考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計(jì)算）模擬試卷1（共136題）

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計(jì)算）模擬試卷1（共4套）（共136題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計(jì)算）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)函數(shù)y=f(x)可微，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線y=2-x垂直，則=A、-1．B、0．C、1．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故應(yīng)選(B)．2、設(shè)曲線y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在點(diǎn)(1，-1)處相切，其中a，b是常數(shù)，則A、a=0，b=2．B、a=1，b=-3．C、a=-3，b=1．D、a=-1，b=-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(1，-1)處的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．將方程2y=-1+xy3對(duì)x求導(dǎo)得2y’=y3+3xy2y’．由此知，該曲線在(1，-1)處的斜率y’(1)為2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因這兩條曲線在(1，-1)處相切，所以在該點(diǎn)它們的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲線y=x2+ax+b過點(diǎn)(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此選(D)．3、設(shè)f(x0)≠0，f(x)在x=x0連續(xù)，則f(x)在x0可導(dǎo)是｜f(x)｜在x0可導(dǎo)的()條件．A、充分非必要.B、充分必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)在x0某鄰域是保號(hào)的，即，當(dāng)｜x-x0｜＜δ時(shí)，因此應(yīng)選(B)．4、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)=0，則f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可導(dǎo)的()條件．A、充分非必要.B、充分必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按定義｜f(x)｜在x0可導(dǎo)存在，即均存在且相等因此應(yīng)選(B)．5、設(shè)F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a連續(xù)但不可導(dǎo)，又g’(a)存在，則g(a)=0是F(x)在x=a可導(dǎo)的()條件．A、充分必要.B、充分非必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：①因?yàn)棣铡?a)不存在，所以不能對(duì)g(x)φ(x)用乘積的求導(dǎo)法則；②當(dāng)g(a)≠0時(shí)，若F(x)在x=a可導(dǎo)，可對(duì)用商的求導(dǎo)法則．(Ⅰ)若g(a)=0，按定義考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反證法證明：若F’(a)存在，則必有g(shù)(a)=0．若g(a)≠0，由商的求導(dǎo)法則即知φ(x)在x=a可導(dǎo)，與假設(shè)條件φ(a)=在x=a處不可導(dǎo)矛盾．因此應(yīng)選(A)．6、函數(shù)f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可導(dǎo)點(diǎn)有A、3個(gè)．B、2個(gè)．C、1個(gè)．D、0個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分別僅在x=0，x=1，x=-1不可導(dǎo)且它們處處連續(xù)．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可導(dǎo)．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，則f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，故f(x)在x=0不可導(dǎo)．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，則g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1連續(xù)但不可導(dǎo)，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可導(dǎo)．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，則g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1連續(xù)但不可導(dǎo)，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可導(dǎo)．因此選(B)．7、設(shè)f(x+1)=af(x)總成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1為非零常數(shù)，則f(x)在點(diǎn)x=1處A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(1)=a．C、可導(dǎo)且f’(1)=b．D、可導(dǎo)且f’(1)=ab．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：按定義考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)8、請(qǐng)用等價(jià)、同階、低階、高階回答：設(shè)f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，則△x→0時(shí)f(x)在x=x0處的微分與△x比較是__________無窮小，△y=f(x0+△x)-f(x0)與△x比較是_______無窮小，△y-df(x)｜x=x0與△x比較是________無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：同階；同階；高階知識(shí)點(diǎn)解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知這時(shí)df(x)｜x=x0與△x是同階無窮小量；按定義=f’(x0)≠0，故△y與△x也是同階無窮小量；按微分定義可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高階的無窮?。?、設(shè)y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，則dy=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知識(shí)點(diǎn)解析：利用一階微分形式不變性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．10、設(shè)y=f(x)可導(dǎo)，且y’≠0．若y=f(x)二階可導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、對(duì)數(shù)螺線r=eθ在點(diǎn)(r，θ)=處的切線的直角坐標(biāo)方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)數(shù)螺線的參數(shù)方程為于是它在點(diǎn)處切線的斜率為當(dāng)θ=時(shí)x=0，y=．因此該切線方程為.三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)12、判斷下列結(jié)論是否正確?為什么?(Ⅰ)若函數(shù)f(x)，g(x)均在x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，則f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0時(shí)f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x=x0處有相同的可導(dǎo)性；(Ⅲ)若存在x0的一個(gè)鄰域(x0-δ，x0+δ)，使得x∈(x0-δ，x0+δ)時(shí)f(x)=g(x)，則(x)與g(x)在x0處有相同的可導(dǎo)性．若可導(dǎo)，則f’(x0)=g’(x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)不正確．函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性不僅與該點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，還與該點(diǎn)附近的函數(shù)值有關(guān)．僅有f(x0)=g(x0)不能保證f’(x0)=g’(x0)．正如曲線y=f(x)與y=g(x)可在某處相交但并不相切．(Ⅱ)不正確．例如f(x)=x2，g(x)=顯然，當(dāng)x≠O時(shí)f(x)=g(x)，但f(x)在x=0處可導(dǎo)，而g(x)在x=0處不可導(dǎo)(因?yàn)間(x)在x=0不連續(xù))．(Ⅲ)正確．由假設(shè)可得當(dāng)x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0時(shí)故當(dāng)x→x0時(shí)等式左右端的極限或同時(shí)存在或同時(shí)不存在，而且若存在則相等．再由導(dǎo)數(shù)定義即可得出結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、說明下列事實(shí)的幾何意義：(Ⅰ)函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且有標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點(diǎn)M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切．(Ⅱ)點(diǎn)x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)．曲線y=f(x)在點(diǎn)M0(x0，f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0(見圖2．1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處存在f’+(x0)與f’-(x0)，但f’+(x0)≠f’-(x0)，說明這一事實(shí)的幾何意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)．曲線在點(diǎn)M0(x0，f(x0))處存在左、右切線，且左、右切線有一個(gè)夾角(M0是曲線y=f(x)的尖點(diǎn))，見圖2．2.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f’(x)存在，求極限，其中a，b為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成原式=af’(x)+bf’(x)=(a+b)f’(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=1，f’(a)=3，求數(shù)列極限標(biāo)準(zhǔn)答案：這是指數(shù)型數(shù)列極限，先轉(zhuǎn)化成其指數(shù)是型數(shù)列極限，用等價(jià)無窮小因子替換，由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)定義知因此e=e6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y’：(Ⅰ)y=arctanex2；(Ⅱ)y=標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)當(dāng)x≠0時(shí)，由求導(dǎo)法則得f’(x)=；當(dāng)x=0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)定義得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)y=(1+x2)arctanx，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：將函數(shù)化為y=earctanxln(1+x2)，然后對(duì)x求導(dǎo)即得y’=(1+x2)arctsn[arctanxln(1+x2)]’=(1+x2)arctan知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y=f(x)可導(dǎo)，且y’≠0．若已知y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)可導(dǎo)，試由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出反函數(shù)求導(dǎo)公式.標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y=f(x)的反函數(shù)是x=φ(y)，則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求出：由y=f(φ(y))，兩邊對(duì)y求導(dǎo)得因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)a為常數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：繼續(xù)對(duì)x求導(dǎo)，并注意t是x的函數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(Ⅰ)設(shè)ex+y=y確定y=y(x)，求y’，y’’；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x+y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’≠1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意y是x的函數(shù)，將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)得ex+y(1+y’)=y’，即y’=(這里用方程ex+y=y化簡(jiǎn))再將y’的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo)得或?qū)⒌谋磉_(dá)式，同樣可求得(Ⅱ)y=y(x)由方程f(x+y)-y=0確定，f為抽象函數(shù)，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，則變成復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)問題．注意，f(x+y)及其導(dǎo)函數(shù)f’(x+y)均是x的復(fù)合函數(shù)．將y=f(x+y)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并注意y是x的函數(shù)，f是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有y’=f’.(1+y’)，即y’=(其中f’=f’(x+y))．又由y’=(1+y’)f’再對(duì)x求導(dǎo)，并注意y’是x的函數(shù)，f’即f’(x+y)仍然是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有y’’=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’x=y’’f’+(1+y’)f’’.(1+y’)=y’’f’+(1+y’)2f’’，將y’=代入并解出y’’即得(其中f’=f’(x+y)，f’’=f’’(x+y))．或直接由再對(duì)x求導(dǎo)，同樣可求得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)求f(x)在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中用到了等價(jià)無窮小因子替換：ln(1+x)-1(x→0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)求f’(1)與f’(-1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知f(1+0)==f(1)，f(-1-0)==f(-1)，故f(x)又可以寫成所以f’+(1)=f’-(1)=(arctanx)’｜x=1=f’+(-1)=(arctanx)’｜x=-1=f’-(-1)=因此f’(1)=f’(-1)=.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)=求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時(shí)，由求導(dǎo)法則得f’(x)=3x2sin當(dāng)x=0時(shí)，可用以下兩種方法求得f’(0)．顯然=0=f(0)，f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，又因此f’(0)=0．于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f2(x)，則f(n)(x)=_______(n＞2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f’(x)=f2(x)兩邊求導(dǎo)得f’’(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求導(dǎo)得f’’’(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可歸納證明f(n)(x)=n!fn+1(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求下列y(n)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn+1可被x+1整除，xn+1=(x+1)(xn-1-xn-2+…-x+1)=(xn-1-xn-2+…-x+1)-y(n)=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，xn除x+1得xn=(x+1)(xn-1-xn-2+…+x-1)+1y==xn-1-xn-2+…+x-1+，y(n)=0+(-1)n(Ⅱ)由于，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)y=sin4x，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(1-2cos2xcos22x)=(1+cos4x)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)y=x2e2x，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：用萊布尼茲法則并注意(x2)(k)=0(k=3，4，…)，(e2x)(k)=2ke2x，得y(n)=Cnk(x2)(k)(e2x)(n-k)=x2(e2x)(n)+n(x2)’(e2x)(n-1)+(x2)’’(e2x)(n-2)=2ne2x[x2+nx+n(n-1)]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分：(Ⅰ)設(shè)y=，求dy；(Ⅱ)設(shè)y=，求y’與y’(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)這是求連乘積的導(dǎo)數(shù)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法方便．因函數(shù)可取負(fù)值，先取絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù)得ln｜y｜=ln｜x-1｜+ln｜2-x｜．對(duì)x求導(dǎo)，得因此若只求y’(1)，用定義最簡(jiǎn)單．利用y(1)=0可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)y=∫0xet2dt+1，求它的反函數(shù)x=φ(y)的二階導(dǎo)數(shù)及φ’’(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由變限積分求導(dǎo)法先求得=ex2，再由反函數(shù)求導(dǎo)法得=e-x2，最后由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得=-2xe-x2.e-x2=-2xe-2x2．由原方程知y=1φ’’(1)=-2xe-2x2｜x=0=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：，將該式對(duì)x求導(dǎo)，右端先對(duì)t求導(dǎo)再乘上得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、求下列隱函數(shù)的微分或?qū)?shù)：(Ⅰ)設(shè)ysinx-cos(x-y)=0，求dy；(Ⅱ)設(shè)方程確定y=y(x)，求y’與y’’．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用一階微分形式不變性求得d(ysinx)-dcos(x-y)=0，即sinxdy+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0，整理得[sin(x-y)-sinx]dy=[ycosx+sin(x-y)]dx，故(Ⅱ)將原方程兩邊取對(duì)數(shù)，得等價(jià)方程ln(x2+y2)=arctan(*)現(xiàn)將方程兩邊求微分得化簡(jiǎn)得xdx+ydy=xdy-ydx，即(x-y)dy=(x+y)dx，由此解得為求y’’，將y’滿足的方程(x-y’)y’=x+y兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，即得(1-y’)y’+(x-y)y’’=1+y’代入y’表達(dá)式即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在點(diǎn)x=0處是否可導(dǎo)?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是分段函數(shù)，分界點(diǎn)x=0，其中左邊一段的表達(dá)式包括分界點(diǎn)，即x≤0，于是可得當(dāng)x≤0時(shí)，f’(x)=+2cos2x，x=0處是左導(dǎo)數(shù)：f’-(0)=2；當(dāng)x＞0時(shí)，又=f(0)，即f(x)在x=0右連續(xù)f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函數(shù)，x=0是分界點(diǎn)．為討論f’(x)在x=0處的可導(dǎo)性，要分別求f’+(0)與f’-(0)．同前可得按定義求f’’+(0)，則有因f’’+(0)≠f’’(0)，所以f’’(0)不存在，即f’(x)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、確定常數(shù)a和b，使得函數(shù)處處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在x=0處可導(dǎo)，得f(x)在x=0處連續(xù)．由表達(dá)式知，f(x)在x=0右連續(xù)．于是，f(x)在x=0連續(xù)(sinx+2aex)=2a=f(0)2a=-2b，即a+b=0．又f(x)在x=0可導(dǎo)f’+(0)=f’-(0)．在a+b=0條件下，f(x)可改寫成于是f’+(0)=[9arctanx+2b(x-1)3]’｜x=0=+6b(x-1)2]2｜x=0=9+6b，f’-(0)=(sinx+2aex)’｜x=0=1+2a．因此f(x)在x=0可導(dǎo)故僅當(dāng)a=1，b=-1時(shí)f(x)處處可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、已知y=∫11①其中t=t(x)由②確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由①式給出y=y(t)，由參數(shù)式②給出t=t(x)．于是y(t)與t=t(x)復(fù)合的結(jié)果y是x的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得是變限積分求導(dǎo)，求是參數(shù)式求導(dǎo)．由①式得．由②得因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計(jì)算）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、若極限=A，則函數(shù)f(x)在x=a處A、不一定可導(dǎo)．B、不一定可導(dǎo)，但f’+(a)=A．C、不一定可導(dǎo)，但f’-(a)=A．D、可導(dǎo)，且f’(a)=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只有極限存在并不能保證極限都存在，因此兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不一定存在，應(yīng)選(A)．2、設(shè)有多項(xiàng)式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又設(shè)x=x0是它的最大實(shí)根，則P’(x0)滿足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：注意P(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，又x＞x0時(shí)P(x)＞0P’(x0)選(D)．3、設(shè)f(x)=3x2+x2｜x｜，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n=A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：實(shí)質(zhì)上就是討論g(x)=x2｜x｜=的最高階數(shù)n．由于｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，因此n=2．選(C)．4、設(shè)f(x)=在x=0處可導(dǎo)，則a，b滿足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a為常數(shù)，b=0．D、a為常數(shù)，b=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：首先，f(x)在x=0連續(xù)=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可導(dǎo)f’+(0)=f’-(0)．當(dāng)b=0時(shí)，按定義求出f’+(0)=由求導(dǎo)法則知f’-(0)=(ax)’｜x=0=a．由f’+(0)=f’-(0)得a=0．因此選(A)．5、設(shè)f’(a)＞0，則，有A、f(x)≥f(a)(x∈(a-δ，a+δ))．B、f(x)≤f(a)(x∈(a-δ，a+δ))．C、f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a-δ，a))．D、f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a-δ，a))．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直接由定義出發(fā)f’(a)=＞0．由極限的保號(hào)性，當(dāng)x∈(a-δ，a+δ)，x≠a時(shí)＞0．f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a-δ，a))．因此選(C)．6、設(shè)則A、f(x)在x=0處不連續(xù)．B、f’(0)存在．C、f’(0)不，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，0)處不切線．D、f’(0)不，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，0)處有切線．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然=0=f(0)．又y=f(x)的圖形見圖2．1．因此，f’(0)不，y=f(x)在(0，0)切線x=0．選(D)．二、填空題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)7、設(shè)有長為12cm的非均勻桿AB，AM部分的質(zhì)量與動(dòng)點(diǎn)M到端點(diǎn)A的距離x的平方成正比，桿的全部質(zhì)量為360(g)，則桿的質(zhì)量表達(dá)式m(x)=_______，桿在任一點(diǎn)M處的線密度p(x)=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：x2；5x知識(shí)點(diǎn)解析：按題意，m(x)=kx2，令x=12，得360=k.122，則k=，從而m(x)=x2．在任一點(diǎn)M處的線密度為ρ(x)==5x．8、設(shè)f(x)=，則f’(1)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)是2014個(gè)因式的乘積，如果直接使用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)或者先求導(dǎo)再代值，都比較麻煩．其實(shí)，當(dāng)把x=1代入每個(gè)因式后，只有第一項(xiàng)-1=0，而其余所有項(xiàng)都不等于0．記g(x)=，于是從而9、若函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)存在，則極限=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：9f’(1)知識(shí)點(diǎn)解析：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成原式=f’(1)+2f’(1)+6f’(1)=9f’(1)．10、設(shè)f’(0)=1，f(0)=0，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)k為常數(shù)，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k知識(shí)點(diǎn)解析：原式==(xk)’｜x=1=k．12、設(shè)y=且f’(x)=arctanx2，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：y=f(n)，u=，u｜x=0=-1．13、設(shè)y=sinx2．則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用微分的商來求．14、設(shè)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f3(z)，則f(n)(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2n-1)!!f2n+1(x)知識(shí)點(diǎn)解析：f(2)(x)=3f2(x)f’(x)=3f5(x)，f(3)(x)=3.5f4(x)f’(x)=3．5f7(x)，可歸納證明f(n)(x)=(2n-1)!!f2n+1(x)．15、設(shè)y=ln(1+x2)，則y(5)(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：y為偶函數(shù)y(5)(x)為奇函數(shù)y(5)(0)=0．16、設(shè)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、曲線(x-1)3=2上點(diǎn)(5，8)處的切線方程是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=8+3(x-5)y=3x-7知識(shí)點(diǎn)解析：由隱函數(shù)求導(dǎo)法，將方程(x-1)3=y2兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得3(x-1)2=2yy’．令x=5，y=8即得y’(5)=3．故曲線(x-1)3=y2在點(diǎn)(5，8)處的切線方程是y=8+3(x-5)y=3x-7．18、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x-1知識(shí)點(diǎn)解析：與直線x+y=1垂直的直線族為y=x+c，其中c是任意常數(shù)，又因y=lnx上點(diǎn)(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)處的切線方程是y=lnx0+(x-x0)=x0+lnx0-1，從而，切線與x+y=1垂直的充分必要條件是x0=1，即該切線為y=x-1．19、曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)t=2處的切線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=3x-7知識(shí)點(diǎn)解析：t=2時(shí)(x，y)=(5，8)，=3．切線方程為y-8=3(x-5)，即y=3x-7．20、r=a(1+cosθ)在點(diǎn)(r，θ)=(2a，0)，，(0，π)處的切線方程分別為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，y-a=x，y=0知識(shí)點(diǎn)解析：參數(shù)方程則(Ⅰ)在點(diǎn)(r，θ)=(2a，0)處，(x，y)=(2a，0)，切線(Ⅱ)在點(diǎn)(r，θ)=處，(x，y)=(0，a)，=1，切線y-a=x．(Ⅲ)在點(diǎn)(r，θ)=(0，π)處，(x，y)=(0，0)，=0，切線y=0．21、在點(diǎn)M0處的法線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將方程對(duì)x求導(dǎo)在M0處y’=，法線方程為22、設(shè)函數(shù)f(x)=的導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則整數(shù)λ的取值為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≥4知識(shí)點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)定義可求得上述極限只在λ＞1時(shí)存在，且此時(shí)f’(0)=0，于是f(x)的導(dǎo)函數(shù)為欲使f’(x)在x=0處連續(xù)，必須有而這一極限為零應(yīng)滿足λ＞3．(λ=2，3時(shí)不存在．)因此，整數(shù)λ的取值為4，5，6，……即整數(shù)λ≥4．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)23、設(shè)y=y(x)由方程組確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組的第一個(gè)方程式對(duì)t求導(dǎo)得x’t=6t+2=2(3t+1)．將第二個(gè)方程對(duì)t求導(dǎo)并注意y=y(t)得y’teysint+eycost-y’t=0，整理并由方程式化簡(jiǎn)得y’t=因此，有于是，有注意：由(*)式得y｜t=0=1，由(**)式得=e．在上式中令t=0得知識(shí)點(diǎn)解析：這里y與x的函數(shù)關(guān)系由參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)給出，且．其中x=x(t)是顯式表示，易直接計(jì)算x’t，而y=y(t)由y與t的方程式確定，由隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y’t．24、設(shè)y=ln(3+7x-6x2)，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先分解y=ln(3-2x)(1+3x)=ln(3-2x)+ln(1+3x)y(n)=[ln(3-2x)](n)+[ln(1+3x)](n)．然后利用[ln(ax+b)](n)的公式得知識(shí)點(diǎn)解析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)將函數(shù)y分解為形如ln(ax+b)的對(duì)數(shù)函數(shù)之和，再用[ln(ax+b)](n)的公式即可得結(jié)果．25、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：按定義因此，f’+(O)=f’-(0)=0．因此f(x)在x=0可導(dǎo)，因而也必連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：我們可先討論f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．因?yàn)楫?dāng)f(x)在x=0可導(dǎo)或f’+(0)，f’-(0)均存在但不等時(shí)，均可得f(x)在x=0連續(xù)．由f(x)分段定義的具體形式，我們分別按定義求出f’+(0)，f’-(0)來討論f’(0)是否存在．26、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，f’’(0)存在．若求F’(x)，并證明F’(x)在(-∞，+∞)連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求F’(x)．當(dāng)x≠0時(shí)，由求導(dǎo)法則易求F’(x)，而F’(0)需按定義計(jì)算．于是然后討論F’(x)的連續(xù)性，當(dāng)x≠0時(shí)由連續(xù)性的運(yùn)算法則得到F’(x)連續(xù)，當(dāng)x=0時(shí)可按定義證明F’(x)=F’(0)，這是型極限問題，可用洛必達(dá)法則．即F’(x)在x=0也連續(xù)．因此，F(xiàn)’(x)在(-∞，+∞)連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、給定曲線y=x2+5x+4，(Ⅰ)確定b的值，使直線y=x+b為曲線的法線；(Ⅱ)求過點(diǎn)(0，3)的切線．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)曲線過任意點(diǎn)(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于x軸的法線方程是y=(x-x0)+y0．要使y=x+b為此曲線的法線，則，x02+5x0+4+=b．解得x0=-1，b=.(Ⅱ)曲線上任意點(diǎn)(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)處的切線方程是y=y0+(2x0+5)(x-x0)，(*)點(diǎn)(0，3)不在給定的曲線上，在(*)式中令x=0，y=3得x02=1，x0=±1，即曲線上點(diǎn)(1，10)，(-1，0)處的切線y=7x+3，y=3x+3，通過點(diǎn)(0，3)，也就是過點(diǎn)(0，3)的切線方程是y=7x+3與y=3x+3．知識(shí)點(diǎn)解析：關(guān)鍵是寫出該曲線上任意點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程y=y0+(2x0+5)(x-x0)，或不垂直于x軸的法線方程y=y0-(x-x0)，其中y0=x02+5x0+4，再根據(jù)題中的條件來確定x0．28、計(jì)算下列各題：(Ⅰ)設(shè)y=esin2x+(Ⅲ)設(shè)y=，其中a＞b＞0，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)ln｜y｜=ln(x2+2)，求導(dǎo)得(Ⅲ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、計(jì)算下列各題：(Ⅰ)設(shè)其中f(t)三階可導(dǎo)，且f’’(t)≠0，求(Ⅱ)設(shè)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、計(jì)算下列各題：(Ⅰ)由方程xy=yx確定x=x(y)，求(Ⅱ)方程y-xey=1確定y=y(x)，求y’’(x)；(Ⅲ)設(shè)2x-tan(x-y)=∫0x-ysec2tdt，求標(biāo)準(zhǔn)答案：利用多元函數(shù)微分學(xué)的方法：x=x(y)由方程F(x，y)=0確定，其中F(x，y)=xy-yx，直接代公式得．約去xy=yx得(Ⅱ)ey=yx，兩邊取對(duì)數(shù)得y=xlny．對(duì)x求導(dǎo)(注意y=y(x))將的表達(dá)式再對(duì)x求導(dǎo)得注意y=xlny，化簡(jiǎn)得(Ⅲ)注意y=y(x)，將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及變限積分求導(dǎo)法得2-(1-y’)=sec2(x-y)(1-y’)．sec2(x-u)(1-y’)=1，即1-y’=cos2(x-y)．①再對(duì)x求導(dǎo)-y’’=2cos(x-y)[-sin(x-y)](1-y’)．代入①式y(tǒng)’’=sin2(x-y)cos2(x-y)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)函數(shù)f(x)有反函數(shù)g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f’’(a)=2，求g’’(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記y=f(x)．應(yīng)注意到，g(x)為f(x)的反函數(shù)，已經(jīng)改變了變量記號(hào)，為了利用反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，必須將g(x)改寫為g(y)．由反函數(shù)求導(dǎo)公式有f’(x)g’(y)=1，將該等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f’’(x)g’(y)+f’(x)g’’(y)y’x=0，或f’’(c)g’(y)+[f’(x)]2g’’(y)=0．注意到g’(3)==1，在上式中令x=a，應(yīng)有y=3，因此得到g’’(3)=-f’’(a)g’(3)=-2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二次可導(dǎo)，令F(x)=求常數(shù)A，B，C的值使函數(shù)F(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二次可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任何常數(shù)A，B，C，由F(x)的定義及題設(shè)可知F(x)分別在(-∞，x0]，(x0，+∞)連續(xù)，分別在(-∞，x0)，(x0，+∞)二次可導(dǎo)．從而，為使F(x)在(-∞，+∞)二次可導(dǎo)，首先要使F(x)在x=x0右連續(xù)，由于F(x0-0)=f(x0)=f(x0)，F(xiàn)(x0+0)=C，故F(x)在(-∞，+∞)連續(xù)C=f(x0)．在C=f(x0)的情況下，F(xiàn)(x)可改寫成從而F’-(x0)=f’(x0)，F(xiàn)’+(x0)=B．故F(x)在(-∞，+∞)可導(dǎo)B=f’(x0)．在C=f(x0)，B=f’(x0)的情況下，F(xiàn)(x)可改寫成且進(jìn)而故F(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二次可導(dǎo)2A=f’’(x0)f’’(x0)．綜合得，當(dāng)A=f’’(x0)，B=f’(x0)，C=f(x0)時(shí)F(x)在(-∞，+∞)上二次可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、把y看作自變量，x為因變量，變換方程標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程中的來表示．由反函數(shù)求導(dǎo)法得．再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及反函數(shù)求導(dǎo)法將它們代入原方程知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)f(x)連續(xù)且=2，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)并討論φ’(x)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(x)的表達(dá)式中，積分號(hào)內(nèi)含參變量x，通過變量替換轉(zhuǎn)化成變限積分．x≠0時(shí)，φ(x)=∫01f(xt)d(xt)∫0xf(s)ds；x=0時(shí)，φ(0)=∫01f(0)dt=f(0)．由f(x)在x=0連續(xù)及因此求φ’(x)即求這個(gè)分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，x≠0時(shí)與變限積分求導(dǎo)有關(guān)，x=0時(shí)可按定義求導(dǎo)．因此最后考察φ’(x)的連續(xù)性．顯然，x≠0時(shí)φ’(x)連續(xù)，又即φ’(x)在x=0也連續(xù)，因此φ’(x)處處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計(jì)算）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)曲線y=x2+ax+b和2y=－1+xy3在點(diǎn)(1，－1)處相切，其中a，b是常數(shù)，則A、a=0，b=2．B、a=1，b=－3．C、a=－3，b=1．D、a=－1，b=－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(1，－1)處的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．將方程2y=－1+xy3對(duì)x求導(dǎo)得2y’=y3+3xy2y’．由此知，該曲線在(1，－1)處的斜率y’(1)為2y’(1)=(－1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因這兩條曲線在(1，－1)處相切，所以在該點(diǎn)它們的斜率相同，即2+a=1，a=－1．又曲線y=x2+ax+b過點(diǎn)(1，－1)，所以1+a+b=－1，b=－2－a=－1．因此選D．2、設(shè)f(x0)≠0，f(x)在x=x0連續(xù)，則f(x)在x0可導(dǎo)是｜f(x)｜在x0可導(dǎo)的()條件．A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x0)≠0=>f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)在x0某鄰域是保號(hào)的，且δ＞0，當(dāng)｜x－x0｜＜δ時(shí)，因此應(yīng)選B．3、設(shè)F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a連續(xù)但不可導(dǎo)，又g’(a)存在，則g(a)=0是F(x)在x=a可導(dǎo)的()條件．A、充分必要B、充分非必要C、必要非充分D、既非充分也非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：①因?yàn)棣铡?a)不存在，所以不能對(duì)g(x)φ(x)用乘積的求導(dǎo)法則；②當(dāng)g(a)≠0時(shí)，若F(x)在x=a可導(dǎo)，可對(duì)用商的求導(dǎo)法則．(Ⅰ)若g(a)=0，按定義考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反證法證明：若F’(a)存在，則必有g(shù)(a)=0．若g(a)≠0，由商的求導(dǎo)法則即知φ(x)=等在x=a可導(dǎo)，與假設(shè)條件φ(a)在x=a處不可導(dǎo)矛盾．因此應(yīng)選A．4、設(shè)f(x+1)=af(x)總成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1為非零常數(shù)，則f(x)在點(diǎn)x=1處A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(1)=a．C、可導(dǎo)且f’(1)=b．D、可導(dǎo)且f’(1)=ab．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：按定義考察f’(1)==af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，應(yīng)選D．5、若極限，則函數(shù)f(x)在x=a處A、不一定可導(dǎo)．B、不一定可導(dǎo)，但f’+(a)=A．C、不一定可導(dǎo)，但f’－(a)=A．D、可導(dǎo)，且f’(a)=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只有極限存在并不能保證極限都存在，因此兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不一定存在，應(yīng)選A．6、設(shè)f(x)=3x2+x2｜x｜，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n=A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：實(shí)質(zhì)上就是討論g(x)=x2｜x｜=時(shí)，g(n)(0)的最高階數(shù)n．由于｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，因此n=2．選C．7、設(shè)f’(a)＞0，則δ＞0，有A、f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．B、f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．C、f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．D、f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直接由定義出發(fā)f’(a)=＞0．由極限的保號(hào)性=>δ＞0，當(dāng)x∈(a－δ，a+δ)，x≠a時(shí)＞0．=>f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．因此選C．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)8、(Ⅰ)請(qǐng)用等價(jià)、同階、低階、高階回答：設(shè)f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，則Ax→0時(shí)f(x)在x=x0處的微分與△x比較是()無窮小，△y=f(x0+△x)－f(x0)與△x比較是()無窮小，△y－df(x)與△x比較是()無窮?。?Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x)可微，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線y=2－x垂直，則=(A)－1．(B)0．(C)1．(D)不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)同階、同階、高階(Ⅱ)(B)知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)df(x)=f’(x0)=△x，由=f’(x0)≠0。知這時(shí)df(x)與△x是同階無窮小量；按定義=f’(x0)≠0，故△y與△x也是同階無窮小量；按微分定義可知差△y－df(x)=o(△x)(△x→0)是比△x高階的無窮?。?Ⅱ)由題設(shè)可知f’(x0)=1，又△y－dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是=0，故應(yīng)選B．9、設(shè)y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，則dy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用一階微分形式不變性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=10、設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f2(x)，則f(n)(x)=_______(n＞2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：n！fn+1(x)知識(shí)點(diǎn)解析：將f’(x)=f2(x)兩邊求導(dǎo)得f"(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求導(dǎo)得f"’(x)=3！f2(x)f’(x)=3！f4(x)．由此可歸納證明f(n)(x)=n！fn+1(x)．11、設(shè)f(x)=，則f’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)是2014個(gè)因式的乘積，如果直接使用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)或者先求導(dǎo)再代值，都比較麻煩．其實(shí)，當(dāng)把x=1代入每個(gè)因式后，只有第一項(xiàng)－1=0，而其余所有項(xiàng)都不等于0．記，于是12、設(shè)f’(0)=1，f(0)=0，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原式=13、設(shè)y=且f’(x)=arctanx2，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：y=f(u)，u=，u｜x=0=－1．14、設(shè)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f3(x)，則f(n)(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2n－1)?。2n+1(x)知識(shí)點(diǎn)解析：f(2)(x)=3f2(x)f’(x)=3f5(x)，f(3)(x)=3.5f4(x)f’(x)=3.5f7(x)，可歸納證明f(n)(x)=(2n－1)??！f2n+1(x)．15、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x－1知識(shí)點(diǎn)解析：與直線x+y=1垂直的直線族為y=x+c，其中c是任意常數(shù)，又因y=lnx上點(diǎn)(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)處的切線方程是y=lnx0++lnx0－1，從而，切線與x+y=1垂直的充分必要條件是=1<=>x0=1，即該切線為y=x－1．17、r=a(1+cosθ)在點(diǎn)(r，θ)=(2a，0)，(a，)，(0，π)處的切線方程分別為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：；y－a=x；y=0知識(shí)點(diǎn)解析：參數(shù)方程則(Ⅰ)在點(diǎn)(r，θ)=(2a，0)處，(x，y)=(2a，0)，切線x=(Ⅱ)在點(diǎn)(r，θ)=處，(x，y)=(0，a)，=1，切線y－a=x．(Ⅲ)在點(diǎn)(r，θ)=(0，π)處，(x，y)=(0，0)，=0，切線y=0．18、設(shè)函數(shù)f(x)=的導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則整數(shù)λ的取值為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≥4知識(shí)點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)定義可求得上述極限只在λ＞1時(shí)存在，且此時(shí)f’(0)=0，于是f(x)的導(dǎo)函數(shù)為欲使f’(x)在x=0處連續(xù)，必須有而這一極限為零應(yīng)滿足λ＞3．(λ=2，3時(shí)不存在．)因此，整數(shù)λ的取值為4，5，6，……即整數(shù)λ≥4．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)19、說明下列事實(shí)的幾何意義：(Ⅰ)函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且有=∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點(diǎn)M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切．(Ⅱ)點(diǎn)x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)．曲線y=f(x)在點(diǎn)M0(x0，f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0(見圖2．1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=1，f’(a)=3，求數(shù)列極限ω=標(biāo)準(zhǔn)答案：這是指數(shù)型數(shù)列極限，先轉(zhuǎn)化成其指數(shù)是型數(shù)列極限，用等價(jià)無窮小因子替換，由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)定義知因此ω=e6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)y=f(x)可導(dǎo)，且y’≠0．(Ⅰ)若已知y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)可導(dǎo)，試由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出反函數(shù)求導(dǎo)公式；(Ⅱ)若又設(shè)y=f(x)二階可導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)y=f(x)的反函數(shù)是x=φ(y)，則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求出：由y=f(φ(y))，兩邊對(duì)y求導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、(Ⅰ)設(shè)ex+y=y確定y=y(x)，求y’，y"；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x+y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’≠1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意y是x的函數(shù)，將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)得ex+y(1+y’)=)=y’，即(這里用方程ex+y=y化簡(jiǎn))再將y’的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo)得(Ⅱ)y=y(x)由方程f(x+y)－y=0確定，f為抽象函數(shù)，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，則變成復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)問題．注意，f(x+y)及其導(dǎo)函數(shù)f’(x+y)均是x的復(fù)合函數(shù)．將y=f(x+y)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并注意y是x的函數(shù)，f是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有y’=f’.(1+y’)，即y’=(其中f’=f’(x+y))．又由y’=(1+y’)f’再對(duì)x求導(dǎo)，并注意y’是x的函數(shù)，f’即f’(x+y)仍然是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有y"=(1+y’)f’+(1+y’)(f’)x’=y"f’+(1+y’)f".(1+y’)=y"f’+(1+y’)2f"，將y’=代入并解出y"即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)=求f’(1)與f’(－1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知f(1+0)==f(1)，f(－1－0)==f(－1)，故f(x)又可以寫成知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)y=sin4x，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)y=+1，求它的反函數(shù)x=φ(y)的二階導(dǎo)數(shù)及φ"(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由變限積分求導(dǎo)法先求得，再由反函數(shù)求導(dǎo)法得，最后由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得由原方程知y=1<=>x=0=>φ"(1)==0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求下列隱函數(shù)的微分或?qū)?shù)：(Ⅰ)設(shè)ysinx－cos(x－y)=0，求dy；(Ⅱ)設(shè)方程確定y=y(x)，求y’與y"．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用一階微分形式不變性求得d(ysinx)－dcos(x－y)=0，即sinxdy+ycosxdx+sin(x－y)(dx－dy)=0，整理得[sin(x－y)－sinx]dy=[ycosx+sin(x－y)]dx，故(Ⅱ)將原方程兩邊取對(duì)數(shù)，得等價(jià)方程現(xiàn)將方程兩邊求微分得化簡(jiǎn)得xdx+ydy=xdy－ydx，即(x－y)dy=(x+y)dx，由此解得為求y"，將y’滿足的方程(x－y)y’=x+y兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，即得代入y’表達(dá)式即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、確定常數(shù)a和b，使得函數(shù)f(x)=處處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在x=0處可導(dǎo)，得f(x)在x=0處連續(xù)．由表達(dá)式知，f(x)在x=0右連續(xù)．于是，f(x)在x=0連續(xù)<=>=2a=f(0)=>2a=－2b，即a+b=0．又f(x)在x=0可導(dǎo)<=>f’+(0)=f’－(0)．在a+b=0條件下，f(x)可改寫成于是f’+(0)=[9arctanx+2b(x－1)3]’｜x=0==9+6b，f’－(0)=(sinx+2aex)’｜x=0=1+2a．因此f(x)在x=0可導(dǎo)故僅當(dāng)a=1，b=－1時(shí)f(x)處處可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)y=y(x)由方程組(*)確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組的第一個(gè)方程式對(duì)t求導(dǎo)得x’t=6t+2=2(3t+1)．將第二個(gè)方程對(duì)t求導(dǎo)并注意y=y(t)得y’teysint+eycost－y’t=0，整理并由方程式化簡(jiǎn)得y’t=(**)注意：由(*)式得y｜t=0=1，由(**)式得=e．在上式中令t=0得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、討論函數(shù)f(x)=在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：按定義因此，f’+(0)=f’－(0)=0．因此f(x)在x=0可導(dǎo)，因而也必連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、給定曲線y=x2+5x+4，(Ⅰ)確定b的值，使直線y=+b為曲線的法線；(Ⅱ)求過點(diǎn)(0，3)的切線．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)曲線過任意點(diǎn)(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于x軸的法線方程是要使y=+b為此曲線的法線，則(Ⅱ)曲線上任意點(diǎn)(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)處的切線方程是y=y0+(2x0+5)(x－x0)，(*)點(diǎn)(0，3)不在給定的曲線上，在(*)式中令x=0，y=3得x02=1，x0=±1，即曲線上點(diǎn)(1，10)，(－1，0)處的切線y=7x+3，y=3x+3，通過點(diǎn)(0，3)，也就是過點(diǎn)(0，3)的切線方程是y=7x+3與y=3x+3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、計(jì)算下列各題：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x)反函數(shù)g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f"(a)=2，求g"(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記y=f(x)．應(yīng)注意到，g(x)為f(x)的反函數(shù)，已經(jīng)改變了變量記號(hào)，為了利用反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，必須將g(x)改寫為g(y)．由反函數(shù)求導(dǎo)公式有f’(x)g’(y)=1，將該等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0，或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g"(y)=0．注意到g’(3)==1，在上式中令x=0，應(yīng)有y=3，因此得到g"(3)=－f"(a)g’(3)=－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、把y看作自變量，x為因變量，變換方程=x．標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程中的來表示．由反函數(shù)求導(dǎo)法得．再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及反函數(shù)求導(dǎo)法=>將它們代入原方程=>知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計(jì)算）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)=0，則f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可導(dǎo)的()條件．A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按定義｜f(x)｜在x0可導(dǎo)<=>存在，即均存在且相等因此應(yīng)選B．2、函數(shù)f(x)=(x2－x－2)｜x3－x｜的不可導(dǎo)點(diǎn)有A、3個(gè)．B、2個(gè)．C、1個(gè)．D、0個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)｜x｜，｜x－1｜，｜x+1｜分別僅在x=0，x=1，x=－1不可導(dǎo)且它們處處連續(xù)．因此只需在這些點(diǎn)考察f(x)是否可導(dǎo)。按定義考察．在x=0處，，于是故f’+(0)≠f’－(0)．因此f(x)在x=0不可導(dǎo)．故f’+(1)≠f’－(1)．因此f(x)在x=1不可導(dǎo)．因此f(x)在x=－1可導(dǎo)．應(yīng)選B．3、設(shè)有多項(xiàng)式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又設(shè)x=x0是它的最大實(shí)根，則P’(x0)滿足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：注意P(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，又=+∞=>x＞x0時(shí)P(x)＞0=>選D．4、設(shè)f(x)=在x=0處可導(dǎo)，則a，b滿足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a為常數(shù)，b=0．D、a為常數(shù)，b=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：首先，f(x)在x=0連續(xù)<=>=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可導(dǎo)<=>f’+(0)=f’－(0)．當(dāng)b=0時(shí)，f(x)=按定義求出f’－(0)==0．由求導(dǎo)法則知f’－(0)=(ax)’｜x=0=a．由f’+(0)=f’－(0)得a=0．因此選A．5、設(shè)f(x)=則A、f(x)在x=0處不連續(xù)．B、f’(0)存在．C、f’(0)不，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，0)處不切線．D、f’(0)不，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，0)處有切線．標(biāo)準(zhǔn)答案：CD知識(shí)點(diǎn)解析：顯然=0=f(0)．又y=f(x)的圖形見圖2．1．因此，f’(0)不，y=f(x)在(0，0)切線x=0．選D．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、對(duì)數(shù)螺線r=eθ在點(diǎn)(r，θ)=處的切線的直角坐標(biāo)方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=－x．知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)數(shù)螺線的參數(shù)方程為于是它在點(diǎn)處切線的斜率為當(dāng)θ=時(shí)x=0，y=．因此該切線方程為y=－x．7、設(shè)有長為12cm的非均勻桿AB，AM部分的質(zhì)量與動(dòng)點(diǎn)M到端點(diǎn)A的距離x的平方成正比，桿的全部質(zhì)量為360(g)，則桿的質(zhì)量表達(dá)式m(x)=________，桿在任一點(diǎn)M處的線密度ρ(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：、5x．知識(shí)點(diǎn)解析：按題意，m(x)=kx2，令x=12，得360=k.122，則k=，從而m(x)=．在任一點(diǎn)M處的線密度為ρ(x)==5x．8、若函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)存在，則極限=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：9f’(1)知識(shí)點(diǎn)解析：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成9、設(shè)k為常數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k知識(shí)點(diǎn)解析：原式=10、設(shè)y=sinx2，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)u=x3，則，于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即得11、設(shè)y=ln(1+x2)，則y(5)(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：y為偶函數(shù)=>y(5)(x)為奇函數(shù)=>y(5)(0)=0．12、曲線(x－1)3=y2上點(diǎn)(5，8)處的切線方程是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=3x－7知識(shí)點(diǎn)解析：由隱函數(shù)求導(dǎo)法，將方程(x－1)3=y2兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得3(x－1)2=2yy’．令x=5，y=8即得y’(5)=3．故曲線(x－1)3=y2在點(diǎn)(5，8)處的切線方程是y=8+3(x－5)<=>y=3x－7．13、曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)t=2處的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=3x－7知識(shí)點(diǎn)解析：t=2時(shí)(x，y)=(5，8)，切線方程為y－8=3(x－5)，即y=3x－7．14、=1在點(diǎn)M0(2a，)處的法線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將方程對(duì)x求導(dǎo)=>在M0處y’=，法線方程為三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)15、判斷下列結(jié)論是否正確?為什么?(Ⅰ)若函數(shù)f(x)，g(x)均在x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，則f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0－δ，x0+δ，x≠x0時(shí)f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x=x0處有相同的可導(dǎo)性；(Ⅲ)若存在x0的一個(gè)鄰域(x0－δ，x0+δ)，使得x∈(x0－δ，x0+δ)時(shí)f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x0處有相同的可導(dǎo)性．若可導(dǎo)，則f’(x0)=g’(x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)不正確．函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性不僅與該點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，還與該點(diǎn)附近的函數(shù)值有關(guān)．僅有f(x0)=g(x0)不能保證f’(x0)=g’(x0)．正如曲線y=f(x)與y=g(x)可在某處相交但并不相切．(Ⅱ)不正確．例如f(x)=x2，g(x)=顯然，當(dāng)x≠0時(shí)f(x)=g(x)，但f(x)在x=0處可導(dǎo)，而g(x)在x=0處不可導(dǎo)(因?yàn)間(x)在x=0不連續(xù))．(Ⅲ)正確．由假設(shè)可得當(dāng)x∈(x0－δ，x0+δ)，x≠x0時(shí)故當(dāng)x→x0時(shí)等式左右端的極限或同時(shí)存在或同時(shí)不存在，而且若存在則相等．再由導(dǎo)數(shù)定義即可得出結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處存在f’+(x0)與f’－(x0)，但f’+(x0)≠f’－(x0)，說明這一事實(shí)的幾何意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)．曲線在點(diǎn)M0(x0，f(x0))處存在左、右切線，且左、右切線有一個(gè)夾角(M0是曲線y=f(x)的尖點(diǎn))，見圖2．2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f’(x)存在，求極限，其中a，b為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y’：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)y’=(Ⅱ)當(dāng)x≠0時(shí)，由求導(dǎo)法則得f’(x)=；當(dāng)x=0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)定義得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y=(1+x2)arctanx，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：將函數(shù)化為y=，然后對(duì)x求導(dǎo)即得y’=(1+x2)arctanx[arctanxln(1+xarctanx)]’=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)a為常數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：繼續(xù)對(duì)x求導(dǎo)，并注意t是x的函數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=求f(x)在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答