【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題01】集合與簡易邏輯

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題01】集合與簡易邏輯專題目錄【問題一】集合中的創(chuàng)新問題【問題二】集合與其他知識的交匯問題【問題三】含參數(shù)的常用邏輯用語問題數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新是思維品質(zhì)最高層次，以集合為背景的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，以集合為依托，考查考生理解問題、解決創(chuàng)新問題的能力．常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中集合只是基本的依托．創(chuàng)新集合新定義問題是通過重新定義相應(yīng)的集合，對集合的知識加以深入地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識，來解決新定義的集合創(chuàng)新問題．【例1】若，，則就稱是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是（）A．1B．3C．7D．31【練習(xí)1】對于集合，定義函數(shù)，對于兩個(gè)集合、，定義集合．已知，，則用列舉法寫出集合的結(jié)果為_______________．創(chuàng)新集合新運(yùn)算問題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)知識進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問題的目的．【例2】如圖所示的圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，若、，，，則為（）A．B．C．或D．或【練習(xí)2】約定與是兩個(gè)運(yùn)算符號，其運(yùn)算法則如下：對任意實(shí)數(shù)、，有：，．設(shè)，、，用列舉法表示集合．創(chuàng)新集合新性質(zhì)問題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來處理問題，通過創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問題．【例3】對于復(fù)數(shù)、、、，若集合具有性質(zhì)“對任意、，必有”，則當(dāng)時(shí)，等于（）A．1B．C．0D．【練習(xí)3】已知集合是由具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，在定義域內(nèi)存在兩個(gè)變量、且時(shí)有，則下列函數(shù)：①（）；②；③；④，在集合中的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【規(guī)律小結(jié)】與集合有關(guān)的新概念問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運(yùn)用，是近幾年高考的熱點(diǎn)問題．通過以上類型可知，集合的新定義問題的解決方法是：①緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；②用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)（概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等）是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．1、設(shè)整數(shù)，集合．令集合、、，且，，恰有一個(gè)成立．若和都在中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．，B．，C．，D．，2、設(shè)為復(fù)數(shù)集的非空子集．若對任意、，都有、、，則稱為封閉集．下列命題：①集合、為整數(shù)，為虛數(shù)單位為封閉集；②若為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集．上面命題中真命題共有哪些？（）A．①B．①②C．①②③D．①②④3、非空數(shù)集如果滿足：（1）；（2）若對，有，則稱是“互倒集”．給出以下數(shù)集：①；②；③；④．其中“互倒集”的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C．2D．14、在整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，0、1、2、3、4．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④整數(shù)、屬于同一“類”的充要條件是“”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．45、對于任意兩個(gè)正整數(shù)、，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)、都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，※；當(dāng)、中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，※，則在此定義下，集合※中的元素個(gè)數(shù)是（）A．18個(gè)B．17個(gè)C．16個(gè)D．15個(gè)6、由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是（）A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素7、用表示非空集合中的元素個(gè)數(shù)，定義，若，，設(shè)，則等于（）A．4B．3C．2D．18、已知集合（，），若數(shù)列是等差數(shù)列，記集合的元素個(gè)數(shù)為，則關(guān)于的表達(dá)式為_______________．9、設(shè)集合（），對的任意非空子集，定義為中的最大元素，當(dāng)取遍的所有非空子集時(shí)，對應(yīng)的的和為，則：①______________；②______________．10、設(shè)全集，用的子集可表示由0、1組成的6位字符串，如：表示的是第2個(gè)字符為1，第4個(gè)字符為1，其余均為0的6位字符串010100，并規(guī)定空集表示的字符串為000000．①若，則表示的6位字符串為______________；②若，集合表示的字符串為101001，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是____________．11、已知為合數(shù)，且，當(dāng)?shù)母鲾?shù)位上的數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)時(shí)，稱此質(zhì)數(shù)為的“衍生質(zhì)數(shù)”．（1）若的“衍生質(zhì)數(shù)”為2，則______________；（2）設(shè)集合為的“衍生質(zhì)數(shù)”，為的“衍生質(zhì)數(shù)”，則集合中元素的個(gè)數(shù)是______________．12、已知集合，對于任意實(shí)數(shù)對，存在實(shí)數(shù)對使得成立，則稱集命是“孿生對點(diǎn)集”，給出下列五個(gè)集合：①；②；③；④；⑤；其中不是“孿生對點(diǎn)集”的序號是______________．13、定義全集的子集的特征函數(shù)為，這里表示在全集中的補(bǔ)集，那么對于集合、，下列所有正確說法的序號是______________．①；②；③；④14、以間的整數(shù)（，）為分子，以為分母組成分?jǐn)?shù)集合，其所有元素和為；以間的整數(shù)（，）為分子，以為分母組成不屬于集合的分?jǐn)?shù)集合，其所有元素和為；；依次類推以間的整數(shù)（，）為分子，以為分母組成不屬于、、、的分?jǐn)?shù)集合，其所有元素和為；則______________．15、對于集合，定義了一種運(yùn)算“”，使得集合中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素是集合對運(yùn)算“”的單位元素．例如：，運(yùn)算“”為普通乘法；存在，使得對任意，都有，所以元素1是集合對普通乘法的單位元素．下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”：①，運(yùn)算“”為普通減法；②表示階矩陣，，，運(yùn)算“”為矩陣加法；③（其中是任意非空集合），運(yùn)算“”為求兩個(gè)集合的交集；其中對運(yùn)算“”有單位元素的集合序號為（）A．①②B．①③C．①②③D．②③集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考必考內(nèi)容之一，它滲透到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，以簡易邏輯、函數(shù)、方程、不等式、向量、解析幾何等為背景的集合問題在試卷中頻頻出現(xiàn)，其特點(diǎn)是綜合性高．解題時(shí)要求首先其集合語言，脫去其外衣，挖掘其本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，再利用相關(guān)知識解決．本文從集合與其他知識的交匯分類闡述，多方位多角度地認(rèn)識集合問題．通過對函數(shù)性質(zhì)的研究，得出滿足條件的數(shù)量關(guān)系，利用集合的知識處理．【例1】已知全集，，，則（）A．B．C．D．【練習(xí)1】已知集合是由具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，在定義域內(nèi)存在兩個(gè)變量、且時(shí)有．則下列函數(shù)：①（）；②；③；④，在集合中的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)命題的真假、充分條件與必要條件、集合的包含關(guān)系是統(tǒng)一的，可以互相轉(zhuǎn)化．【例2】命題：實(shí)數(shù)滿足，其中；命題：實(shí)數(shù)滿足或；且是的必要不充分條件，求的取值范圍．【練習(xí)2】集合，，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A．B．C．D．集合的元素就是不等式的解，通過解不等式，從而確定集合元素的范圍，轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算處理．【例3】已知全集，集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為______________．【練習(xí)3】若集合，，則所含的元素個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3集合是某些指定對象構(gòu)成的，由向量構(gòu)成的集合，要將集合的運(yùn)算與向量的運(yùn)算聯(lián)系起來．【例4】已知，是兩個(gè)向量集合，則（）A．B．C．D．【練習(xí)4】對任意兩個(gè)非零的向量和，定義；若向量、滿足，與的夾角，且、都在集合中，則（）A．B．1C．D．曲線是由滿足某種條件的點(diǎn)組成的集合，由集合的運(yùn)算得出曲線之間具有的某種特殊位置關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解析幾何知識求解．【例5】已知，，，則（）A．B．C．2D．或【練習(xí)5】已知集合，對于任意實(shí)數(shù)對，存在實(shí)數(shù)對使得成立，則稱集命是“垂直對點(diǎn)集”，給出下列四個(gè)集合：①；②；③；④；其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是（）A．①④B．②③C．③④D．②④【規(guī)律小結(jié)】集合與其他知識的交匯處理辦法往往有兩種：其一是根據(jù)函數(shù)、方程、不等式所賦予的實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而利用集合的知識處理；其二是由集合的運(yùn)算性質(zhì)，得到具有某種性質(zhì)的曲線的位置關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．1、集合，，是實(shí)數(shù)集，則等于（）A．B．C．D．2、若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè)B．4個(gè)C．1個(gè)D．2個(gè)3、若集合，集合，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4、已知集合，，若，則等于（）A．9B．8C．7D．65、設(shè)整數(shù)，集合．令集合、、，且三條件，，恰有一個(gè)成立．若和都在中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．，B．，C．，D．，6、非空數(shù)集如果滿足：（1）；（2）若對，有，則稱是“互倒集”．給出以下數(shù)集：①；②；③；④．其中“互倒集”的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C．2D．17、設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令（），若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則（）A．B．C．D．8、已知集合，，，現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；②；③；④．若時(shí)，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號是______________．9、設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果點(diǎn)滿足：對任意的，都存在，使得，那么稱為集合的聚點(diǎn)．則在下列集合中：①；②；③；④整數(shù)集；以0為聚點(diǎn)的集合有______________．（請寫出所有滿足條件的集合的編號）10、對于非空實(shí)數(shù)集，定義對任意．設(shè)非空實(shí)數(shù)集．現(xiàn)給出以下命題：①對于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必有；②對于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必有；③對于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必有；④對于任意給定符合題設(shè)條件的集合、，必存在常數(shù)，使得對任意的，恒有．以上命題正確的是______________．11、一個(gè)等差數(shù)列中，是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，則此常數(shù)的集合為______________．12、已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?，或．?）求和；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．13、設(shè)集合（，），、是的兩個(gè)非空子集，且滿足集合中的最大數(shù)小于集合中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對的個(gè)數(shù)為．（1）求、的值；（2）求的表達(dá)式．14、集合是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列的集合：①對任意，恒成立；②對任意，存在與無關(guān)的常數(shù)，使恒成立．（1）若是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，試探究數(shù)列與集合之間的關(guān)系；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，求的取值范圍．15、若、、、為集合（且）的子集，且滿足兩個(gè)條件：①；②對任意的，至少存在一個(gè)，使或，則稱集合組、、、具有性質(zhì)．如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)，如果是，請畫出所對應(yīng)的表格；如果不是，請說明理由；集合組1：，，；集合組2：，，．（2）當(dāng)時(shí)，若集合組、、具有性質(zhì)，請先畫出所對應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合、、；（3）當(dāng)時(shí)，集合組、、、是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值．（其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù)）通過多年的高考試卷看，求參數(shù)的取值范圍問題一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)．考生有時(shí)會(huì)感到難度較大，與簡易邏輯問題有關(guān)的參數(shù)問題，需要正確理解充分條件和必要條件的定義，弄懂邏輯聯(lián)接詞的含義以及全稱量詞、特稱量詞包含的數(shù)學(xué)理論，本文從各方面多角度地闡述與簡易邏輯有關(guān)的問題，以饗讀者．充分條件和必要條件的理解，可以翻譯成“若則”命題的真假，或者集合與集合之間的包含關(guān)系，尤其轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系后，利用集合知識處理．【例1】已知：，：，如果是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)1】設(shè)：；：．若是的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．邏輯聯(lián)接詞“或”“且”“非”與集合運(yùn)算的并集、交集、補(bǔ)集有關(guān)，由邏輯聯(lián)接詞組成的復(fù)合命題的真假與組成它的簡單命題真假有關(guān)，其中往往會(huì)涉及參數(shù)的取值范圍問題．【例2】設(shè)命題：函數(shù)的定義域?yàn)?；命題：對一切的實(shí)數(shù)恒成立，如果命題“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【練習(xí)2】已知命題：方程表示圓；命題：雙曲線的離心率；若命題“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．全稱命題和特稱命題從邏輯結(jié)構(gòu)而言，是含義相反的兩種命題，利用正難則反的思想互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題的目的．【例3】若命題“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)3】已知命題：在上定義運(yùn)算：，不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立；命題：若不等式對任意的恒成立．若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．全稱量詞“”表示對于任意一個(gè)，指的是在指定范圍內(nèi)的恒成立問題，而特稱量詞“”表示存在一個(gè)，指的是在指定范圍內(nèi)的有解問題，上述兩個(gè)問題都利用參變分離法求參數(shù)取值范圍．【例4】已知命題：“，”，命題：“，”．若命題“且”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．或B．或C．D．【練習(xí)4】已知：，恒成立，：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，若命題“且”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1、已知，“函數(shù)有零點(diǎn)”是“函數(shù)在上為減函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2、函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)的必要不充分條件是（）A．B．C．D．3、命題“對任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A．B．C．D．4、設(shè)：在上單調(diào)遞增；：，則是的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．以上都不對5、已知，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6、下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①命題“，”的否定是“，”；②“”是“三個(gè)數(shù)、、成等比數(shù)列”的充要條件；③“”是“直線和直線垂直”的充要條件；④“復(fù)數(shù)（，）是純虛數(shù)的充要條件是”是真命題．A．1B．2C．3D．47、給出下列四個(gè)命題：①命題“，”的否定是“，”；②“”是“直線與直線相互垂直”的必要不充分條件；③設(shè)圓（）與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，分別為、、、，則；④關(guān)于的不等式的解集為，則．其中所有真命題的序號是______________．8、下列結(jié)論：①已知直線，，則的充要條件是；②命題“設(shè)、，若，則或”是一個(gè)假命題；③函數(shù)是奇函數(shù)；④在中，若，則是直角三角形；⑤“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件；⑥已知、為平面上兩個(gè)不共線的向量，：；：，則是的必要不充分條件．其中正確結(jié)論的序號為_________