【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯點歸納總結(jié)】【專題11】導(dǎo)數(shù)（教師版）

第1頁【專題11】導(dǎo)數(shù)1、導(dǎo)數(shù)的背景：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本．2、導(dǎo)函數(shù)的概念：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，對于開區(qū)間內(nèi)的每一個，都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù)，這樣在開區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作：，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)．3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的改變量：；（2）求平均變化率：；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)：．4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是．特別提醒：①在求曲線的切線方程時，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線，還是過某點的切線：曲線上某點處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條；②在求過某一點的切線方程時，要首先判斷此點是在曲線上，還是不在曲線上，只有當此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是．例1、一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為__________．【答案】5米秒例2、在曲線上移動，在點處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_________．【答案】例3、直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為_________．【答案】或1例4、已知函數(shù)（為常數(shù)）圖象上點處的切線與的夾角為，則點的橫坐標為__________．【答案】0或例5、曲線在點處的切線方程是____________．【答案】例6、已知函數(shù)，又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于、，．①求的值；②求過點的曲線的切線方程．【答案】①1；②或5、導(dǎo)數(shù)的運算法則：（1）常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（為常數(shù)）；（2）（），與此有關(guān)的如下：，；（3）若、有導(dǎo)數(shù)，則：①；②．例7、已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則_________．【答案】例8、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________．【答案】例9、若對任意，，，則是_________．【答案】6、多項式函數(shù)的單調(diào)性：（1）多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：①若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)；若恒成立，則為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定，則不是單調(diào)函數(shù)；②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立．例10、函數(shù)，其中、、為實數(shù)，當時，的單調(diào)性是_________．【答案】增函數(shù)例11、設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_________．【答案】例12、已知函數(shù)（為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是____________．【答案】例13、已知，，設(shè)，試問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？【答案】（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求；②求方程的根，設(shè)根為、、、；③、、、將給定區(qū)間分成個子區(qū)間，再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性．例14、設(shè)函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】遞增區(qū)間，遞減區(qū)間、7、函數(shù)的極值：（1）定義：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值．記作．極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．（2）求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟：①求導(dǎo)數(shù)；②求方程的根；③檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在處取極小值．特別提醒：①是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是，是為極值點的必要而不充分條件；②給出函數(shù)極大（?。┲档臈l件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”（“左負右正”）的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！例15、函數(shù)的極值點是（）A．極大值點B．極大值點C．極小值點D．極小值點【答案】C例16、已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或例17、函數(shù)在處有極小值10，則的值為__________．【答案】例18、已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么有最______值_______．【答案】大；8、函數(shù)的最大值和最小值：（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”．（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：①求函數(shù)在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；②將的各極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．例19、函數(shù)在上的最大值、最小值分別是__________．【答案】5；例20、用總長的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長．那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．【答案】高為時，容積最大為特別注意：①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時，要注意列表?、谝朴趹?yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值（極值），研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題．例21、