課時作業(yè)8 二項式系數的性質 高三數學一輪復習

課時作業(yè)8二項式系數的性質【原卷版】時間：45分鐘一、選擇題1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋\f(1,x)))n的展開式中，二項式系數之和等于64，則展開式中常數項等于()A．240 B．120C．48 D．362．楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家．在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三角形數陣(如圖所示)，稱為“開方作法本源圖”，現在簡稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要研究成果．若用ai－j表示三角形數陣的第i行第j個數，則a100－3＝()11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691A．5050 B．4851C．4950 D．50003．已知(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．－32 B．－33C．32 D．334.eq\f(C\o\al(0,n)＋C\o\al(1,n)＋C\o\al(2,n)＋…＋C\o\al(n,n),C\o\al(0,n＋1)＋C\o\al(1,n＋1)＋C\o\al(2,n＋1)＋…＋C\o\al(n＋1,n＋1))＝()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2n)5．(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝()A．512 B．1024C．－1024 D．－5126．在(1－2x)n的展開式中，所有項的二項式系數之和為256，則展開式的中間項的系數為()A．－960 B．960C．1120 D．16807．(多選題)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))n的展開式中第6項的二項式系數最大，則n的可能值為()A．9 B．10C．11 D．128．(多選題)已知(x－2)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則下列結論正確的有()A．a0＝1B．a6＝－210C.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a10,210)＝－eq\f(1023,1024)D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝512二、填空題9．如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x2)))(1＋x)n的展開式中各項系數之和為32，則n的值為.10．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展開式中第3項和第5項的二項式系數相等，則展開式中的常數項為.11．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a7的值為.三、解答題12．已知(2x－1)n的展開式中各項的二項式系數之和為64.(1)求該展開式的各項的系數之和；(2)求該展開式的所有偶數項的系數之和．13．設(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.14．(多選題)已知(xeq\s\up15(eq\f(2,3))＋3x2)n展開式中，各項系數的和比它的二項式系數的和大992，則下列結論正確的為()A．展開式中偶數項的二項式系數之和為25B．展開式中二項式系數最大的項只有第3項C．展開式中系數最大的項只有第5項D．展開式中有理項為第3項、第6項15．若(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8，則a3＝－448，a2＋a4＋a6＋a8＝.(用數字作答)16．從下面兩個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并作答．①第3項的二項式系數比第2項的二項式系數大9；②二項式的常數項為－20.問題：在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n(n∈N*，n≤8)展開式中，________.(1)求奇數項的二項式系數的和；(2)求該二項展開式中x4的系數．課時作業(yè)8二項式系數的性質【解析版】時間：45分鐘一、選擇題1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋\f(1,x)))n的展開式中，二項式系數之和等于64，則展開式中常數項等于(A)A．240 B．120C．48 D．36解析：由題意得2n＝64，解得n＝6，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋\f(1,x)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋\f(1,x)))6，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋\f(1,x)))6的展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(2xeq\s\up15(eq\f(1,2)))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝26－k·Ceq\o\al(k,6)·xeq\s\up15(3－eq\f(3,2)k)，令3－eq\f(3,2)k＝0，即k＝2，則26－k·Ceq\o\al(k,6)＝24·Ceq\o\al(2,6)＝240.故選A.2．楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家．在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三角形數陣(如圖所示)，稱為“開方作法本源圖”，現在簡稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要研究成果．若用ai－j表示三角形數陣的第i行第j個數，則a100－3＝(B)11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691A．5050 B．4851C．4950 D．5000解析：依據二項展開式系數可知，第i行第j個數應為Ceq\o\al(j－1,i－1)，故第100行第3個數為Ceq\o\al(2,99)＝eq\f(99×98,2)＝4851.故選B.3．已知(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(B)A．－32 B．－33C．32 D．33解析：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－3)5＝－32，令x＝0，則a0＝(1－0)5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－a0＝－32－1＝－33.故選B.4.eq\f(C\o\al(0,n)＋C\o\al(1,n)＋C\o\al(2,n)＋…＋C\o\al(n,n),C\o\al(0,n＋1)＋C\o\al(1,n＋1)＋C\o\al(2,n＋1)＋…＋C\o\al(n＋1,n＋1))＝(A)A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2n)解析：eq\f(C\o\al(0,n)＋C\o\al(1,n)＋C\o\al(2,n)＋…＋C\o\al(n,n),C\o\al(0,n＋1)＋C\o\al(1,n＋1)＋C\o\al(2,n＋1)＋…＋C\o\al(n＋1,n＋1))＝eq\f(2n,2n＋1)＝eq\f(1,2).故選A.5．(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(D)A．512 B．1024C．－1024 D．－512解析：令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10；令x＝－1，得210＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10；兩式相減得，－210＝2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝eq\f(－210,2)＝－29＝－512.故選D.6．在(1－2x)n的展開式中，所有項的二項式系數之和為256，則展開式的中間項的系數為(C)A．－960 B．960C．1120 D．1680解析：由已知可得：2n＝256，所以n＝8，則展開式的中間項為T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2x)4＝1120x4，即展開式的中間項的系數為1120.故選C.7．(多選題)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))n的展開式中第6項的二項式系數最大，則n的可能值為(ABC)A．9 B．10C．11 D．12解析：分以下三種情況討論：①展開式中第5項和第6項的二項式系數最大，則展開式共10項，可得n＋1＝10，得n＝9；②展開式中只有第6項的二項式系數最大，則展開式共11項，可得n＋1＝11，得n＝10；③展開式中第6項和第7項的二項式系數最大，則展開式共12項，可得n＋1＝12，得n＝11.因此，n的可能值為9、10、11.故選ABC.8．(多選題)已知(x－2)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則下列結論正確的有(ACD)A．a0＝1B．a6＝－210C.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a10,210)＝－eq\f(1023,1024)D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝512解析：取x＝1得a0＝1，A正確；由(x－2)10＝[1－(x－1)]10展開式中第7項為Ceq\o\al(6,10)[－(x－1)]6，所以a6＝Ceq\o\al(6,10)＝210，B錯誤；由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))))10＝eq\f(a0,20)＋eq\f(a1,2)(x－1)＋eq\f(a2,22)(x－1)2＋…＋eq\f(a10,210)(x－1)10，取x＝2得，eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a10,210)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10－a0＝－eq\f(1023,1024)，C正確；由(x－2)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，取x＝0得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝210，取x＝2得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＋(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝0，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝29＝512，D正確．故選ACD.二、填空題9．如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x2)))(1＋x)n的展開式中各項系數之和為32，則n的值為5.解析：因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x2)))(1＋x)n的展開式中各項系數之和為32，所以令x＝1，得2n＝32＝25，解得n＝5.10．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展開式中第3項和第5項的二項式系數相等，則展開式中的常數項為－20.解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n展開式中第3項和第5項的二項式系數相等，即Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(4,n)，解得n＝6，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6展開式的通項為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,6)x6－2k，令6－2k＝0，解得k＝3，即展開式中的常數項為(－1)3Ceq\o\al(3,6)＝－20.11．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a7的值為125.解析：在(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8中，令x＝0，可得a0＝1；令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2；又a8＝(－2)7＝－128，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2＋128－1＝125.三、解答題12．已知(2x－1)n的展開式中各項的二項式系數之和為64.(1)求該展開式的各項的系數之和；(2)求該展開式的所有偶數項的系數之和．解：(1)由題可知，2n＝64，解得n＝6，令x＝1，得該展開式的各項的系數之和為(2－1)6＝1.(2)記(2x－1)6＝a0x6＋a1x5＋…＋a5x＋a6.由(1)知a0＋a1＋…＋a5＋a6＝1，令x＝－1，可得a0－a1＋…－a5＋a6＝(－3)6＝729，所以該展開式的所有偶數項的系數之和為eq\f(1－729,2)＝－364.13．設(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，可得a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100(*)，所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100，與(*)式聯立相減得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(2－\r(3)100－2＋\r(3)100,2).(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))]100＝1100＝1.(5)∵Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,100)2100－k(eq\r(3))kxk，∴a2m－1<0(m∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.14．(多選題)已知(xeq\s\up15(eq\f(2,3))＋3x2)n展開式中，各項系數的和比它的二項式系數的和大992，則下列結論正確的為(CD)A．展開式中偶數項的二項式系數之和為25B．展開式中二項式系數最大的項只有第3項C．展開式中系數最大的項只有第5項D．展開式中有理項為第3項、第6項解析：令x＝1，可得展開式中各項系數的和為4n，又二項式系數的和為2n，因為各項系數的和比它的二項式系數的和大992，所以4n－2n＝992，解得n＝5，對A：因為二項式展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，所以展開式中，偶數項的二項式系數的和為eq\f(25,2)＝24，錯誤；對B：因為n＝5，所以第3項、第4項的二項式系數最大，錯誤；對C：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(xeq\s\up15(eq\f(2,3)))5－k·(3x2)k＝Ceq\o\al(k,5)·3k·xeq\s\up15(eq\f(10＋4k,3))，設展開式中系數最大的項是第k＋1項，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,5)·3k≥C\o\al(k－1,5)·3k－1，,C\o\al(k,5)·3k≥C\o\al(k＋1,5)·3k＋1，))解得eq\f(7,2)≤k≤eq\f(9,2)，又k∈N，所以k＝4，所以展開式中系數最大的項只有第5項，正確；對D：若Tk＋1是有理項，則eq\f(10＋4k,3)為整數，又0≤k≤5，k∈N，所以k＝2,5，所以展開式中有理項為第3項、第6項，正確．故選CD.15．若(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8，則a3＝－448，a2＋a4＋a6＋a8＝3280.(用數字作答)解析：由于(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8，則a3＝－Ceq\o\al(5,8)×23＝－448.令x＝0，則a0＝1，令x＝1，則a0＋a1