考研數(shù)學(xué)二（重積分）模擬試卷1（共123題）

考研數(shù)學(xué)二（重積分）模擬試卷1（共4套）（共123題）考研數(shù)學(xué)二（重積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)D：χ2＋y2≤16，則｜χ2＋y2－4｜dχdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：｜χ2＋y2－4｜dχdy＝∫02πdθd∫04｜r2－4｜rdr＝2π∫04｜r2－4｜rdr2π[∫024(4－r2)rdr＋∫24(r2－4)rdr]＝80π，故選B．2、設(shè)D是χOy平面上以(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)為頂點的三角形區(qū)域，D1為區(qū)域D位于第一象限的部分，則(χy＋cosχsiny)dσ等于()．A、2cosχsinydχdyB、2χydχdyC、4(χy＋cosχsiny)dχdyD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令A(yù)(1，1)，B(0，1)，C(－1，1)，D(－1，0)，E(－1，－1)，記△OAB，△OBC，△OCD、△ODE所在的區(qū)域分別記為D1，D2，D3，D4，(χy＋cosχsiny)dσ＝()(χy＋cosχsiny)dσ，根據(jù)對稱性，故選A．3、設(shè)平面區(qū)域D：1≤χ2＋y2≤4，f(χ，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr故選A．4、設(shè)χ2＋y2≤2ay(a＞0)，則f(χ，y)dχdy在極坐標(biāo)下的累次積分為()．A、f(rcosθ，rsinθ)rdrB、f(rcosθ，rsinθ)rdrC、f(rcosθ，rsinθ)rdrD、f(rcosθ，rsinθ)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：今其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，則f(χ，y)dχdy＝f(rcosθ，rsinθ)rdr故選B．5、極坐標(biāo)下的累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：累次積分所對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域為D：χ2＋y2≤2χ(y≥0)，則D＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤}，選D．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、(χ2＋χy－χ)dχdy＝_______，其中D由直線y＝χ，y＝2χ及χ＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、(｜χ｜＋χ2y)dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：其中D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1－χ}，8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin1知識點解析：改變積分次序得9、設(shè)f(χ，y)連續(xù)，且f(χ，y)＝χy＋(χ，y)dσ，其中D由y＝0，y＝χ2及χ＝1圍成，則f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy＋知識點解析：令(χ，y)dσ－k，則f(χ，y)＝χy＋k，兩邊在D上積分得f(χ，y)dσ＝(χy＋k)dσ，即k＝(χ＋k)dy，解得k＝，所以f(χ，y)＝χy＋．10、設(shè)f(χ，y)在點(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(t)＝f(χ，y)dσ，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2πf(0，0)知識點解析：F(t)＝f(χ，y)dσ＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，D：χ2＋y2≤t2．11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、設(shè)D：χ2＋y2≤R2，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，且∫01f(χ)dχ＝A，則∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，則∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝∫01f(χ)[F(1)－F(χ)]dχ＝F(1)∫01f(χ)dχ－∫01F(χ)dF(χ)＝三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)14、改變積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：因為D＝{(χ，y)｜a－≤χ≤y，0≤y≤a}，所以知識點解析：暫無解析15、改變積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝{(χ，y)｜0≤χ≤，χ2≤y≤χ}，則知識點解析：暫無解析16、改變積分次序f(χ，y)dy(a＞0)．。標(biāo)準(zhǔn)答案：D1＝{(χ，y)｜a－≤χ≤a＋，－a≤y≤0}，D2＝{(χ，y)｜≤χ≤2a，0≤y≤2a}，則知識點解析：暫無解析17、改變積分次序并計算標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析18、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜1≤χ≤2，≤y≤χ}，D2＝{(χ，y)｜2≤χ≤4，≤y≤2}，D1＋D2＝D＝{(χ，y)｜1≤y≤2，y≤χ≤y2}，則知識點解析：暫無解析19、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析20、把二重積(χ，y)dχdy寫成極坐標(biāo)下的累次積分的形式(先r后θ)，其中D由直線χ＋y＝1，χ＝1，y＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、把(χ，y)dχdy寫成極坐標(biāo)的累次積分，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ}．標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝{(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ}，則知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(χ)連續(xù)，f(0)＝1，令F(t)＝f(χ2＋y2)dχdy(t≥o)，求F〞(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令χ＝rcosθ，y＝rsinθ，則F(t)＝∫02πdθ∫0trf(r)dr＝2π∫0trf(r)dr，因為f(χ)連續(xù)，所以F′(t)＝2πtf(t2)且F′(0)＝0，于是F〞(0)＝＝2πf(0)＝2π．知識點解析：暫無解析23、計算I＝y(tǒng)dχdy，其中D由曲線＝1及χ軸和y軸圍成，其中a＞0，b＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t＝1－，則χ＝a(1－t)2，dχ＝－2a(1－t)dt，于是I＝知識點解析：暫無解析24、設(shè)D是由點0(0，0)，A(1，2)及B(2，1)為頂點構(gòu)成的三角形區(qū)域，計算χdχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：將區(qū)域向χ軸投影，令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，≤y≤2χ}，D2＝{(χ，y)｜1≤χ≤2，≤y≤3－χ}，則知識點解析：暫無解析25、求I＝dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識點解析：暫無解析26、求I＝｜cos(χ＋y)｜dχdy，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤，0≤y≤}．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線χ＋y＝將區(qū)域D分為D1，D2，其中D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤，0≤y≤－χ}，D2＝{(χ，y)｜0≤χ≤，－χ≤y≤}，故I＝｜cos(χ＋y)｜dχdy－π－2．知識點解析：暫無解析27、計算二重積分(χ＋y)dχdy，其中D：χ2＋y2≤χ＋y＋1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、計算(a＞0)，其中D是由曲線y＝－a＋和直線y＝－χ所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、計算I＝y(tǒng)2dσ，其中D由χ＝－2，y＝2，χ軸及曲線χ＝－圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、計算(χ＋y)2dχdy，其中D：ay≤χ2＋y2≤2ay(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(χ＋y)2dχdy＝(χ2＋2χy＋y2)dχdy－(χ2＋y2)dχdy．令(0≤θ≤π，asinθ≤r≤2asinθ)，則知識點解析：暫無解析31、計χy(χ＋y)dσ，其中D是由χ2－y2＝1及y＝0，y＝1圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析32、計算(3χy＋y2)曲，其中D由y＝χ2，y＝4χ2及y＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜a≤χ＋y≤b}(0＜a＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤a，a－χ≤y≤b－χ}，D2＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，0≤y≤b－χ}，則f(χ，y)dχdy＝∫0ae－χdχ∫a-χb-χe－ydy＋∫abe－χdχ∫0b-χe－ydy＝∫0ae－χ(eχ-a－eχ-b)dχ＋∫abe－χ(1－eχ-b)dχ＝(a＋1)(e－a－e－b)－(b－a)e－b．知識點解析：暫無解析34、求，其中D：χ2＋y2≤π2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，則知識點解析：暫無解析35、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析36、求(χ2－2y)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（重積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)χ2＋y2≤2ay(a＞0)，則(χ，y)dχdy在極坐標(biāo)下的累次積分為()．A、f(rcosθ，rsinθ)rdrB、f(rcosθ，rsinθ)rdrC、f(rcosθ，rsinθ)rdrD、f(rcsoθ，rsinθ)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，則f(χ，y)dχdy＝∫dθ∫f(rcosθ，rsinθ)rdr，選B．2、極坐標(biāo)下的累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：累次積分所對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域為D：χ2＋y2≤2χ(y≥0)，則D＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤}，選D．3、設(shè)區(qū)域D由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1圍成，若I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy，I2＝(χ＋y)3dχdy，I3＝sin3(χ＋y)dχdy，則()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜32＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由≤χ＋y≤1得[ln(χ＋y)]5≤0，于是I1＝[ln(χ＋y)]3*dχdy≤0；當(dāng)≤χ＋y≤1時，由(χ＋y)2≥sin2(χ＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，應(yīng)選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin1知識點解析：改變積分次序得5、設(shè)f(χ，y)連續(xù)，且f(χ，y)＝χy＋f(χ，y)dσ，其中D由y＝0，y＝χ2及χ＝1圍成，則f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy＋知識點解析：f(χ，y)dσ＝k，則f(χ，y)＝χy＋k，兩邊在D上積分得f(χ，y)dσ＝(χy＋k)dσ，即k＝∫01dχ(χy＋k)dy，解得k＝，所以f(χ，y)＝χy＋．6、設(shè)f(χ，y)在點(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(f)＝f(χ，y)dσ，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2πf(0，0)知識點解析：F(t)＝f(χ，y)dσ＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，D：χ2＋y2≤t2．故＝2πf(0，0)．7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)D：χ2＋y2≤R2，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，且∫01f(χ)dχ＝A，則∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，則∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝∫01f(χ)[F(1)－F(χ)]dχ＝F(1)∫01f(χ)dχ－∫01F(χ)dF(χ)＝F2(1)－．10、計算＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：改變積分次序得11、計算＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1－sin1知識點解析：改變積分次序得＝∫01(1－y)sinydy＝∫01(y－1)d(cosy)＝(y－1)cosy｜01－∫01cosydy＝1－sin1三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、計算(χ＋y)2dχdy，其中D：ay≤χ2＋y2≤2ay(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(χ＋y)2dχdy＝(χ2＋2χy＋y2)dχdy＝(χ2＋y2)dχdy．令(0≤0≤π，asinθ≤r≤2asinθ)，則知識點解析：暫無解析13、計算χy(χ＋y)dσ，其中D是由χ2－y2＝1及y＝0，y＝1圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、計算(3χy＋y2)dσ，其中D由y＝χ2，y＝4χ2及y＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜a≤χ＋y≤b}(0＜a＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤a，a－χ≤y≤b－χ}，D2＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，0≤y≤b－χ}，則f(χ，y)dχdy＝∫0ae－χdχ∫a－χb－χe－ydy＋∫abedχ－χ∫0b-χe－ydy＝∫0ae－χ(eχ－a－eχ－b)dχ＋∫abe－χ(1－eχ－b)dχ＝(a＋1)(e－a－e－b)－(b－a)e－b．知識點解析：暫無解析16、求，其中D：χ2＋y2≤π2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，則＝∫02πdθ∫0πrcosrdr＝2π∫0πrd(sinr)＝2πrsinr｜0π－2π∫0πsinrd＝－4π．知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令(0≤0≤，0≤r≤2acosθ)，則知識點解析：暫無解析18、求(χ2－2y)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識點解析：暫無解析19、計算sinχ2cosy2dχdy，其中D：χ2＋y2≤a2(χ≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得I＝sinχ2cosy2dχdy－siny2cosχ2dχdy，則得I＝(1－cosa2)．知識點解析：暫無解析20、計算，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由極坐標(biāo)法得知識點解析：暫無解析21、計算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4χ，0≤y≤χ}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令(0≤θ≤，0≤r≤4cosθ)，則知識點解析：暫無解析22、求max{χy，1}dχdy，其中D＝{(χ，y)｜≤χ≤2，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D0＝{(χ，y)｜≤χ≤2，≤y≤2}，則知識點解析：暫無解析23、設(shè)D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤}，求｜χ－y｜dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、計算(χy2＋χ2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2y}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由奇偶性得(χy2＋χ2)dχdy＝χ2dχdy，令(0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ)，則知識點解析：暫無解析25、求如dy，其中D是由L：(0≤t≤2π)與χ軸圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L的直角坐標(biāo)形式為y＝y(tǒng)(χ)，則知識點解析：暫無解析26、計算，其中D＝{(χ，y)｜χ＋y≥1，χ2＋y2≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得I＝，則知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（重積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)區(qū)域D由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1圍成，若I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy，I2＝(χ＋y)3dχdy，I3＝sin3(χ＋y)dχdy，則()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由≤χ＋y≤1得[ln(χ＋y)]3≤0，于是I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy≤0；當(dāng)≤χ＋y≤1時，由(χ＋y)3≥sin3(χ＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，應(yīng)選B．2、累次積分rf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域為D：0≤χ≤1，0≤y≤，選D．3、設(shè)D＝{(χ，y)｜0≤χ≤π，0≤y≤π}，則sinχsiny.max{χ，y}dσ等于()A、πB、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤π，0≤y≤χ}，故選B．4、設(shè)，其中D：χ2＋y2≤a2，則a值為()．A、1B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：解得a＝2，選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)5、計算＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：改變積分次序得6、計算＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1－sin1知識點解析：改變積分次序得7、設(shè)f(u)連續(xù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－χf(χ2－1)知識點解析：8、設(shè)f(χ)＝，則∫0πf(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：9、設(shè)f(χ)連續(xù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、設(shè)f(χ，y)在區(qū)域D：χ2＋y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)＝4，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識點解析：由當(dāng)t→0時，t－ln(1＋t)＝t－[t－＋o(t2)]～t2(t→0)，由積分中值定理得f(χ，y)dχdy＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，于是＝2πf(0，0)＝8π．11、設(shè)a＞0，f(χ)＝g(χ)＝而D表示整個平面，則I＝f(χ)g(y－χ)dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a2知識點解析：由f(χ)g(y－χ)＝得I＝＝a2．12、設(shè)f(χ)＝D為χOy面，則f(y)f(χ＋y)dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)13、計算sinχ2cosy2dχdy，其中D：χ2＋y2≤a2(χ≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得I＝sinχ2cosy2dχdy＝siny2cosχ2dχdy，則得I＝(1－cosa2)．知識點解析：暫無解析14、計算其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}標(biāo)準(zhǔn)答案：由極坐標(biāo)法得知識點解析：暫無解析15、計算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4χ，0≤y≤χ}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、已知f(χ，y)＝，設(shè)D為由χ＝0，y＝0及χ＋y＝t所圍成的區(qū)域，求F(t)＝(χ，y)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t＜0時，F(xiàn)(t)＝0；當(dāng)0≤t＜1時，F(xiàn)(t)＝1dχdy＝t2；當(dāng)1≤t＜2時，F(xiàn)(t)＝f(χ，y)dχdy＝1－(2－t)2；當(dāng)t≥2時，F(xiàn)(t)＝1，則知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(0)＝1，令F(t)＝f(χ2＋y2)dχdy(t≥0)，求F〞(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤t)由F(t)＝∫02χdθ∫0trf(r2)dr＝2π∫0trf(r2)dr＝πf(u)du得F′(t)＝2πtf(t2)，F(xiàn)′(0)＝0，知識點解析：暫無解析19、計算二重積分I＝標(biāo)準(zhǔn)答案：I＝，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，－χ≤y≤－1}令則D＝{(r，t)｜－≤t≤0，0≤r≤－2sint}于是知識點解析：暫無解析20、計算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ2＋y2≥2χ}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、計算(χ＋y2)dχdy，其中D：χ2＋y2≤2χ＋2y＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D：χ2＋y2≤2χ＋2y－1可化為D：(χ－1)2＋(y－1)2≤1，知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(χ，y)＝且D：χ2＋y2≥2χ，求f(χ，y)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜1≤χ≤2，≤y≤χ}，則知識點解析：暫無解析23、計算I＝，其中D＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤χ2}，D2＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，χ2≤y≤2}，知識點解析：暫無解析24、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、計算I＝χydχdy，其中D由y＝－χ，y＝及y＝圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：將D分成兩部分D1，D2，知識點解析：暫無解析26、計算I＝標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、計算，其中D為單位圓χ2＋y2＝1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、計算二重積分(χ2＋4χ＋y2)dχdy，其中D是曲線(χ2＋y2)2＝a2(χ2－y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性(χ2＋4χ＋y2)dχdy＝4(χ2＋y2)dχdy，其中D1是D位于第一卦限的區(qū)域．知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(χ)dχ∫χbf(y)dy＝[∫abf(χ)dχ]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(χ)＝∫aχf(t)dt，則∫abf(χ)dχ∫χbf(y)dy＝∫abf(χ)[F(b)－F(χ)]dχ＝F(b)∫abf(χ)dχ－∫abf(χ)F(χ)dχ＝F2(b)－∫abF(χ)dF(χ)＝F2(b)－知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(χ，y)，g(χ，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(χ，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得(χ，y)g(χ，y)dσ＝f(ξ，η)g(χ，y)dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(χ，y)在D上連續(xù)，所以f(χ，y)在D上取到最大值M和最小值m，故mg(χ，y)≤f(χ，y)g(χ，y)≤Mg(χ，y)積分得(1)當(dāng)g(χ，y)dσ＝0時，f(χ，y)g(χ，y)dσ＝0，則對任意的(ξ，η)∈D，有(χ，y)g(χ，y)dσ＝f(ξ，η)(χ，y)dσ(2)當(dāng)g(χ，y)＞0時，由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得即f(χ，y)g(χ，y)dσ＝f(ξ，η)(χ，y)dσ．知識點解析：暫無解析31、設(shè)函數(shù)f(χ)∈C[a，b]，且f(χ)＞0，D為區(qū)域a≤χ≤b，a≤y≤b．證明：≥(b－a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為積分區(qū)域關(guān)于直線y＝χ對稱，所以又因為f(χ)＞0，所以≥2，從而知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(χ)為連續(xù)函數(shù)，計算χ[＋yf(χ2＋y2)]dχdy，其中D是由y＝χ3，y＝1，χ＝－1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(χ)的一個原函數(shù)為F(χ)，則知識點解析：暫無解析33、交換積分次序并計算(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析34、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，且f(χ)＞0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：等價于∫01f2(χ)dχ∫01χf(χ)dχ≥∫01f(χ)dχ∫01χf2(χ)dχ，等價于∫01f2(χ)dχ∫01yf(y)dy≥∫01f(χ)dχ∫01yf2(y)dy，或者∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy≥0令I(lǐng)＝∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy，根據(jù)對稱性，I＝∫01dχ∫01χf(χ)f(y)[f(y)－f(χ)]dy，2I＝∫01d(χ)∫01f(χ)f(y)(y－χ)[f(χ)－f(y)]dy，因為f(χ)＞0且單調(diào)減少，所以(y－χ)[f(χ)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以知識點解析：暫無解析35、證明：用二重積分證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2，χ≥0，y≥0}，S＝{(χ，y)｜0≤χ≤R，0≤y≤R}，D2一{(χ，y)｜χ2＋y2≤2R2，χ≥0，y≥0}φ(χ，y)＝，因為φ(χ，y)＝≥0且D2D2，令R→＋∞同時注意到＞0，根據(jù)迫斂定理得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（重積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)D：χ2＋y2≤16，則｜χ2＋y2－4｜dχdy等于()．A、40nB、80nC、20nD、60n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：｜χ2＋y2－4｜dχdy＝∫02πdθ∫04｜r2－4｜rdr＝2∫04｜r2－4｜rdr＝2π[∫02(4－r2)rdr＋∫24(r2－4)rdr]＝80π，故選B．2、設(shè)D是χOy平面上以(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)為頂點的三角形區(qū)域，D1為區(qū)域D位于第一象限的部分，則(χy＋cosχsiny)dσ等于()．A、2cosχsinydχdyB、2χydχdyC、4(χycosχsiny)dχdyD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令A(yù)(1，1)，B(0，1)，C(－1，1)，D(－1，0)，E(－1，－1)，記△OAB，△OBC，△OCD、△ODE所在的區(qū)域分別記為D1，D2，D3，D4，(χy＋cosχsiny)dσ＝()(χy＋cosχsiny)dσ，根據(jù)對稱性，()(χy＋cosχsiny)dσ＝()cosχsinydσ＝2cosχsinydσ；()(χy＋cosχsiny)dσ＝0，選A．3、設(shè)平面區(qū)域D：1≤χ2＋y2≤4，f(χ，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr，選A．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識點解析：5、設(shè)區(qū)域D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}，則｜y－χ2｜dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ2}，D2＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，χ2≤y≤1}，6、改變積分次序f(χ，y)dy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01dy∫0yf(χ，y)dχ＋f(χ，y)dχ知識點解析：暫無解析7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)D由y＝及χ軸圍成，f(χ，y)＝χy－(χ，y)dχdy，求f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy－知識點解析：令A(yù)＝f(χ，y)dχdy，則f(χ，y)＝χy－A，積分得A＝，解得A＝χydχdy，令(0≤θ≤，0≤r≤2cosθ)，則故f(χ，y)＝χy－．9、(χ＋χy－χ)dχdy＝_______，其中D由直線y＝χ，y＝2χ及χ＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、(｜χ｜＋χ2y)dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：其中D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1－χ}，三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、改變積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：因為D＝{(χ，y)｜a－≤χ≤y，0≤y≤a}，所以知識點解析：暫無解析12、改變積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝{(χ，y)｜0≤χ≤，χ2≤y≤χ}，則知識點解析：暫無解析13、改變積分次序f(χ，y)dy(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D1＝{(χ，y)｜a－≤χ≤a＋，－a≤y≤0}，D2＝{(χ，y)｜≤χ≤2a，0≤y≤2a}，則知識點解析：暫無解析14、改變積分次序并計算標(biāo)準(zhǔn)答案：改