新高考數(shù)學一輪復習講義第2章　§2.2　函數(shù)的單調性與最值（原卷版）

§2.2函數(shù)的單調性與最值考試要求1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學符號語言表達函數(shù)的單調性、最值，理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調性的簡單應用．知識梳理1．函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞增當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M結論M為f(x)的最大值M為f(x)的最小值常用結論1．?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調遞增(減)．2．在公共定義域內，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調性相反．4．復合函數(shù)的單調性：同增異減．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)因為f(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上是增函數(shù)．()(2)函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調遞增，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(－2,3)．()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()教材改編題1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減的是()A．y＝x2－1 B．y＝x3C．y＝2x D．y＝－x＋22．y＝eq\f(x－1,x－2)在[3,4]上的最大值為()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,2)D．43．函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則滿足f(2x－1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．題型一確定函數(shù)的單調性命題點1函數(shù)單調性的判斷例1(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調遞增的是()A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝eq\r(x2＋x－2)命題點2利用定義證明函數(shù)的單調性例2試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調性．思維升華確定函數(shù)單調性的四種方法(1)定義法；(2)導數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質法．跟蹤訓練1(1)函數(shù)g(x)＝x·|x－1|＋1的單調遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)題型二函數(shù)單調性的應用命題點1比較函數(shù)值的大小例3已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln

eq\r(2))，b＝SKIPIF1<0，c＝SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關系是()A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b命題點2求函數(shù)的最值例4函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－2,x)－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值為________．命題點3解函數(shù)不等式例5已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．命題點4求參數(shù)的取值范圍例6已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax，x≥1，,ax－1，x<1))是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))C．(0,1)D．(0,1]思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時，先轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決．(2)求解函數(shù)不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調性直接構建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值．跟蹤訓練2(1)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x－3，x≤2，,log2x，x>2，))則滿足不等式f(2x－1)<2的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．課時精練1．下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是()A．y＝x2 B．y＝xC．y＝－eq\r(x) D．y＝eq\f(1,x)2．函數(shù)f(x)＝－|x－2|的單調遞減區(qū)間為()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[0,2] D．[0，＋∞)3．若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)，則f(x)的值域為()A．(－∞，3] B．(2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))則下列結論正確的是()A．f(x)在R上為增函數(shù)B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，則a≤－1或a≥0D．當x∈[－1,1]時，f(x)的值域為[1,2]6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(a,x)(a≠0)，下列說法正確的是()A．當a>0時，f(x)在定義域上單調遞增B．當a＝－4時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)C．當a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．當a>0時，f(x)的值域為R7．函數(shù)f(x)＝x2－6|x|＋8的單調遞減區(qū)間是________．8．已知命題p：“若f(x)<f(4)對任意的x∈(0,4)都成立，則f(x)在(0,4)上單調遞增”．能說明命題p為假命題的一個函數(shù)是________．9．已知函數(shù)f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)寫成分段函數(shù)，并在直角坐標系內畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(2)寫出函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間．10．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)的值；(2)探究f(x)的單調性，并證明你的結論．11．若函數(shù)f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)12．設函數(shù)f(x)＝x2022－eq\f(1,|x|)＋5，則f(x)的單調遞增區(qū)間為________，不等式f(x－1)<5的解集為________．13．已知