5升6奧數(shù)拓展：長方體和正方體-數(shù)學(xué)六年級上冊人教版

5升6奧數(shù)拓展：長方體和正方體-數(shù)學(xué)六班級上冊人教版一、選擇題1．把一個長8厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體滑虛線切成兩個立體圖形，下圖中（

）的切法增加的表面積最小。A． B． C． D．2．有一個深4分米的長方體容器，其內(nèi)側(cè)底面為邊長3分米的正方形。當(dāng)容器底面的一邊緊貼桌面傾斜如圖時，容器內(nèi)的水剛好不溢出。則此時容器內(nèi)的水有（

）。A．13.5升 B．18升 C．22.5升 D．27升3．某部門規(guī)定：旅客隨身攜帶的行李的長、寬、高的和不能超過150厘米。請問，旅客所帶的長方體箱子體積不能超過多少立方厘米？（

）。A．100000 B．125000 C．150000 D．1800004．用小正方體搭成如下圖的大正方體，假如（

）塊小正方體，剩下圖形的表面積最大。A．拿走A B．拿走B C．拿走C D．拿走任意5．下圖長方體側(cè)面4個面的總面積是70cm2，它的高是（

）cm。A．3 B．4 C．5 D．66．把棱長是5cm的正方體的表面涂色后，再鋸成棱長是1cm的小正方體（無剩余，損耗不計），那么，只一面涂色的有（

）塊。A．6 B．24 C．36 D．54二、填空題7．一個棱長為8分米的正方體水缸，水深6分米，假如放入一塊石頭完全浸入水中，水溢出25升，則這塊石頭的體積是()立方分米。8．用三個完全相同的正方體拼成一個長方體，它的表面積是126cm2，那么這個長方體的體積是()cm3。9．把一個長7dm、寬6dm、高4dm的長方體切成兩個同樣大小的小長方體，表面積最多增加()，最少增加()。10．將小正方體按如圖方式擺放在地上，依據(jù)擺放規(guī)律填寫表格。小正方體的個數(shù)12345…n露在外面的面的個數(shù)5811()()…()11．一個長方體的底面是一個正方形，高是3.6dm，它的體積是14.4dm3，則長方體的表面積是()dm2。12．把一個長方體的高削減2dm后，就變成一個正方體，這時表面積削減了56dm2，變成的正方體的體積是()dm3。13．一塊長方體木塊，沿著高鋸掉2cm后，成為一個正方體，表面積削減40平方厘米。求原來長方體木塊的體積是()。14．一個長方體，假如長增加2厘米，則體積增加40立方厘米，假如寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米，假如高增加4厘米，則體積增加96立方厘米，原長方體的表面積是()平方厘米？三、解答題15．做一個無蓋的長方體鐵桶，共用鐵皮192平方分米。已知桶底是邊長10分米的正方形，請問桶高幾分米？16．如圖，張叔叔有一個長為60厘米，寬為40厘米，高為50厘米的無蓋長方體水槽。（1）做這樣一個長方體水槽至少需要多少平方厘米的玻璃？（2）張叔叔把這個長方體水槽裝入30厘米深的水，裝入的水是多少毫升？（3）張叔叔在這個已有30厘米深的水的水槽中，放入一個長是20厘米，寬是20厘米，高是30厘米的長方體石塊浸沒在水槽中，水槽中的水將上升多少厘米？17．把四個大小、外形相同的盒子包裝在一起，假如每個盒子的長、寬、高分別是8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包裝紙？18．一個長方體的玻璃缸，長8dm，寬6dm，高5dm，水深4.5dm，假如投入一塊棱長為4dm的正方體鐵塊（完全沉沒），這個正方體鐵塊的體積是多少？缸里會溢出多少L水？19．小明的爸爸被稱為“制作小能手”。愛心福利院要改善孩子們的居住環(huán)境，想請小明的爸爸制作一個長0.6米，寬0.5米，高0.4米的無蓋魚缸。現(xiàn)在他家里有好多塊下面四種型號的長方形與正方形玻璃。請你依據(jù)上面的信息解決下面的問題：（1）請你掛念小明的爸爸想一想，需要選哪種型號的玻璃，各選多少塊？（2）請你算一算，小明的爸爸做這個魚缸，一共需要多少平方米的玻璃？（3）要使這個魚缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？20．下圖是用24個棱長2cm的小正方體粘合而成的幾何體。（1）在A、B、C三個缺口中選一處補(bǔ)入一個小正方體，補(bǔ)在（

）處，能使這個幾何體的表面積保持不變。（2）在這三個缺口處都補(bǔ)入一個小正方體，這個幾何體的表面積會增加還是會削減？增加（或削減）多少cm2？

參考答案：1．C【分析】不論是哪一種切法，都是增加兩個長方形的面，比較長方形的面積大小，即可確定哪一種切法增加的表面積最小?！驹斀狻緼．增加兩個長方形的面，長方形的長是8厘米，寬是6厘米，（平方厘米）；B．增加兩個長方形的面，長方形的長是8厘米，寬是4厘米，（平方厘米）；C．增加兩個長方形的面，長方形的長是6厘米，寬是4厘米，（平方厘米）；D．增加兩個長方形的面，長方形的長大于8厘米，寬是6厘米，增加的面積大于96平方厘米；表面積增加最少的是增加48平方厘米，故答案選：C。【點(diǎn)睛】本題考查的是立體幾何的切割問題，每切一刀，都會增加兩個面。2．C【分析】由于是長方體容器，依據(jù)長方體的體積公式：長×寬×高，求出容器的體積；無水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再依據(jù)棱柱的體積公式：底面積×高，求出無水的部分的體積；相減即可求得容器內(nèi)的水的體積?！驹斀狻咳萜黧w積：4×3×3＝12×3＝36（立方分米）無水部分體積：3×3÷2×3＝9÷2×3＝4.5×3＝13.5（立方分米）容器內(nèi)水的體積：36－13.5＝22.5（立方分米）22.5立方分米＝22.5升故答案為：C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查體積的計算，本題容器內(nèi)水的體積＝容器的容積－無水部分的體積，重點(diǎn)是把無水部分看作是底面是直角三角形的棱柱。3．B【解析】可以設(shè)箱子的長、寬、高分別為x、y、z厘米，則x＋y＋z≤150。由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝50厘米時，等式成立。因此體積最大為50×50×50＝125000立方厘米。【詳解】解：設(shè)箱子的長、寬、高分別為x、y、z厘米，x＋y＋z≤150解得：x＝y(tǒng)＝z＝50因此V最大＝503＝125000（立方厘米）故答案為：B?！军c(diǎn)睛】本題也可直接依據(jù)幾何學(xué)問推斷，長、寬、高之和在肯定的狀況下正方體的體積最大。因此可直接得出棱長為150÷3＝50（厘米），從而解決問題。4．C【分析】表面積：是立體圖形各個面積的總和。如正方體有六個面，且每個面的面積都相等。所以正方體的表面積是：棱長×棱長×6。據(jù)此進(jìn)行分類爭辯?！驹斀狻竣倌米逜，少了3個正方形面積，同時也增加了3個正方形的面積，即表面積不發(fā)生變化；②拿走B，少了2個正方形面積，同時也增加了4個正方形的面積，即表面積比原來增加了2個正方形的面積；③拿走C，少了1個正方形面積，同時也增加了5個正方形的面積，即表面積比原來增加了4個正方形的面積。所以拿走C塊小正方體，剩下圖形的表面積最大。故選：C?！军c(diǎn)睛】嫻熟把握表面積的概念，再依據(jù)此概念進(jìn)行分類爭辯得出答案。5．C【分析】長方體的側(cè)面開放是一個大長方形，大長方形的長＝長×2＋寬×2，用側(cè)面總面積÷大長方形的長＝高?！驹斀狻?0÷（4×2＋3×2）＝70÷（8＋6）＝70÷14＝5（厘米）故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了長方體表面積，長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。6．D【解析】將正方體的表面涂色后，只有一面涂色、兩面涂色……的小正方體的個數(shù)是有規(guī)律可循的，故我們先找到這個規(guī)律，再結(jié)合題意計算即可?！驹斀狻恳李}意，只一面涂色的小正方體位于每個面除去四條棱剩下的面上，故每個面有（5－2）×（5－2）＝3×3＝9（個）這樣的小正方體。那6個面共有9×6＝54（個）這樣的小正方體。故答案為D?！军c(diǎn)睛】本題屬于“涂色的小正方體”的問題，有肯定的難度，同樣需要較強(qiáng)的空間思維力量，只要能分析出“只一面涂色的”小正方體的位置的特征，問題就迎刃而解了。7．153【分析】由題意得石頭的體積等于上升的水的體積加上溢出水的體積，依據(jù)長方體的體積計算公式：長方體體積長寬高計算即可。【詳解】25升立方分米（立方分米）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將不規(guī)章物體的體積轉(zhuǎn)化成規(guī)章的長方體體積進(jìn)行計算。8．81【分析】用三個完全相同的正方體拼成一個長方體，長方體表面積比三個正方體表面積和削減4個面，據(jù)此求出長方體中正方形的數(shù)量，求出一個正方形面積，通過正方形面積確定正方體棱長，依據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出一個正方體體積，再×3即可。【詳解】6×3－4＝18－4＝14（個）126÷14＝9（平方厘米）9＝3×33×3×3×3＝81（立方厘米）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是先求出正方體一個面的面積，確定棱長，進(jìn)而求出拼成的長方體體積。9．84平方分米48平方分米【分析】以長乘寬作為橫截面增加的最多，增加兩個這樣的面；以寬乘高作為橫截面增加的最少，增加兩個這樣的面。據(jù)此計算即可?！驹斀狻浚?）7×6×2＝42×2＝84（平方分米）（2）4×6×2＝24×2＝48（平方分米）【點(diǎn)睛】把握用哪個面作為橫截面會增加的最多或最少是解決此題的關(guān)鍵。10．1417（3n＋2）【分析】依據(jù)圖示，1個小正方體露在外面的面的個數(shù)是5個；2個小正方體露在外面的面的個數(shù)是5＋3＝8（個）；3個小正方體露在外面的面的個數(shù)是：5＋3＋3＝11（個）；……；n個小正方體露在外面的面的個數(shù)是：5＋3（n－1）＝（3n＋2）個。據(jù)此解答?！驹斀狻?個小正方體露在外面的面的個數(shù)是5個2個小正方體露在外面的面的個數(shù)是5＋3＝8（個）3個小正方體露在外面的面的個數(shù)是：5＋3＋3＝11（個）4個小正方體露在外面的面的個數(shù)是：5＋3＋3＋3＝14（個）5小正方體露在外面的面的個數(shù)是：5＋3＋3＋3＋3＝17（個）……n個小正方體露在外面的面的個數(shù)是：5＋3（n－1）＝（3n＋2）個如表：小正方體的個數(shù)12345…n露在外面的面的個數(shù)58111417…（3n＋2）【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵是依據(jù)所給圖示及表格發(fā)覺這組圖形變化的規(guī)律；解答此類題目，要依靠細(xì)心的觀看及平常積累的閱歷。11．36.8【分析】長方體的體積等于底面積乘高，依據(jù)高和體積可以求出底面積，然后求出底面的邊長，計算四個側(cè)面的面積，加上兩個底面的面積，即為長方體的表面積?！驹斀狻浚╠m2）正方形面積是4，那么邊長是2厘米；（dm2）所以長方體的表面積是36.8dm2?！军c(diǎn)睛】本題考查的是長方體的表面積和體積，當(dāng)長方體中有兩個面是正方形時，其余的四個面是完全一樣的長方形。12．343【分析】削減部分的面積正好是以2dm為長方體的高、以原來長方體的長和寬的為長和寬的新長方體的前、后、左、右四個面的面積，又由于剩下部分是正方體，說明長方體的長＝寬，說明四個面完全相同，用表面積56除以4即可求出一個面的面積，再除以削減的高2即可求出長或?qū)?，?jù)此解答即可?！驹斀狻?6÷4＝14（dm）14÷2＝7（dm）7×7×7＝343（dm3）【點(diǎn)睛】理解削減面積就是以2dm為高，以原來長方體的長和寬的為長和寬的新長方體的前、后、左、右四個面的面積并且長和寬相等四個面的面積相等是解決此題的關(guān)鍵。13．175立方厘米【分析】首先關(guān)注長方體沿高鋸掉2厘米前后的變化——表面積削減40平方厘米，實(shí)際上，削減的是與原長方體同長同寬，但高為2里面的那部分長方體的側(cè)面積。這個側(cè)面積有前、后、左、右4個面，4個面面積為40平方厘米，則一個面的面積可求，而一個面的寬（即鋸掉長方體的高）為2厘米，則每個面的長也可求，列式為40÷4÷2，由于鋸掉一部分后變成了正方體，則寬與長相等，都是5厘米。由于是沿高鋸掉的，原長方體的長與寬并沒有轉(zhuǎn)變，只是高削減了2厘米，則原長方體的體積＝5×5×（5＋2），計算即可?！驹斀狻?0÷4÷2＝10÷2＝5（厘米）5×5×（5＋2）＝25×7＝175（立方厘米）【點(diǎn)睛】長方體中有6個面，其中只有一組相對的面可以為正方形。本題涉及到的長方體就是這種類型。沿高鋸掉2厘米成為正方體，則要從鋸掉那部分長方體削減的面積入手，層層突破，解決問題。14．148【分析】由題意，長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高×2＝40立方厘米，則寬×高＝40÷2＝20平方厘米；同理可知長×高＝30平方厘米，長×寬＝24平方厘米，依據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2列式解答即可?！驹斀狻勘砻娣e＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2＝（96÷4＋90÷3＋40÷2）×2＝（24＋30＋20）×2＝74×2＝148（平方厘米）故答案為：148【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是理解長增加寬和高不變，寬增加長和高不變，高增加長和寬不變，依據(jù)長方體的表面積公式解答即可。15．2.3分米【分析】鐵皮面積－底面積＝前后左右4個面的面積和，將前后左右4個面開放是長方形，長方形的寬就是長方體的高，長方體的長是長方體底面周長，用前后左右4個面的面積和÷底面周長＝長方體的高，據(jù)此分析?！驹斀狻浚?92－10×10）÷（10×4）＝（192－100）÷40＝92÷40＝2.3（分米）答：桶高2.3分米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是生疏長方體特征，能想明白無蓋長方體鐵通開放的外形。16．（1）12400平方厘米（2）72000毫升（3）5厘米【分析】（1）求做一個無蓋的長方體水槽需要的玻璃面積，就是求長方體的下面、前后面、左右面共5個面的面積之和，即“長×寬＋長×高×2＋寬×高×2”，代入數(shù)據(jù)計算即可。（2）求30厘米深的水的容積，依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算，結(jié)果要換算單位，進(jìn)率：1立方厘米＝1毫升。（3）在水槽中浸沒一個長方體石塊，則水上升部分的體積就是石塊的體積，依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，計算出石塊的體積；再依據(jù)長方體的高＝體積÷底面積，其中底面積是水槽的“長×寬”，代入數(shù)據(jù)計算，求出水上升的高度?！驹斀狻浚?）60×40＋60×50×2＋40×50×2＝2400＋6000＋4000＝12400（平方厘米）答：做這樣一個長方體水槽至少需要12400平方厘米的玻璃。（2）60×40×30＝2400×30＝72000（立方厘米）72000立方厘米＝72000毫升答：裝入的水是72000毫升。（3）20×20×30＝400×30＝12000（立方厘米）12000÷（60×40）＝12000÷2400＝5（厘米）答：水槽中的水將上升5厘米?！军c(diǎn)睛】機(jī)敏運(yùn)用長方體的表面積、體積公式，以及把石塊的體積轉(zhuǎn)移到水上升部分的體積是解題的關(guān)鍵。17．592cm2【分析】依據(jù)題意，要使需要的包裝紙最少，就要把四個盒子的最大面重合在一起；由于8×6＞8×5＞6×5，所以要把8×6的面、8×5的面分別重合起來，拼成一個長為8cm，寬為（6×2）cm，高為（5×2）cm的長方體，這樣包裝紙用的最少；依據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】如圖：6×2＝12（cm）5×2＝10（cm）（8×12＋8×10＋12×10）×2＝（96＋80＋120）×2＝296×2＝592（cm2）答：最少需要592cm2的包裝紙。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的拼組，先找出盒子的哪些面的面積大，把它們重合起來，這樣拼成的長方體用的包裝紙最少；把握長方體的表面積公式并機(jī)敏運(yùn)用。18．；40L【分析】依據(jù)正方體體積＝邊長×邊長×邊長，求出正方體的體積；溢出的水的體積等于放入的正方體木塊的體積減去高為5?4.5＝0.5分米的長方體的體積，長方體體積＝長×寬×高，計算即可?！驹斀狻?×4×4＝16×4＝64（dm3）64－8×6×（5－4.5）＝64－48×0.5＝64－24＝40（dm3）40dm3＝40L答：這個正方體鐵塊的體積是64dm3，缸里的水會溢出40L。【點(diǎn)睛】本題考查正方體體積公式、長方體體積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵數(shù)熟記公式。19．（1）2塊②號、2塊③號、1塊④號；（2）1.18平方米；（3）105升【分析】（1）無蓋玻璃魚