新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié) 立體幾何初步（含解析）

第八章立體幾何初步要點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)與特征1．棱柱的有關(guān)概念、性質(zhì)和分類（1）概念：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫做棱柱．（2）準(zhǔn)確理解棱柱的概念要注意它的兩大特征：①有兩個(gè)面互相平行（底面）；②其余各面每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行．（3）棱柱的性質(zhì)：①側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形；②兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形，（4）棱柱的分類：①按底面多邊形的邊數(shù)分為：三棱柱、四棱柱……②按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系分：（5）特殊的四棱柱：①SKIPIF1<0；②長(zhǎng)方體對(duì)角線定理：長(zhǎng)方體一條體對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．熟練掌握棱柱的概念，才能準(zhǔn)確地應(yīng)對(duì)概念題，也能準(zhǔn)確地判斷棱柱中的線面關(guān)系．2．棱錐的概念和性質(zhì)（1）概念：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐．（2）正確理解棱錐的概念要注意它的兩大特征：①有一個(gè)面是多邊形；②其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．（3）一般棱錐的截面性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的高的平方比．（4）正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐．（5）正棱錐的性質(zhì)：①各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是個(gè)等的等腰三角形；②棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形；③棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形．掌握正棱錐的概念和性質(zhì)，特別是其中的幾個(gè)直角三角形，可求高、斜高、側(cè)棱長(zhǎng)等．另外，還要熟悉一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐，高考中棱錐多半是這兩種．3．棱臺(tái)的概念及性質(zhì)（1）概念：底面水平放置的棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．（2）棱臺(tái)的有關(guān)概念：①原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；②相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；③當(dāng)棱臺(tái)的底面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)或距離叫做棱臺(tái)的高；④正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高．（3）正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．（4）正棱臺(tái)的性質(zhì)：①各側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形；②兩底面以及平行于底面的截面是相似多邊形；③兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；④兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)外接圓的半徑也組成一個(gè)直角梯形；⑤正棱臺(tái)的上下底面中心的連線是棱臺(tái)的一條高；⑥正四棱臺(tái)的對(duì)角面是等腰梯形．4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念與性質(zhì)（1）概念：分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)．（2）性質(zhì)：①平行于底面的截面都是圓；②它們的軸截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．（3）圓臺(tái)的中截面而積：SKIPIF1<0．（4）圓心角：①圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角：SKIPIF1<0（其中l(wèi)、r分別為圓錐的母線長(zhǎng)、底面半徑）；②圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)圓心角：SKIPIF1<0（其中l(wèi)為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，SKIPIF1<0分別為圓臺(tái)上、下底面半徑）．（5）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積，因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及側(cè)面展開(kāi)圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．（6）計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．5．球的概念與性質(zhì)（1）概念：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓面旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體叫球（2）球的性質(zhì)：①同一個(gè)球的半徑都相等，直徑也相等；②用任意平面截球的截面都是一個(gè)圓，過(guò)球心的截面所得到的圓的直徑最大．（3）與球有關(guān)的組合體問(wèn)題：一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題；球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖．6．三視圖和直觀圖三視圖和直觀圖是空間幾何體的不同表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)，由空間幾何體可以畫(huà)出它的節(jié)視圖，同樣，由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化．（1）畫(huà)三視圖時(shí)，可以把垂直投影面的視像想象成平行光線從不同方向射向幾何體所成的像，可見(jiàn)的輪廓線（包括被遮擋但是可以經(jīng)過(guò)想象透視的輪廓線）的投影就是所要畫(huà)出的視圖．（2）檢驗(yàn)所畫(huà)視圖是否符合“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”的基本特征．（3）旋轉(zhuǎn)體的三視圖中，一般有兩個(gè)視圖是相同的，并且這兩個(gè)相同的視圖中包含有這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的軸截面．（4）斜二測(cè)畫(huà)法的畫(huà)圖規(guī)則可以簡(jiǎn)要說(shuō)成：“豎直或水平放置的線段畫(huà)出時(shí)，長(zhǎng)度、方向都不變；前后方向放置的線段畫(huà)出時(shí)，與水平方向成SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）角，長(zhǎng)度畫(huà)成原長(zhǎng)度的一半（仍表示原長(zhǎng)度）．”在畫(huà)出直觀圖時(shí)，首先應(yīng)該畫(huà)出圖形中決定其形狀、位置和大小的一些關(guān)鍵點(diǎn)．7．柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積（1）直棱柱的側(cè)面積計(jì)算公式：SKIPIF1<0．（其中h、c分別為直棱柱的高與底面多邊形的周長(zhǎng)）即直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)與高的乘積．（2）正棱錐的側(cè)面積計(jì)算公式：SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0分別為正棱錐的斜高與底面正多邊形的周長(zhǎng)）即正棱錐的側(cè)面積等于它的底面的周長(zhǎng)和斜高乘積的一半．（3）正棱臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算公式：SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0分別為正棱臺(tái)的斜高及上、下底面正多邊形的周長(zhǎng)）即正棱臺(tái)的側(cè)面積等于它的上、下底邊的周長(zhǎng)之和與斜高積的一半．（4）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積或全面積等于側(cè)面積與底面積的和．（5）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積：①由圓柱側(cè)面展開(kāi)圖為一矩形，設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．②由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則SKIPIF1<0．（6）柱體、錐體、臺(tái)體的體積：①設(shè)柱體的底面積為S，高為h，則SKIPIF1<0．②設(shè)錐體的底面積為S，高為h，則SKIPIF1<0．③設(shè)臺(tái)體的上、下底面積分別為S、SKIPIF1<0，高為h，則SKIPIF1<0．（7）球的表面積和體積計(jì)算公式：①球的表面積計(jì)算公式：SKIPIF1<0（其中R為球的半徑）即球面面積等于它的大圓面積的四倍．②球的體積公式：SKIPIF1<0．③球的表面積、體積及基本性質(zhì)是解決有關(guān)問(wèn)題的重要依據(jù)，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的關(guān)鍵．（8）球與其他幾何體形成的組合體問(wèn)題：①球與其他幾何體組成的幾何體通常在試題中以相切或相接的形式出現(xiàn)，解決此問(wèn)題常常利用截面來(lái)表現(xiàn)這兩個(gè)幾何體之間的關(guān)系，從而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題．②作適當(dāng)?shù)慕孛妫ㄈ巛S截面等）．對(duì)于球內(nèi)接長(zhǎng)方體、正方體，則截面一要過(guò)球心，二要過(guò)長(zhǎng)方體或正方體的兩條對(duì)角線，才有利于解題．要點(diǎn)二：平面基本性質(zhì)1.平面(1)平面的概念①平面和點(diǎn)、直線一樣是構(gòu)成空間圖形的基本要素之一，是一個(gè)只描述而不定義的原始概念.②平面具有無(wú)限延展性.數(shù)學(xué)里所說(shuō)的“平面”將空間分成了兩部分，如果想從平面的一側(cè)到另一側(cè)，必須穿過(guò)這個(gè)平面.平面無(wú)邊沿.③數(shù)學(xué)中的平面是點(diǎn)的集合，因此，在空間中，平面無(wú)大小，無(wú)厚薄，無(wú)所謂面積.(2)平面的畫(huà)法:平面是無(wú)限延展的，只能用一個(gè)有限圖形表示平面（類似于畫(huà)線段表示直線）.可用平行四邊形、三角形、圓或梯形等平面圖形來(lái)表示某個(gè)平面，而表示平面的這些平面圖形可根據(jù)需要擴(kuò)展或縮小，因此，只要看到表示平面的圖形、符號(hào)或文字，應(yīng)當(dāng)立即聯(lián)想到平面是無(wú)限延展的.（3）平面的表示方法平面通常用一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母表示，如平面、平面、平面等，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際需要有時(shí)也用表示平行四邊形的相對(duì)頂點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面，平面；或者用表示多邊形頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面.2.平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用(1)平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).（即，，，，如圖2-1所示.）公理2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.（即、、三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，，，，如圖2-2所示.)公理3如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.(即且，如圖2-3所示.)推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.(2)平面基本性質(zhì)的應(yīng)用.①公理1反映了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別，通過(guò)直線的“直”和“無(wú)限延伸”的特性，揭示了平面的“平”和“無(wú)限延展”的特性.它是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).②以“直線在平面內(nèi)”的意義為依據(jù)，可如下判定“點(diǎn)在平面內(nèi)”：，.③公理3說(shuō)明了若兩平面相交，必交于一條直線，這是由平面的無(wú)限延展性決定的.它是確定兩平面交線的依據(jù)，即先找兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，再作連線.公理3也是判定兩平面相交的依據(jù).即若兩平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則必相交于這兩點(diǎn)確定的直線.以“兩平面相交”定義為依據(jù)，可判定“點(diǎn)在線上”：.(從而可證“點(diǎn)共線”“線共點(diǎn)”）④“確定一個(gè)平面”即“有且只有一個(gè)平面“有且只有一個(gè)”包含兩層意思：“有”說(shuō)明圖形是存在的；“只有一個(gè)”說(shuō)明圖形是唯一的.⑤公理2及3推論，是確定平面及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù).3.異面直線和共面直線（1）把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的兩條直線叫相交直線.在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線叫平行直線.相交直線和平行直線都為共面直線.（2）兩條異面直線垂直的定義.如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直.（3）對(duì)異面直線概念理解須注意的問(wèn)題.①異面直線所成的角的范圍是.②為了求異面直線、所成的角，可以在空間中任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線，再通過(guò)解三角形，求出、所成的角.但是，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)常常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線的某些特殊點(diǎn)，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處.③將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面上的相交直線的夾角，實(shí)現(xiàn)了空間問(wèn)題向平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使平面幾何與立體幾何建立了聯(lián)系，促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的知識(shí)滲透.（4）異面直線的判定方法.①依定義用反證法.②異面直線的判定定理.應(yīng)用異面直線的判定定理時(shí)要注意定理中的四要素.要點(diǎn)三：空間的平行與垂直關(guān)系1.平行線的傳遞性公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).如果兩條異面直線所成的角為直角，那么我們就說(shuō)這兩條直線垂直.2.直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理（1）判定定理：.（2）性質(zhì)定理：.3.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理：①，②.(2)性質(zhì)定理：①，②.4.關(guān)于“線線平行”“線面平行”和“面面平行”相互轉(zhuǎn)化的題型5.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)定理(1)判定定理：①， ②，③， ④.（2）性質(zhì)定理：.(3)掌握線面垂直的判定方法?特別是線面垂直的判定定理，在無(wú)條件的情況下，要?jiǎng)?chuàng)造條件（即作垂線）把線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系.同一法、反證法也是證明線面垂直的一種方法.6.平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理（1）判定定理：①，②依定義，二面角的平面角.（2）性質(zhì)定理：①，②.7.關(guān)于“面面垂直”“線面垂直”及“線線垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化理解和熟練應(yīng)用空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，是解決有關(guān)計(jì)算和證明的金鑰匙．歸納出以下判定定理：總之，解決一切立體幾何問(wèn)題的核心任務(wù)是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，這一點(diǎn)必須時(shí)時(shí)牢記.類型一：柱體、錐體、臺(tái)體及球的表面積和體積例1.如圖所示，半徑為SKIPIF1<0的半圓SKIPIF1<0的直徑為直角梯形垂直于兩底的腰，且分別切SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,將半圓SKIPIF1<0與直角梯形SKIPIF1<0分別繞SKIPIF1<0所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)球和一個(gè)圓臺(tái)，且球的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為SKIPIF1<0，求圓臺(tái)的體積.分析：要求圓臺(tái)的體積，只需求出上、下底面半徑和高.由題設(shè)條件可知，圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，其上、下底面半徑之和等于母線長(zhǎng)，再根據(jù)球的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為SKIPIF1<0，可求出圓臺(tái)的上、下底面半徑.解：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為SKIPIF1<0，母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則根據(jù)題意，得圓臺(tái)的高SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故圓臺(tái)的體積為SKIPIF1<0.解后反思：在本題計(jì)算過(guò)程中，采用了整體代入的方法避免了煩瑣的計(jì)算，要注意此方法的應(yīng)用.類型二球與其他幾何體的簡(jiǎn)單組合體問(wèn)題例2.已知軸截面為等邊三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積.分析：作出軸截面，利用三角形及其內(nèi)切圓之間的關(guān)系，求得球的半徑.解：如圖作出軸截面，因?yàn)镾KIPIF1<0是等邊三角形，所以SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0cm,所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以球的體積為SKIPIF1<0.解后反思：圓錐的底面半徑為1cm，其軸截面是邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形，則問(wèn)題為轉(zhuǎn)化為求此等邊三角形內(nèi)切球的半徑問(wèn)題.類型三幾何體的截面問(wèn)題例3.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，該圓錐有一個(gè)高為SKIPIF1<0的內(nèi)接圓柱.(1)用SKIPIF1<0表示圓柱的軸截面面積SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何值是，SKIPIF1<0最大？分析：此題是圓柱與圓錐的一個(gè)組合體的計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是借助于它們的軸截面求解.解：畫(huà)出圓柱和圓錐的軸截面，如圖所示.設(shè)圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，則由三角形相似，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(1)圓柱的軸截面面積SKIPIF1<0(2)因?yàn)镾KIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，最大值為6解后反思：旋轉(zhuǎn)體的軸截面可以使旋轉(zhuǎn)體中的某些元素集中在同一個(gè)平面內(nèi)，因此充分利用軸截面將有助于我們研究旋轉(zhuǎn)體各元素間的關(guān)系及計(jì)算.類型四割補(bǔ)法和等積法在求體積中的應(yīng)用例4.如圖所示，已知三棱柱SKIPIF1<0,側(cè)面SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到側(cè)面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求證:三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.分析：本題有兩種證法，即利用“分割法”或“補(bǔ)全法”來(lái)解決.證明：方法1(分割法)：如圖1-9所示，連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0,這樣就把三棱柱分割成了兩個(gè)棱錐.三棱柱體積為SKIPIF1<0，顯然三棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0，而四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.方法2(補(bǔ)全法)：如圖1-10所示，將三棱柱SKIPIF1<0補(bǔ)成一個(gè)四棱柱SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形.顯然三棱柱SKIPIF1<0的體積與原三棱柱SKIPIF1<0的體積相等.以SKIPIF1<0為底面，點(diǎn)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為高，顯然補(bǔ)形后的四棱柱的體積為SKIPIF1<0.故原三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.解后反思：(1)幾何體的“分割”幾何體的分割即將已給的幾何體，按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之.(2)幾何體的“補(bǔ)形”與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等.(3)補(bǔ)臺(tái)成錐是常用的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法.由臺(tái)體的定義，我們?cè)谀撤N情況下，可以將臺(tái)體補(bǔ)充成錐體研究體積.例5.如圖所示，在棱臺(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此棱臺(tái)的體積.解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,棱臺(tái)的高為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又三棱錐SKIPIF1<0與三棱錐等SKIPIF1<0高，而SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0解后反思：等積法也稱等積變形或等積轉(zhuǎn)換法，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求體積的一種方法.類型五共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題例6如圖，在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求證：（1）SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面；（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)在直線SKIPIF1<0上.分析：（1）由比例關(guān)系及中位線證SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.證明：（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1