【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯點歸納總結(jié)】【專題05】平面向量（教師版）

第1頁【專題05】平面向量1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別．向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）．（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的．（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行．特別提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有）；④三點、、共線、共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量是．例1、已知，，則把向量按向量平移后得到的向量是________．【答案】例2、下列命題：①若，則；②兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同；③若，則是平行四邊形；④若是平行四邊形，則；⑤若，，則；⑥若，，則．其中正確的是________．【答案】④⑤2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后．（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如、、等．（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量、為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示．如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同．3、平面向量的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使得成立．例3、若，，，試用、表示，則________．【答案】例4、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B例5、已知、分別是的邊、上的中線，且，，則可用向量、表示為________．【答案】例6、已知中，點在邊上，且，，則的值是________．【答案】04、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1），（2）當(dāng)時，的方向與的方向相同，當(dāng)時，的方向與的方向相反，當(dāng)時，，注意：．5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個向量的夾角：對于非零向量、，作，，（）稱為向量、的夾角．當(dāng)時，、同向；當(dāng)時，、反向；當(dāng)時，、垂直．（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量、，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量．（3）在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0．（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積．（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量、，其夾角為，則：①；②當(dāng)、同向時，，特別地，，；當(dāng)與反向時，；當(dāng)為銳角時，，且、不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，，且、不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量、夾角的計算公式：；④．例7、中，，，，則________．【答案】例8、已知，，，，與的夾角為，則等于________．【答案】1例9、已知，，，則等于________．【答案】例10、已知、是兩個非零向量，且，則與的夾角為________．【答案】例11、已知，，且，則向量在向量上的投影為________．【答案】例12、已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是________．【答案】或且例13、已知的面積為，且，若，則、夾角的取值范圍是________．【答案】例14、已知，，與之間有關(guān)系式，其中，①用表示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大?。敬鸢浮竣伲ǎ虎谧钚≈禐?，6、向量的運算：（1）幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，，那么，由減向量的終點指向被減向量的終點．注意：此處減向量與被減向量的起點相同．（2）坐標(biāo)運算：設(shè)，，則：①向量的加減法運算：；②實數(shù)與向量的積：；③若，，則，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)；④平面向量數(shù)量積：；⑤向量的模：，；⑥兩點間的距離：若，，則．例15、化簡：①________；②________；③________．【答案】①；②；③例16、若正方形的邊長為1，，，，則________．【答案】例17、若是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為________．【答案】直角三角形例18、若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足，設(shè)，則的值為________．【答案】2例19、若點是的外心，且，則的內(nèi)角為________．【答案】例20、已知點，，，若（），則當(dāng)________時，點在第一、三象限的角平分線上．【答案】例21、已知，，且，、，則________．【答案】或例22、已知作用在點的三個力，，，則合力的終點坐標(biāo)是________．【答案】例23、設(shè)，，且，，則、的坐標(biāo)分別是________．【答案】，例24、已知向量，，．（1）若，求向量、的夾角；（2）若，函數(shù)的最大值為，求的值．【答案】（1）；（2）或例25、已知、均為單位向量，它們的夾角為，那么________．【答案】例26、如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中、分別為與軸、軸同方向的單位向量，則點斜坐標(biāo)為．（1）若點的斜坐標(biāo)為，求到的距離；（2）求以為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程．【答案】（1）2；（2）7、向量的運算律：（1）交換律：，，；（2）結(jié)合律：，，；（3）分配律：，，．特別提醒：①向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除（相約）；②向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？例27、下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若，則；⑥；⑦；⑧；⑨．其中正確的是________．【答案】①⑥⑨8、向量平行（共線）的充要條件：．例28、若向量，，當(dāng)_____時，與共線且方向相同．【答案】2例29、已知，，，，且，則________．【答案】4例30、設(shè)，，，則_____時，、、共線．【答案】或119、向量垂直的充要條件：．特別地：．例31、已知，，若，則________．【答案】例32、以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形，，則點的坐標(biāo)是________．【答案】或例33、已知，向量，且，則的坐標(biāo)是________．【答案】或10、線段的定比分點：（1）定比分點的概念：設(shè)點是直線上異于、的任意一點，若存在一個實數(shù)，使，則叫做點分有向線段所成的比，點叫做有向線段的以定比為的定比分點；（2）的符號與分點的位置之間的關(guān)系：當(dāng)點在線段上時；當(dāng)點在線段的延長線上時；當(dāng)點在線段的延長線上時；若點分有向線段所成的比為，則點分有向線段所成的比為．（3）線段的定比分點公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則．特別地，當(dāng)時，就得到線段的中點公式．在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確、、的意義，即分別為分點、起點、終點的坐標(biāo)．在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比．例34、若點分所成的比為，則分所成的比為________．【答案】例35、若，，且，則點的坐標(biāo)為________．【答案】例36、已知，，直線與線段交于，且，則等于________．【答案】2或11、平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線．特別提醒：①函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？②向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！例37、按向量把平移到，則按向量把點平移到點________．【答案】例38、函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則________．【答案】12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用．（2），特別地：當(dāng)、同向或有；當(dāng)、反向或有；當(dāng)、不共線；這些和實數(shù)比較類似．（3）①在中，若，，，則其重心的坐標(biāo)為；②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量