shù)求和，可引入冪級(jí)數(shù)，這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也是R=1，收斂域也是[一1，1]，設(shè)其和函數(shù)為S(x)，則S1(x)==xS(x)，一1≤x≤1，且S1(0)=S’1(0)=0．在開(kāi)區(qū)間(一1，1)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次可得S"1(x)=2(—1)nx2n—1=—2x(—x2)n—1=一，逐項(xiàng)積分就有S’1(x)=∫0xS"1(t)dt=一∫0xdt=—ln(1+x2)，一1＜x＜1，S1(x)=∫0xS’1(t)dt=一∫0xln(1+t2)dt=一xln(1+x2)+∫0xtdln(1+t2)=一xln(1+x2)+2∫0xdt=2x一2arctanx—xln(1+x2)，一1＜x＜1．由于冪級(jí)數(shù)在x=±1都收斂，且函數(shù)2x—2arctanx—xln(1+x)在x=±1都連續(xù)，故和函數(shù)S1(x)=2x一2arctanx—xln(1+x)分別在x一1與x=1處也成立．由此即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)S(x)表示的和函數(shù)．由于因此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1，且x∈(一1，1)時(shí)設(shè)S1(x)=，它們的收斂半徑都是1，因此兩冪級(jí)數(shù)(—1，1)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得S1(x)=∫0xS’(t)dt+S1(0)=∫0xdt=—ln(1—t)｜0x=一ln(1—x)，S2(x)=∫0xS’2(1)dt+S2(0)=∫0x(一1—t)dt=—ln(1一x)—x—，于是=xS1(x)=xln(1—x)x∈(—1，1)，，x∈(一1，0)∪(0，1)．因此S(x)=，x∈(一1，0)∪(0，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有兩條拋物線y=nx2+和y=(n+1)x2+，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an。34、求兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=nx2+．因圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、設(shè)an=∫01t2(1一t)ndt，證明級(jí)數(shù)an收斂，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：an=∫01t2(1一t)ndt=∫01(1一u)2undu=∫01(un—2un+1+un+2)du知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0使得()．A、對(duì)任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、對(duì)任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f(x)為單調(diào)增函數(shù)D、當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f(x)是單調(diào)減函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)＞0，所以根據(jù)極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，有即f(x)＞f(0)，選A．2、28．設(shè)f(x)在x=a的鄰域內(nèi)有定義，且f’+(a)與f’－(a)都存在，則()．A、f(x)在x=a處不連續(xù)B、f(x)在x=a處連續(xù)C、f(x)在x=a處可導(dǎo)D、f(x)在x=a處連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’+(a)存在，所以即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，選B．3、曲線的漸近線的條數(shù)為()．A、0條B、1條C、2條D、3條標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)闊o(wú)水平漸近線；由有兩條鉛直漸近線；由有一條斜漸近線y=x，選D．4、設(shè)y(x)是微分方程y’’+(x－1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程y’’+(x－1)y’+x2y=ex中，令x=0，則y’’(0)=2，于是選A．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：∫0xsin(x－t)2dt∫x0sinu2(－du)=sinu2du，則6、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)～x2，則f’0)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，F(xiàn)’(x)=2x∫0xf’(t)dt，因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)～x2，所以8、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、在區(qū)間[－1，1]上的最大值為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：令時(shí)，I’(x)＜0，當(dāng)為I(x)在[－1，1]上的最小值點(diǎn)，又故I(x)在[－1，1]上的最大值為ln3．10、設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’x(1，2)=1，f’y(1，2)=4，則f(1，2)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得xfx(6tx，ty)+yfy’(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’x(1，2)+2f’y(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3.11、設(shè)則∫0πf(x)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：∫0πf(x)dx=∫0πdx∫0x=∫0πsintdt=2三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、設(shè)f(x)在[1，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f’(x)＜0且=a＞0，令an=－∫1nf(x)dx．證明：{an}收斂且0≤≤f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)＜0，所以f(x)單調(diào)減少．又因?yàn)閍n+1－an=f(n+1)－∫nn+1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])．所以{an}單調(diào)減少．因?yàn)閍n=[f(k)－f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n－1)且所以存在X＞0，當(dāng)x＞X時(shí)，f(x)＞0．由f(x)單調(diào)遞減得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+…+[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，從而0≤≤f(1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求f(x)的間斷點(diǎn)并分類(lèi)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=k(k=0，－1，－2，…)及x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．因?yàn)閒(0－0)≠f(0+0)，所以=0為跳躍間斷點(diǎn)；由得x=－02為可去間斷點(diǎn)；當(dāng)x=k(k=－1，－3，－4，…)時(shí)，由得x=k(k=－1，－3，－4，…)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)；由得x=1為第二類(lèi)間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由f(a)=f(b)=1，得=eη[f’(η)+f(η)]，從而=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．證明：方程f’’(x)－f(x)=0在(0，1)內(nèi)有根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e－x[f(x)+f’(x)]．因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以方程f’’(c)－f(c)=0在(0，1)內(nèi)有根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f’’(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜0＜<1)證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+其中ξ介于x與x+h之間．由已知條件得兩邊同除以h，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)F(x)=又F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊積分得由F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上有定義，且對(duì)任意的x，y∈(－∞，+∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x－y｜．證明：｜∫abf(x)dx－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?b－a)f(a)=∫abf(a)dx所以｜∫abf(x)dx(b－a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)－f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)－f(a)｜dx≤∫ab(x－a)dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)u=u(x，y，z)連續(xù)可偏導(dǎo)，令20、若證明：u僅為θ與φ的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗評(píng)是不含r的函數(shù)，即u僅為θ與φ的函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、若證明：u僅為r的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閺亩?t(r2cos2θcosφsinφ)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(－r2sinφcosφ)=0，故u僅是r的函數(shù)，即u不含θ與φ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)且D：x2+y2≥2x，求f(x，y)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、證明：用二重積分證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S={(z，Y)｜0≤z≤R，0≤Y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，Y≥0}φ(x，y)=e－(x2+y2)，因?yàn)棣?x，y)=e－(x2+y2)≥0且D1D2，于是令R→+∞同時(shí)注意到∫0Re－x2dx＞0，根據(jù)夾逼定理得∫0+∞e－x2dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為當(dāng)發(fā)散，所以?xún)缂?jí)數(shù)當(dāng)發(fā)散，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)u0＞0，且發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)q＞1時(shí)，取所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，而收斂．當(dāng)q＜l時(shí)，取所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，所以有發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)開(kāi)始滑行著陸，在著陸時(shí)刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m／s)，飛機(jī)與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg.s2／m2)．設(shè)飛機(jī)的質(zhì)量為m(kg)，求飛機(jī)從著陸到停止所需要的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxv2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2，摩擦力為w=μ(mg－Ry)，由牛頓第二定律，有記B=μg，顯然A＞0，故有分離變量得又當(dāng)t=0時(shí)，所以當(dāng)v=0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、下列命題正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)在x＝0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)＝0，則f(x)在x＝0處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)f(x)＝＝0，而f(x)在x＝0處不可導(dǎo)，(A)不對(duì)；即存在只能保證f(x)在x＝0處右可導(dǎo)，故(B)不對(duì)；因?yàn)椋詇－tanh～h3，于是存在不能保證f(x)在x＝0處可導(dǎo)，故(D)不對(duì)；＝－f’(0)，選(C)．4、設(shè)f(x)是不恒為零的奇函數(shù)，且f’(0)存在，則g(x)＝()．A、在x＝0處無(wú)極限B、x＝0為其可去間斷點(diǎn)C、x＝0為其跳躍間斷點(diǎn)D、x＝0為其第二類(lèi)間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)存在，所以f(x)在x＝0處連續(xù)，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，顯然x＝0為g(x)的間斷點(diǎn)，因?yàn)椋絝’(0)，所以x＝0為g(x)的可去間斷點(diǎn)，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)連續(xù)，且F(z)＝∫axf(t)dt，則F(x)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a2f(a)知識(shí)點(diǎn)解析：7、曲線y＝x＋的斜漸近線為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝x知識(shí)點(diǎn)解析：斜漸近線為y＝x．8、設(shè)z＝＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、計(jì)算∫01dy∫0y2ycos(1－x)2dx＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：∫01dy∫0y2ycos(1－x2)dx＝∫01cos(1－x)2dxydy＝∫01(1－x)cos(1－x)2dx＝∫01cos(1－x)2d(1－x)2．10、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，則Q(x)＝______，該微分方程的通解為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1e－4x＋C2e3x＋x2＋3x＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))知識(shí)點(diǎn)解析：顯然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程為λ2＋λ－12＝0，特征值為λ1＝4，λ2＝3．因?yàn)閤2＋3x＋2為特征方程y’’＋y’－12y＝Q(x)的一個(gè)特解，所以Q(x)＝2＋2x＋3－12(x2＋3x＋2)＝－12x2－34x－19，且通解為y＝C1e－4x＋C2e3x＋x2＋3x＋2(其中C1，C2為任意常數(shù))．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)a1＝1，a2＝2，3an＋2－4an＋1＝0，n＝1，2，…，求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：由3an＋2－4an＋1＋an＝0，得3(an＋2－an＋1)＝an＋1－an(n＝1，2…)令bn＝an＋1－an，則bn＋a／bn＝1／3(n＝1，2，…)，由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)＝，討論函數(shù)f(x)在x＝0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤｜f(x)｜＝f(x)在x＝0處連續(xù)．由得f’－(0)＝1，再由得f’＋(0)＝0，因?yàn)閒’－(0)≠f’＋(0)，所以f(x)在x＝0處不可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)＝f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)＝f(b)，所以存在c∈(a,b)，使得f(c)≠f(a)＝f(b)，不妨設(shè)f(c)＞f(a)＝f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＜1，證明：2x－∫0xf(t)dt＝1在(0，1)有且僅有一個(gè)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝2x－∫0xf(t)dt－1，φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫01f(t)dt，因?yàn)閒(x)＜1，所以∫01f(t)dt＜1，從而φ(0)φ(1)＜0，由零點(diǎn)定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0．因?yàn)棣铡?x)＝2－f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故方程2x－∫0xf(t)dt＝1有且僅有一個(gè)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)連續(xù)，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt．證明：(1)若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；(2)若f(x)單調(diào)不增，則F(x)單調(diào)不減．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)f(－x)＝f(x)，因?yàn)镕(－x)＝∫0－x(－x－2t)f(t)dt∫0x(－x＋2u)f(－x)(－du)＝∫0x(x－2u)f(u)du＝F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)．F(x)＝∫0－x(x－2t)f(t)dt＝∫0xf(t)dt－2∫0xtf(t)dt,F’(x)＝∫0xf(t)－xf(t)＝x[f(ξ)－f(x)]，其中ξ介于0與x之間，當(dāng)x＜0時(shí)，x≤ξ≤0，因?yàn)閒(x)單調(diào)不增，所以F’(x)≥0，當(dāng)x≥0時(shí)，0≤ξ≤x，因?yàn)閒(x)單調(diào)不增，所以F’(x)≥0，從而F(x)單調(diào)不減．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求＋sin2x]cos2xdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(x)＝∫－1x(1一｜t｜)dt(x＞－1)，求曲線y＝f(x)與x軸所圍成的平面區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)－1＜x≤0時(shí)，f(x)＝∫－1x(1－｜t｜)dt＝∫－1x(t＋1)dt當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＝∫－10(t＋1)dt＋∫0x(1－t)dt＝，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且z＝f(2x－y)＋g(x，xy)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2f’(2x－y)＋g’1(x，xy)＋yg’2(x，xy)，＝－2f’(2x－y)＋xg’’12(x，xy)＋g’2(x，xy)＋xyg’’22(x，xy)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、把二重積分f(x，y)dxdy寫(xiě)成極坐標(biāo)下的累次積分的形式(先r后θ)，其中D由直線x＋y＝1，x＝1，y＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、(1)設(shè)f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)連續(xù)，求f(x)．(2)設(shè)f(x)在(－1，＋∞)內(nèi)連續(xù)，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，得f(x)＝ex－x∫0xf(t)dt＋∫0xtf(t)dt，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f’(x)＝ex－∫0xf(t)dt，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得f’’(x)＋f(x)＝ex，其通解為f(x)＝C1cosx＋C2sinx＋．在f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt中，令x＝0得f(0)＝1，在f’(x)＝ex－∫0xf(t)dt中，令f’(0)＝1，于是有．(2)由f(x)－∫0xtf(t)dt＝1得(x＋1)f(x)－∫0xtf(t)dt＝x＋1，兩邊求導(dǎo)得f(x)＋(x＋1)f’(x)－xf(x)＝1，整理得f’(x)＋(－1＋，解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)y＝y(tǒng)(x)為微分方程2xydx＋(x2－1)dy＝0滿足初始條件y(0)＝1的解，則y(x)dx為()．A、－ln3B、ln3C、ln3D、ln3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由2xydx＋(x2－1)dy＝0得＝0，積分得ln(x2－1)＋lny＝lnC，從而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，選(D)．2、設(shè)平面區(qū)域D：1≤x2＋y2≤4，f(x，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則dxdy等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫12rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：dxdy＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr，選(A)．3、設(shè)函數(shù)f(x)在｜x｜＜δ內(nèi)有定義且｜f(x)｜≤x2，則f(x)在x＝0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)＝0D、可微但f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然f(0)＝0，且f(x)＝0，所以f(x)在x＝0處連續(xù)．又由｜f(x)｜≤x2得0≤≤｜x｜，根據(jù)夾逼定理得，即f’(0)＝0，選(C)．4、設(shè)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若＝2，則f(x)在x＝0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由＝2得f(0)＝0，由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＞0，從而f(x)＞0＝f(0)，由極值的定義得f(0)為極小值，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、當(dāng)x→0時(shí)，3x－4sinx＋sinxcosx與xn為同階無(wú)窮小，則n＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)周期為4的函數(shù)f(x)處處可導(dǎo)，且，則曲線y＝f(x)在(－3，f(－3))處的切線為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝－2x－4知識(shí)點(diǎn)解析：得f(1)＝2，再由得f’(1)＝－2，又f(－3)＝f(－4＋1)＝f(1)＝2，f’(－3)＝f’(－4＋1)＝f’(1)＝－2，故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－3，f(－3))處的切線為y－2＝－2(x＋3)，即y＝－2x－4．7、∫－11[x2ln(x＋)＋(x21)]dx＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)z＝f(x，y)是由e2yz＋x＋y2＋z＝確定的函數(shù)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將代入e2yz＋x＋y2＋z＝中得x＝0，e2yz＋x＋y2＋z＝兩邊求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dx＋2ydy＋dz＝0，將x＝，y＝，z＝0代入得9、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)＝et，由微分中值定理，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)＝g(a＋bx)－g(a－bx)，其中g(shù)’(a)存在，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2bg’(a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)＝求f(x)并討論其連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)＝，當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)＝cosx，由f’－＝＝1，f’＋(0)＝＝1，得f’(0)＝1，則容易驗(yàn)證f’(x)＝1＝f’(0)，所以f’(x)連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、證明：對(duì)任意的x，y∈R且x≠y，有．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)＝et，因?yàn)閒’’(t)＝et＞0，所以函數(shù)f(t)＝et為凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的定義，對(duì)任意的x，y∈R且x≠y，有．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’’(x)＞0，證明：f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任意的x0，x2∈(a，b)且x1≠x2，取，由泰勒公式得f(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x－x0)＋(x－x0)2，其中ξ介于x0與x之間．因?yàn)閒’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x－x0)，“＝”成立當(dāng)且僅當(dāng)“x＝x0”，從而兩式相加得f(x0)＜由凹函數(shù)的定義，f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求∫arcsinxarccosxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、∫01x4dx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明：sinnxcosnnxdx＝2－nsinnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：sinnxcosnxdx＝2－n－1sinn2xd(2x)＝2－n－1∫0πsinnsinnxdx＝2－nsinnxdx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)直線y＝kx與曲線y＝所圍平面圖形為D1，它們與直線x＝1圍成平面圖形為D2．(1)求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小，并求最小值；(2)求此時(shí)的D1＋D2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由方程組得直線與曲線交點(diǎn)為k≥1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、(1)設(shè)y＝f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)＝0確定的x，y的函數(shù)，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．(2)設(shè)z＝z(x，y)由方程z＋lnz－∫yxe－t2dt＝1確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將y＝f(x，t)與G(x，y，t)＝0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得(2)當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，z＝1．z＋lnz－∫xye－t2dt＝1兩邊分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算(x＋y)2dxdy，其中D：ay≤x2＋y2≤2ay(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x＋y)2dxdy＝x2＋2xy＋y2)dxdy＝(x2＋y2)dxdy．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂，證明收斂，并說(shuō)明反之不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤(un＋un＋1)而(un＋un＋1)收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂，反之不一定成立，如級(jí)數(shù)1＋0＋1＋0＋…發(fā)散，因?yàn)閡nun＋1＝0(n＝1，2，…)，所以收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、將f(x)＝arctanx－x展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝0，f(x)＝f(x)－f(0)＝∫0xf’(dx)＝∫0x(｜x｜＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求y’’－2y’－e2x＝0滿足初始條件y(0)＝1，y’(0)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為y’’－2y’＝e2x，特征方程為λ2－2λ＝0，特征值為λ1＝0，λ2＝2，y’’－2y’＝0的通解為y＝C1＋C2e2x．設(shè)y’’－2y’＝e2x的特解為y*＝Axe2x，代入原方程得A＝，從而原方程的通解為y＝C1＋(C2＋)e2x．由y(0)＝1，y’(0)＝1得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、下列各式中正確的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由重要極限結(jié)論=e，可立即排除B、D。對(duì)于A、C選項(xiàng)，只要驗(yàn)算其中之一即可。對(duì)于C選項(xiàng)，因=e—1，故C不正確，選A。2、設(shè)對(duì)任意的x，總有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，則A、存在且等于零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，顯然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但不存在，故A、B排除。再取φ（x）=f（x）=g（x）=1，同樣有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但=1，可見(jiàn)C也不正確，故選D。3、設(shè)，則（）A、f（x）在x=x0處必可導(dǎo)且f’（x0）=aB、f（x）在x=x0處連續(xù)，但未必可導(dǎo)C、f（x）在x=x0處有極限但未必連續(xù)D、以上結(jié)論都不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題需將f（x）在x=x0處的左、右導(dǎo)數(shù)f—’（x0），f+’（x0）與f’（x）在x=x0處的左、右極限區(qū)分開(kāi)。但不能保證f（x）在x0處可導(dǎo)，以及在x=x0處連續(xù)和極限存在。例如顯然，x≠0時(shí)，f’（x）=1，因此但是不存在，因此f（x）在x=0處不連續(xù)，不可導(dǎo)。故選D。4、設(shè)[0，4]區(qū)間上y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1—2—1所示，則f（x）（）A、在[0，2]單調(diào)上升且為凸的，在[2，4]單調(diào)下降且為凹的B、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的C、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的D、在[0，2]單調(diào)上升且為凹的，在[2，4]單調(diào)下降且為凸的標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x∈（0，1）或（3，4）時(shí)，f’（x）＜0，那么f（x）在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降。當(dāng)x∈（1，3）時(shí)f’（x）＞0，那么f（x）在[1，3]單調(diào)上升。又f’（x）在[0，2]單調(diào)上升，那么f（x）在[0，2]是凹的。f’（x）在[2，4]單調(diào)下降，那么f（x）在[2，4]是凸的。故選B。5、設(shè)f（x）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’（0）=0，則（）A、f（0）是f（x）的極大值B、f（0）是f（x）的極小值C、（0，f（0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)D、f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0））也不是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)極限的保號(hào)性，由=1可知，存在x=0的某鄰域使對(duì)任意x∈即f"（x）＞0。從而函數(shù)f’（x）在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加。于是當(dāng)x＜0時(shí)，有f’（x）＜f’（0）=0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’（x）＞f’（0）=0，由極值的第一判定定理可知f（x）在x=0處取得極小值。故選B。6、設(shè)I1=，則（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有tanx＞x，于是有＜1。從而，可見(jiàn)有I1＞I2，可排除C、D，又由I2＜，可排除A，故應(yīng)選B。7、已知f（x，y）=，則（）A、fx’（0，0），fy’（0，0）都存在B、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）存在C、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）不存在D、fx’（0，0），fy’（0，0）都不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以fy’（0，0）存在。故選B。8、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合二重積分的定義可得9、dθ∫0acosθf(wàn)（rcosθ，rsinθ）rdr（a＞0），則積分域?yàn)椋ǎ〢、x2+y2≤a2B、x2+y2≤a2（x≥0）C、x2+y2≤axD、x2+y2≤ax（y≥0）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax（a＞0），故選C。10、設(shè)pn=，n=1，2，…，則下列命題正確的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若an絕對(duì)收斂，即|an|收斂，由級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的性質(zhì)知an收斂。而pn=，再由收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，qn都收斂，故選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、數(shù)列xn==________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無(wú)窮小因子代換，12、設(shè)函數(shù)f（x）==________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?f’[f（x）]f’（x），則|x=0=f’（一1）f’（0），而當(dāng)x＜1時(shí)，f’（x）=2，因此f’（—1）=f’（0）=2，代入可得|x=0=4。13、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x—1知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，所求切線的斜率為1。由y’=（lnx）’==1，得x=1，則切點(diǎn)為（1，0），故所求的切線方程為y—0=1．（x—1），即y=x—1。14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=tant，則dx=sec2tdt，故15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)函數(shù)z=z（x，y）由方程z=e2x—3z+2y確定，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：全微分法。利用全微分公式，得dz=e2x—3z（2dx—3dz）+2dy=2e2x—3zdx+2dy一3e2x—3zdz，即（1+3e2x—3z）dz=2e2x—3zdx+2dy。17、設(shè)f（x，y）連續(xù)，且f（x，y）=x+f（u，υ）dudυ，其中D是由y=，x=1，y=2所圍成的區(qū)域，則f（x，y）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：首先令A(yù)=f（u，υ）dudυ，則A為常數(shù)，此時(shí)f（x，y）=x+Ay。18、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：[4，6）知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為an=，則有因此，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，其收斂區(qū)間為（4，6）。當(dāng)x=4時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)x=6時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂域是[4，6）。19、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=tan[（1+x）2+C]，C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：將已知微分方程變形整理得，=（1+x）（1+y2），則=（1+x）dx，兩邊積分可得arctany=（1+x）2+C，因此y=tan[（1+x）2+C]，C為任意常數(shù)。20、微分方程y"+2y’+5y=0的通解為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e—x（C1cos2x+C2sin2x），C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，方程y"+2y’+5y=0的特征方程為r2+2r+5=0。解得則原方程的通解為y=e—x（C1cos2x+C2sin2x），C1，C2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、求函數(shù)f（x）=sinx的間斷點(diǎn)，并指出類(lèi)型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f（x）的可疑間斷點(diǎn)只有x=0和x=1。所以x=0為可去間斷點(diǎn)，x=1為跳躍間斷點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f（x）在（一∞，+∞）內(nèi)有定義，且對(duì)于任意x與y均有f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，又設(shè)f’（0）存在且等于a（a≠0），試證明對(duì)任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。標(biāo)準(zhǔn)答案：將x=y=0代入f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，得f（0）=0，為證明f’（x）存在，則由導(dǎo)數(shù)的定義=f（x）+f’（0）ex=f（x）+aex。所以對(duì)任意x，f’（x）都存在，且f’（x）=f（x）+aex。解此一階線性微分方程，得f（x）=e∫dx[∫aexe—∫dxdx+C]=ex（ax+C），又因f（0）=0，得C=0，所以f（x）=axex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)e＜a＜b＜e2，證明ln2b一ln2a＞（b—a）。標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)函數(shù)y=ln2x在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得ln2b一ln2a=（b—a），a＜ξ＜b。當(dāng)t＞e時(shí)，φ’（t）＜0，所以φ（t）單調(diào)減少，從而有φ（ξ）＞φ（e2），即故ln2b—ln2a＞（b—a）。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f（x）=（Ⅰ）證明f（x）是以π為周期的周期函數(shù)；（Ⅱ）求f（x）的值域。標(biāo)準(zhǔn)答案：故f（x）是以π為周期的周期函數(shù)。（Ⅱ）因?yàn)閨sinx|的周期為π，故只需在[0，π]上討論值域。因?yàn)樗詅（x）的最小值是2—，最大值是，故f（x）的值域是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)z=f（z2一y2，exy），其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛梢阎獥l件可得=2xf1’+yexyf2’，=—2yf1’+xexyf2’，=2x[f11"．（—2y）+f12"．xexy]+exyf2"+xyexyf2"+yexy[f21"．（—2y）+f22"?xexy]=—4xyf11"+2（x2一y2）exyf12"+xye2xyf22"+exy（1+xy）f2"。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求二重積分max（xy，1）dxdy，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2+D3（如圖1—4—15）知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求，其中D是由圓x2+y2=4和（x+1）2+y2=1所圍成的平面區(qū)域（如圖1—4—2）。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={（x，y）|x2+y2≤4}，D2={（x，y）|（x+1）2+y2≤1}，（如圖1—4—21所示）知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)是它的部分和。（Ⅰ）證明收斂；（Ⅱ）判斷級(jí)數(shù)是條件收斂還是絕對(duì)收斂，并給予證明。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）設(shè)Tn為的部分和，則Tn=若正項(xiàng)級(jí)數(shù)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)（Ⅱ）級(jí)數(shù)可整理為因正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn單調(diào)上升，將上式放縮由（Ⅰ）可知收斂，再由比較原理知，收斂，因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、將函數(shù)f（x）=展開(kāi)成x一1的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。標(biāo)準(zhǔn)答案：先進(jìn)行變形知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)＝∫0sinxsint2dt，g(x)＝x3＋x4，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無(wú)窮小B、同階但非等價(jià)無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以正確答案為(B)．2、f(x)在x0處可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)在x0處可導(dǎo)得｜f(x)｜在x0處連續(xù)，但｜f(x)｜在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)＝x在x＝0處可導(dǎo)，但｜f(x)｜＝｜x｜在x＝0處不可導(dǎo)，選(C)．3、設(shè)f(x)在[a，＋∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)＝0，且f’’(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，＋∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(a)＝0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)＝f(a)＋f’(a)(x－a)＋(x－a)2≥f(a)＋(x－a)2，其中ξ介于a與x之間．而(x－a)2＝＋∞，故f(x)＝＋∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，＋∞)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)閒’(a)＝0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，＋∞)單調(diào)增加，所以零點(diǎn)是唯一的，選(B)．4、設(shè)D＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，則sinxsiny．max{x，y}dσ等于().A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，令D1＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x)，sinxsiny．max{x,y}dσ＝2xsinxsinydσ＝2∫0πxsinxdx∫0xsinydy＝20πxsinx(1－cosx)dx＝2∫0πxsinxdx－2∫0πxsinxcosxdx＝π∫0πsinxdx－∫0πxd(sin2x)＝．選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、若f(x)＝2nx(1－x)n，記Mn＝＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(x)＝2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1＝0得x＝，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f’(x)＜0，則x＝為最大點(diǎn)，8、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)，則a＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2＋y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)一4，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識(shí)點(diǎn)解析：由t－ln(1＋t)＝t－[t－＋ο(t2)]～t2(t→0)，由積分中值定理得f(x，y)dxdy＝f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，于是f(ξ，η)＝2πf(0，0)＝8π．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、f(x)＝求f(x)的間斷點(diǎn)并分類(lèi)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x＝k(k＝0，－1，－2，…)及x＝1為f(x)的間斷點(diǎn)．f(0－0)＝＝0，因?yàn)閒(0－0)≠f(0＋0)，所以x＝0為跳躍間斷點(diǎn)；由得x＝－2為可去間斷點(diǎn)；當(dāng)x＝k(k＝－1，－3，－4，…)時(shí)，由f(x)＝∞得x＝k(k＝－1，－3，－4，…)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)；由f(x)＝∞得x＝1為第二類(lèi)間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)在(－1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f’’(x)≠0．證明：(1)對(duì)(－1，1)內(nèi)任一點(diǎn)x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；(2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對(duì)任意x∈(－1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因?yàn)閒’’(x)∈C(－1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(－1，1)內(nèi)保號(hào)，不妨設(shè)f’’(x)＞0，則f’(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．(2)由泰勒公式．得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2，其中ξ介于0與x之間，而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、當(dāng)x＞0時(shí)，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝arctanx，F(xiàn)(x)＝ln(1＋x)，f’(x)＝，顯然f(0)＝0，F(xiàn)(0)＝0．由柯西中值定理，存在ξ∈(0,x)使得當(dāng)x∈(0，－1)時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f’(x)＜0，則x＝－1為φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)的最大值點(diǎn)，最大值為M＝φ，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)＝a＜b－f(b)．證明：存在ξ1∈(a，b)(i＝1，2，…，n)，使得＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令h＝，因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，且f(a)＝a＜b＝f(b)，所以f(a)＝a＜a＋h＜…＜a＋(n－1)h＜b＝f(b)，由端點(diǎn)介值定理和函數(shù)單調(diào)性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得f(c1)＝a＋h，f(c2)＝a＋2h，…，f(cn－1)＝a＋(n－1)h，再由微分中值定理，得f(c1)－f(a)＝f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)－f(c1)＝f’(ξ)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c1)，…f(b)－f(cn－1)＝f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊積分得F2(x)＝dx，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(xiàn)(x)＞0，得F(x)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且｜f’(x)｜≤M．證明：∫01f(x)dx－．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對(duì)任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：f[tx1＋(1－t)x2]≤tf(x1)＋(1－t)f(x2)．證明．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤襛bf(x)dx(b－a)∫01f[at＋(1－t)b]dt≤(b－a)[f(a)tdt＋f(b)∫01(1－t)dt]＝(b－a)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求z＝x2＋12xy＋2y2在區(qū)域4x2＋y2≤25上的最值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)4x2＋y2＜25時(shí)，由得駐點(diǎn)為(x，y)＝(0，0)．當(dāng)4x2＋y2＝25時(shí)，令F＝x2＋12xy＋2y2＋λ(4x2＋y2－25)，因?yàn)閦(0，0)＝0，所以目標(biāo)函數(shù)的最大和最小值分別為和－50．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、計(jì)算dxdy，其中D為單位圓x2＋y2＝1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)an＝∫01(1－x)ndx，討論級(jí)數(shù)an的斂散性，若收斂求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：an＝∫01x2(1－x)ndx∫01(1－t)2tn(－dt)＝∫01(tn＋2－2tn＋1＋tn)dt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝0，得收斂半徑R＝＋∞，該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y’’＋ay’＋by＝cex有特解y＝e2x＋(1＋x)ex，確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y＝e2x＋(1＋x)ex代入原方程得(4＋2a＋b)e2x＋(3＋2a＋b)ex＋(1＋a＋b)xex＝cex，則有解得a＝－3，b＝2，c＝－1，原方程為y’’－3y’＋2y＝－ex．原方程的特征方程為λ2－3λ＋2＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝2，則y’’－3y’＋2y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e2x，于是原方程的通解為y＝C1ex＋C2e2x＋e2x＋(1＋x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、某湖泊水量為V，每年排入湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出湖的水量為．設(shè)1999年底湖中A的含量為5m0，超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo)．為了治理污染，從2000年初開(kāi)始，限定排入湖中含A污水的濃度不超過(guò)．問(wèn)至多經(jīng)過(guò)多少年，湖中污染物A的含量降到m0以?xún)?nèi)(設(shè)湖中A的濃度是均勻的)?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)從2000年初開(kāi)始，第t年湖中污染物A的總量為m，則濃度為，任取時(shí)間元素[t，t＋dt]，排入湖中污染物A的含量為，流出湖的污染物A的含量為，則在此時(shí)間元素內(nèi)污染物A的改變量為，于是，令m＝m0，得t＝6ln3，即至多經(jīng)過(guò)7年，湖中污染物A的含量不超過(guò)m0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、下列命題正確的是()．A、若｜f(x)｜在x＝a處連續(xù)，則f(x)在x＝a處連續(xù)B、若f(x)在x＝a處連續(xù)，則｜f(x)｜在x＝a處連續(xù)C、若f(x)在x＝a處連續(xù)，則f(x)在x＝a的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)D、若[f(a+h)－f(a－h(huán))]＝0，則f(x)在x＝a處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)＝顯然｜f(x)｜≡1處處連續(xù)，然而f(x)處處間斷，(A)不對(duì)；令f(x)＝顯然f(x)在x＝0處連續(xù)，但在任意x＝a≠0處函數(shù)f(x)都是間斷的，故(C)不對(duì)；令f(x)＝顯然[f(0＋h)－f(0－h(huán))]＝0，但f(x)在x＝0處不連續(xù)，(D)不對(duì)；若f(x)在x＝a處連續(xù)，則f(x)＝f(a)，又0≤｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜，根據(jù)夾逼定理，｜f(x)｜＝｜f(a)｜，選(B)．2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)＝x，顯然f(x)＝＋∞，但f’(x)＝1，(A)不對(duì)，同理f(x)＝－∞，但f’(x)＝1，(B)也