考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共131題）

考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷1（共5套）（共131題）考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知f(x，y)=，則()A、fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在。B、fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在。C、fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)不存在。D、fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以fy’(0，0)存在。故選B。2、函數(shù)f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微的充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由fx’(x，y)=fx’(0，0)，且有fy’(x，y)=fy’(0，0)，可知，f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)fx’(x，y)和fy’(x，y)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)，因此f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微。故選D。3、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零。D、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，故有fx’(x0，y0)=0,fy’(x0，y0)=0。又由fx’(x0，y0)=f(x0，y)｜y=y0，可知B正確。4、=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合二重積分的定義可得5、設(shè)f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則=f(x，y)dσ()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于f(0，0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理知f(x，y)dσ=πa2f(ξ，η)，(ξ，η)∈D，6、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x，y)dx。B、∫eyedy∫01f(x，y)dx。C、∫0lnxdy∫1ef(x，y)dx。D、∫01dy∫eyef(x，y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx。7、累計(jì)積分dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可以寫成()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分∫0dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可知，積分區(qū)域D為D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ，0≤θ≤)。由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖1—4—7所示。該圓的直角坐標(biāo)方程為。故用直角坐標(biāo)表示區(qū)域D為D={(x，y)｜0≤y≤，0≤y≤1}，或D=可見A、B、C均不正確，故選D。8、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=xy+f(μ，ν)dμdν，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xy。B、2xy。C、xy+。D、xy+1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：等式f(x，y)=xy+兩端積分得二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則fx’(0，1，一1)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’。在等式x+y+z＋xyz=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)可得1+zx’+yz+xyzx’=0。由x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0。故fx’(0，1，一1)=e0=1。10、沒函數(shù)f(μ)可微，且f’(0)=，則z=f(4x2一y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分dz｜(1，2)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx一2dy知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用微分的形式計(jì)算，因?yàn)?1、設(shè)z==_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(ln2—1)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)則z=μν，所以12、設(shè)z=xf(μ)+g(μ)，μ=，且f(μ)及g(μ)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則13、二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，fx’=2x(2+y2)，fy’=2x2y+lny+1。由。又所以B2一AC=一2e(2+)＜0，則A＞0。故f(0，)是f(x，y)的極小值，且。14、交換積分次序=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02dyf(x，y)dx知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖1—4—13所示，則有15、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則(x2一y)dxdy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用函數(shù)奇偶性及輪換對(duì)稱性16、csc2ydxdy=_________，其中D由y軸，y=，y=arctanx圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)17、設(shè)z=。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知分別帶入可得=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知函數(shù)f(μ，ν)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，f(1，1)=2是f(μ，ν)的極值，已知z=f[(x+y)，f(x，y)]。求。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?f1’[(x+y)，f(x，y)]+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)，所以=f11’’[(x+y)，f(x，y)]+f12’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)+f21’’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)+f22’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)．f1’(x，y)+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f12’’(x，y)，又因?yàn)閒(1，1)=2是f(μ，ν)的極值，故f1’(1，1)=0，f2’(1，1)=0。因此=f11’’(2，2)+f12’’(2，2)．f2’(1，1)+f21’’(2，2)．f1’(1，1)+f22’’(2，2)．f2’(1，1)．f1’(1，1)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)=f11’’(2，2)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(μ)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z=滿足等式=0。19、驗(yàn)證f’’(μ)+=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)μ=，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、若f(1)=0，f’(1)=1，求函數(shù)f(μ)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f’(μ)=p，則p’+=0，分離變量得，兩邊積分得lnp=一lnμ+lnC1，即。由f’(1)=1可得C1=1。對(duì)等式f’(μ)=兩邊積分得f(μ)=lnu+C2，由f(1)=0可得C2=0，故f(μ)=lnμ。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求f(x，y)=xe一的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求函數(shù)f(x，y)=xe一的駐點(diǎn)，fx’(x，y)=e一x=0，fy’(x，y)=一y=0，解得函數(shù)f(x，y)的駐點(diǎn)為(e，0)。又A=fxx’’(e，0)=一1，B=fxy’’(e，0)=0，C=fyy’’(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0。故f(x，y)在點(diǎn)(e，0)處取得極大值，f(e，0)=e2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求函數(shù)μ=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：可以利用拉格朗日乘數(shù)法求極值，兩個(gè)約束條件的情況下，作拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，且令解方程組得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。代入原函數(shù)，求得最大值為72，最小值為6。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成。計(jì)算x2dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知?jiǎng)t有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算(xy2+3exsiny)dσ，其中D：x2+y2≤2x。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，3exsiny關(guān)于y為奇函數(shù)，故(xy2+3exsiny)dσ=xy2dσ。對(duì)該積分利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1一x}}。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1一4—20所示，在極坐標(biāo)中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=計(jì)算二重積分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，所以f(x，y)dσ=f(x，y)dσ，其中D1為D在第一象限內(nèi)的部分。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，計(jì)算二重積分I=。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—24所示。因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)f(x，y)=是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)g(x，y)=是變量y的奇函數(shù)。則取D1=D∩{y≥0}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在。B、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有fx’(0，0)==0，由對(duì)稱性知fy’(0，0)=0，而上式極限不存在。事實(shí)上，故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微。應(yīng)選B。2、考慮二元函數(shù)f(x，y)的四條性質(zhì)：①f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)；②f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；③f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微；④f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x，y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，而f(x，y)可微是其連續(xù)的充分條件，因此正確選項(xiàng)為A。3、設(shè)z=f(xy)，其中函數(shù)f可微，則=()A、2yf’(xy)。B、一2yf’(xy)。C、f(xy)。D、f(xy)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先根據(jù)函數(shù)求出偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式，再將結(jié)果代入應(yīng)該選A。4、設(shè)f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數(shù)，且φ’’(x，y)≠0。已知(x0，y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是()A、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)=0。B、若fx’(x0，y0)=0，則fy’(x0，y0)≠0。C、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)=0。D、若fx’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)，若fx’(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φx’(x0，y0)=0。當(dāng)λ=0時(shí)，由(2)得fy’(x0，y0)=0，但λ≠0時(shí)，由(2)及φy’(x0，y0)≠0得fy’(x0，y0)≠0因而A，B錯(cuò)誤。若fx’(x0，y0)≠0，由(1)，則λ≠0，再由(2)及φy’(x0，y0)≠0，則fy’(x0，y0)≠0。5、設(shè)D是圓域Dk={(x，y)｜x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記Ik=(y一x)dxdy(k=1，2，3，4)，則()A、I1＞0。B、I2＞0。C、I3＞0。D、I4＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知所以，I1=I3=0，I2=，應(yīng)該選B。6、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則∫12dx∫x2f(x，y)dy+∫12dy∫y4－yf(x，y)dx=()A、∫12dx∫14－xf(x，y)dy。B、∫12dx∫x4－xf(x，y)dy。C、∫12dy∫14－yf(x，y)dx。D、∫12dy∫y2f(x，y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∫12dx∫x2f(x，y)dy+∫12dy∫y4－yf(x，y)dx的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠?如圖1—4-4)：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}，將其寫成一個(gè)積分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}。故二重積分可以表示為∫12dy∫14－yf(x，y)dx，故答案為C。7、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則dθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知，積分區(qū)域D如圖1—4—6所示，則原式=，故選C。8、設(shè)區(qū)域D由曲線y=sinx，x=±，y=1圍成，則(x5y一1)dxdy=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D如圖l一4—9中陰影部分所示，引入曲線y=一sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2關(guān)于y軸對(duì)稱，可知在D1∪D2上關(guān)于x的奇函數(shù)積分為零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4關(guān)于x軸對(duì)稱，可知在D3∪D4上關(guān)于y的奇函數(shù)為零，故x5ydsdy=0。因此=－π。故選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)滿足=0，則dz｜(0，1)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx一dy知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)=0以及函數(shù)z的連續(xù)性可知f(0，1)=1，從而已知的極限可以轉(zhuǎn)化為=0?；蛘遞(x，y)一f(0，1)=2x一(y一1)+。根據(jù)可微的定義，f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處是可微的，且有fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=一1，dz｜(0，1)=2dx－dy。10、設(shè)函數(shù)f(μ)可微，且f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(diǎn)(1，1)處的全微分dz｜(1，1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4(dx+dy)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(1，1)=f’(2)(2dx＋2dy)=4(dx+dy)。11、設(shè)函數(shù)z=，則dz｜(1，1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+2ln2)dx一(1+2ln2)dy知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(x，y，z)=，則df(x，y，z)｜(1，1，1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：dx一dy知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x，y，z)=，有l(wèi)nf=(lnx—lny)，兩邊分別對(duì)x、y,z求偏導(dǎo)，得代入點(diǎn)(1，1，1)，得fx’=1，fy’=－1，fz’=0，故df(x，y，z)｜(1，1，1)=dx—dy。13、設(shè)函數(shù)f(μ，ν)由關(guān)系式f[xg(y)，y]=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)≠0，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令μ=xg(y)，ν=y，則f(μ，ν)=+g(ν)，所以，14、積分∫01dxdy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1一sin1知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D如圖1—4—12所示，=∫01(1一y)sinydy=1一sin1。15、設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分xydσ=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：通過直角坐標(biāo)變換求解，已知直線和圓的交點(diǎn)為(1，1)，上半圓周的方程為y=1+。因此直角坐標(biāo)區(qū)域?yàn)镈：0≤x≤1，x≤y≤1+。所以可得16、設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則min{x，y}dxdy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，min{x，y}dxdy=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)17、設(shè)z=f(x，y)，x=g(y，z)+φ()，其中f，g，φ在其定義域內(nèi)均可微，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(x，y)，有dz=f1’dx+f2’dy。由x=g(y，z)+φ()有dx=g1’dy+g2’dz+φ’．，dy=，代入出表達(dá)式中，得，其中分母不為0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出與。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f1’+f2’+yf3’，=f1’一f2’+xf3’，所以dz==(f1’+f2’+yf3’)dx+(f1’一f2’+xf3’)dy，=f11’’．1+f12’’．(一1)+f13’’．x+f21’’．1+f22’’．(一1)+f23’’．x+f3’+y[f31’’．1+f32’’．(一1)+f33’’．x]=f3’+f11’’一f22’’+xyf33’’+(x+y)f13’’+(x一y)f23’’。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中φ具有二階導(dǎo)數(shù)且φ'≠一1。19、求dz；標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程兩端同時(shí)求導(dǎo)得2xdx+2ydy一dz=φ’(x+y+z)．(dx+dy+dz)，整理得(φ’+1)dz=(一φ’+2x)dx+(一φ’+2y)dy，因此dz=(因?yàn)棣铡僖?)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、記μ(x，y)=。標(biāo)準(zhǔn)答案：由第(I)問可知，，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(μ)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程=e2xz，求f(μ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f’(μ)exsiny，=f’(μ)excosy，=f’(μ)exsiny+f’’(μ)e2xsin2y，=一f’(μ)exsiny+f’’(μ)e2xcos2y，代入方程=e2xz中，得到f’’(μ)一f(μ)=0，解得f(μ)=C1eμ+C2e－μ，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求曲線x3一xy+y3=1(x≥0，Y≥0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離與最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)L(x，y)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1)，令得唯一駐點(diǎn)x=1，y=1，即M1(1，1)。考慮邊界上的點(diǎn)，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數(shù)f(x，y)=在三點(diǎn)的取值分別為f(1，1)=，f(0，1)=1，f(1，0)=1，因此可知最長(zhǎng)距離為，最短距離為1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在橢圓域D={(x，y)｜x2+≤1}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知=一2y，于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令=0得可能極值點(diǎn)為x=0，y=0。且A=B2一AC=4＞0，所以點(diǎn)(0，0)不是極值點(diǎn)，也不可能是最值點(diǎn)。下面討論其邊界曲線x2+=1上的情形，令拉格朗日函數(shù)為F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+一1)，解得可能極值點(diǎn)x=0，y=2，λ=4；x=0，y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。將其分別代入f(x，y)得，f(0，±2)=一2，f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)｜x2+≤1}內(nèi)的最大值為3，最小值為一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算二重積分I=ydxdy，其中D是由x軸，y軸與曲線=1所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—17的陰影部分所示。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求二重積分ydσ，其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—19所示，D的極坐標(biāo)表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)。計(jì)算二重積分xy[1+x2+y2]dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1=｛(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0｝，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)二重積分區(qū)域?yàn)镈，D1是D的第一象限部分，由對(duì)稱性，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知fx’(x0，y0)存在，則=()A、fx’(x0，y0)。B、0。C、2fx’(x0，y0)。D、fx’(x0，y0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意=fx’(x0，y0)+fx’(x0，y0)=2fx’(x0，y0)，故選C。2、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的一個(gè)充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：按可微性定義，f(x，y)在(0，0)處可微題中的C項(xiàng)即A=B=0的情形。故選C。3、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對(duì)任意x，y都有＜0，則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個(gè)充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由，需對(duì)x和y分開考慮，則已知的兩個(gè)不等式分別表示函數(shù)f(x，y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x1＜x2，y1＞y2時(shí)，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，故選D。4、設(shè)，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則()A、I3＞I2＞I1。B、I1＞I2＞I3。C、I2＞I1＞I3。D、I3＞I1＞I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。已知函數(shù)cosx在(0，)上為單調(diào)減函數(shù)，于是0≤≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2，故應(yīng)選A。5、設(shè)函數(shù)f(μ)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，則f(xy)dxdy等于()A、∫－11dxf(xy)dy。B、2∫02dyf(x，y)dx。C、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。D、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}(如圖1—4—3)。在直角坐標(biāo)系下，故排除A、B兩個(gè)選項(xiàng)。在極坐標(biāo)系下f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，因此正確答案為D。6、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，若F(μ，ν)=dxdy，其中區(qū)域Dμν為圖1—4—1中陰影部分，則=()A、νf(μ2)。B、f(μ2)。C、νf(μ)。D、f(μ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)圖象中所示區(qū)域用極坐標(biāo)表示為0≤θ≤ν，1≤r≤μ。因此可知F(μ，ν)==ν∫1μf(r2)dr，根據(jù)變限積分求導(dǎo)可得=νf(μ2)。7、f(rcosθ，rsinθ)rdr(a＞0)，則積分域?yàn)?)A、x2+y2≤a2。B、x2＋y2≤a2(x≥0)。C、x2＋y2≤ax。D、x2＋y2≤ax(y≥0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，故選C。8、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=，其中D表示區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因此應(yīng)選C。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、設(shè)z==________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知：10、設(shè)z=f(lnx+)，其中函數(shù)f(μ)可微，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗?0。11、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)(xy≠0)滿足f(xy，)=y2(x2一1)，則dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2x—y)dx—xdy知識(shí)點(diǎn)解析：利用變量替換，設(shè)xy=μ，=ν，則有x2=，y2=μν，f(μ，ν)=μν(一1)=μ2一μν，即f(x，y)=x2一xy，因此dz=(2x—y)dx—xdy。12、設(shè)z=f(xy)+yφ(x+y)，f，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可得：f’(xy)+yφ’(x+y)，f’(xy)+yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)=yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)。13、設(shè)=一siny+，且z(1，y)=siny，則z(x，y)=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2一x)siny+知識(shí)點(diǎn)解析：由，有z(x，y)=∫(－siny+)dx=一xsiny一ln｜1一xy｜+g(y)。又根據(jù)已知可得z(1，y)=一siny—ln｜1一y｜+g(y)=siny，g(y)=2siny+ln｜1—y｜，從而z(x，y)=(2一x)siny+。14、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x，y)=∫1xdμ∫0yμf(tμ)g()dt，則=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：xg()f(x2y)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镕(x，y)=∫1xdμf(tμ)g()dt，于是15、D是頂點(diǎn)分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則(1+x)sinydσ=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：+sin1+cos1一2sin2一cos2知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則(1+x)sinydσ=∫01dx∫01＋xsinydy=∫01(1+x)一(1+x)cos(1+x)dx，利用換元法，令1+x=t，x∈[0，1]時(shí)，t∈[1，2]，則(1+x)sinydσ=∫12[t－tcost]dt=+sin1+cos1一2sin2一cos2。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)16、證明可微的必要條件：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則fx’(x0，y0)與fy’(x0，y0)都存在，且=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則等式△z=A△x+B△y+成立。令△y=0，于是，令=B，于是證明了fx’(x0，y0)與fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求。而且f(x)是一元函數(shù)f(μ)與二元函數(shù)μ=xy的復(fù)合，μ是中間變量；φ(xy)是一元函數(shù)φ(ν)與二元函數(shù)ν=x+y的復(fù)合，ν是中間變量。由于方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得+φ(x+y)+yφ’(x+y)(x+y)=f’(xy)+φ(x+y)+yφ’(x+y)，=yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)z=f[xy，yg(x)]，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f1’[xy，yg(x)]y+f2’[xy，yg(x)]yg’(x)，=f11’’[xy，yg(x)]xy+f12’’[xy，yg(x)]yg(x)+f1’[xy，yg(x)]+f21’’[xy，yg(x)]xyg’(x)+f22’’[xy，yg(x)]yg(x)g’(x)+f2’[xy，yg(x)]g’(x)。由g(x)在x=1處取得極值g(1)=1，可知g’(1)=0。故=f11’’[1，g(1)]+f12’’[1，g(1)]g(1)+f1’[1，g(1)]+f21’’[1，g(1)]g’(1)+f22’’[1，g(1)]g(1)g’(1)+f2’[1，g(1)]g’(1)=f11’’(1，1)+f12’’(1，1)+f1’(1，1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x，y)=3x+4y—αx2一2αy2一2βxy。試問參數(shù)α，β滿足什么條件時(shí)，函數(shù)有唯一極大值?有唯一極小值?標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)取得極值的必要條件，得方程組系數(shù)行列式△=4(2α2一β2)，所以當(dāng)△≠0時(shí)，f(x，y)有唯一駐點(diǎn)，即B2一AC=4β2一8α2=一4(2α2一β2)。當(dāng)B2一AC＜0，即2α2一β2＞0時(shí)，f(x，y)有極值，且當(dāng)A=一2α＞0時(shí)，即α＜0時(shí)，f(x，y)有極小值；當(dāng)A=一2α＜0時(shí)，即α＞0時(shí)，f(x，y)有極大值。綜上分析，得當(dāng)2α2－β2＞0且α＜0時(shí)有唯一極小值；當(dāng)2α2一β2＞0且α＞0時(shí)有唯一極大值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求｜z｜在約束條件下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：｜z｜的最值點(diǎn)與z2的最值點(diǎn)一致，用拉格朗日乘數(shù)法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)。且令解得(x，y，z)1=(1，，1)，(x，y，z)2=(－5，，5)所以當(dāng)x=1，y=時(shí)，｜z｜=1最小；當(dāng)x=一5，y=時(shí)，｜z｜=5最大。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算(x2+y2)dxdy，其中D是由y=一x，所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：x2一2x+y2=0(x一1)2+y2=1；y=一x與x2+y2=4的交點(diǎn)為；y=一x與x2一2x+y2=0的交點(diǎn)為(0，0)和(1，一1)；x2+y2=4與x2一2x+y2=0的交點(diǎn)為(2，0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算二重積分xydσ，其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，令μ=cosθ得，原式=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算｜x+y｜dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算二重積分(x+y)3dxdy，其中D由曲線x==0及x一=0圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1—4—22所示，D=D1∪D2，其中D1={(x，y)｜0≤y≤1，}；D2=｛(x，y)｜一1≤y≤0，｝由于(x+y)3dxdy=(x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy，且區(qū)域D關(guān)于x軸是對(duì)稱的，被積函數(shù)3x2y+y3是y的奇函數(shù)，所以(3x2y+y3)dxdy=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算二重積分(x2+y2)dσ，其中D是由直線x=2，y=2，x+y=1，x+y=3以及x軸與y所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，積分區(qū)域是如圖1—4—25所示的六邊形區(qū)域，且D=D1+D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，1一x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤3一x}。于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求下列積分。26、設(shè)f(x)=∫1xe－y2dy，求∫01x2f(x)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]連續(xù)且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x(f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=∫x1f(y)dy，則φ’(x)=一f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01φ(x)dφ(x)=φ2(x)｜01=A2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)=0，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在。C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由=0知f(x，y)一f(0，0)+2x一y=o(ρ)(當(dāng)(x，y)→(0，0)時(shí))，即得f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(ρ)，由微分的定義可知f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，故選D。2、設(shè)函數(shù)μ(x，y)=φ(x＋y)+φ(x一y)+∫x－yx＋yψ(t)dt，其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先分別求出，再進(jìn)一步比較結(jié)果。因?yàn)?φ’(x+y)+φ’(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，=φ’(x+y)一φ’(x一y)+ψ(x+y)+ψ(x一y)，于是=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)一φ’’(x一y)+ψ’(x+y)+ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，可見有，因此正確選項(xiàng)為B。3、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(diǎn)(0，0)()A、不是f(x，y)的連續(xù)點(diǎn)。B、不是f(x，y)的極值點(diǎn)。C、是f(x，y)的極大值點(diǎn)。D、是f(x，y)的極小值點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)dz=xdx+ydy可得=y，則又在(0，0)處，，AC—B2=1＞0，根據(jù)二元函數(shù)極值點(diǎn)的判斷方法可知，(0，0)為函數(shù)z=f(x，y)的一個(gè)極小值點(diǎn)。因此正確選項(xiàng)為D。4、設(shè)D為單位圓x2+y2≤1，I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x4+y4)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I1。D、I1＜I3＜I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分域D關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3是y的奇函數(shù)，則I1=(x3+y3)dxdy=0，y5dxdy=0，積分區(qū)域關(guān)于y=x對(duì)稱，從而由輪換對(duì)稱性可知I3=(x6+y6)dxdy，由于在D內(nèi)｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，則0＜(x6+y6)dxdy＜(x4+y4)dxdy，從而有，I1＜I3＜I2。故選D。5、累次積分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02－yf(x，y)dx可寫成()A、∫02dx∫x2－xf(x，y)dy。B、∫01dy∫02－yf(x，y)dx。C、∫01dx∫x2－xf(x，y)dy。D、∫01dy∫y2－yf(x，y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原積分域?yàn)橹本€y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C。6、設(shè)f(x)==()A、1。B、1一。C、1+。D、e—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域如圖1—4—5交換積分次序故應(yīng)選B。7、設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，則(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將閉區(qū)間D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}用直線y=一x將其分成兩部分D2和D3，如圖l一4—8所示，其中D2關(guān)于y軸對(duì)稱，D3關(guān)于x軸對(duì)稱，xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，所以在D2和D3上，均有xydxdy=0。而cosxsiny是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于y的奇函數(shù)，在D3積分不為零，在D2積分值為零，因此故選項(xiàng)A正確。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設(shè)f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?≤｜x｜≤｜x｜→0，利用夾逼定理知，=0。又知f(0，0)=a，則a=0。9、設(shè)z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(y2dx+2xydy)知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程z=e2x－3z+2y確定，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：偏導(dǎo)數(shù)法。在z=e2x－3z+2y的兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，z為x，y的函數(shù)。11、設(shè)z=z(x，y)是由方程xyz+ln2確定的隱函數(shù)，則在點(diǎn)(0，一1，1)的全微分dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx+dy知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊微分，有xydz+xzdy+yzdx+=0，將x=0，y=一1，z=1代入上式，得一dx+=0，即有dz=2dx+dy。12、設(shè)函數(shù)f(μ，ν)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)z=f(x,xy)，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf12’’+f2’+xyf22’’知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，=f1’+f2’．y，=xf12’’+f2’+xyf22’’。13、交換積分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫12dx∫01－xf(x，y)dy知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖1—4—11)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2。則有∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=f(x，y)dxdy。交換積分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=一∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=一∫12dx∫1－x0f(x，y)dy=∫12dx∫01－xf(x，y)dy。14、已知極坐標(biāo)系下的累次積分I=，其中a＞0為常數(shù)，則I在直角坐標(biāo)系下可表示為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0adxf(x，y)dy知識(shí)點(diǎn)解析：先將，表示成I=f(x，y)dσ，用D的極坐標(biāo)表示，0≤r≤acosθ，因此可知區(qū)域D：。如圖1—4一15所示：如果按照先y后x的積分次序，則有D：0≤x≤a，，因此可得I=∫0adxf(x，y)dy。15、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標(biāo)表示為三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得整理后得解得(Fy’+xf’Fz’≠0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=f(x2一y2，exy)，其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛梢阎獥l件可得=2xf1’+yexyf2’，=一2yf1’+xexyf2’，=2x[f11’．(一2y)+f12’’．xexy]+exyf2’+xyexyf2’+yexy[f21’’．(一2y)+f22’’．xexy]=一4xyf11’’+2(x2一y2)exyf12’’+xye2xyf22’’+exy(1+xy)f2’。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)μ=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式=0，確定a，b的值，使等式通過變換ξ=x+ay，η=x+by可化簡(jiǎn)為=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知有根據(jù)10ab+12(a+b)+8≠0，舍去因此可知a=一2，，b=一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知=2x+y+1，=x+2y+3，μ(0，0)=1，求μ(x，y)及μ(x，y)的極值，并問此極值是極大值還是極小值?說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2x+y+1，有μ(x，y)=x2+xy+x+φ(y)，再結(jié)合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C。于是μ(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由μ(0，0)=1得C=1，因此μ(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求在D內(nèi)的駐點(diǎn)，即因此在D內(nèi)只有駐點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值為f(2，1)=4。再求f(x，y)在D邊界上的最值①在x軸上y=0，所以f(x，0)=0。②在y軸上x=0，所以f(0，y)=0。③在x+y=6上，將y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此fx’=6x2一24x=0。得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得駐點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4，2)=一64。綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求二重積分max{xy，1}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2+D3(如圖1一4一16)=1+2ln2++ln2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2=2}，計(jì)算二重積分(x+y)dσ。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算二重積分｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：記D1={(x，y)｜x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)｜x2+y2＞1，(x，y)∈D}，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算二重積分x(y+1)dσ，其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線所圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：引入極坐標(biāo)(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為D={(r，θ)｜0≤θ≤，2cosθ≤r≤2)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=[∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+∫01dx∫0xf(x)f(y)dy]=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx．∫01f(y)dy=A2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，△z是f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的全增量，則在點(diǎn)(x0，y0)處()A、△z=dz。B、△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。C、△z=fx’(x0，y0)dx+fy’(x0，y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故選D。2、設(shè)函數(shù)z(x，y)由方程=0確定，其中F為可微函數(shù)，且F2’≠0，則=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)已知的等式兩邊求全微分可得即正確選項(xiàng)為B。3、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是()。A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由z=f(x)g(y)，得而且=f(0)g’(0)=0，f(0)＞0，g(0)＜0，當(dāng)f’’(0)＜0，g’’(0)＞0時(shí)，B2一AC＜0，且A＞0，此時(shí)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值。因此正確選項(xiàng)為A。4、設(shè)平面D由x+y=，x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成，I1=ln(x+y)3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin(x+y)3dxdy，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I1＜I3＜I2。D、I3＜I2＜I1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然在D上≤x+y≤1，則ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，從而有故選C。5、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分∫sinx1f(x，y)dy等于()A、∫01dy∫π＋arcsinyπf(x，y)dx。B、∫01dy∫π－arcsinyπf(x，y)dx。C、∫01dy∫π＋arcsinyf(x，y)dx。D、∫01dy∫π－arcsinyf(x，y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故應(yīng)選B。6、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，則F’’(2)等于()A、2f(2)。B、f(2)。C、一f(2)。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x－1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，從而F’(2)=f(2)。故選B。7、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分dθ∫2cosθ2f(r2)rdr=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍€r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得原式=f(x2+y2)dy。8、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則dσ=()A、abπ。B、π。C、(a+b)π。D、π。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由根據(jù)輪換對(duì)稱性可得因此正確選項(xiàng)為D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、設(shè)二元函數(shù)z=xex＋y+(x+1)ln(1+y)，則dz｜(1，0)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2edx+(e+2)dy知識(shí)點(diǎn)解析：由已知=ex＋y+xex＋y+ln(1+y)，dz｜(1，0)=2edx+(e+2)dy。10、設(shè)z=(x+ey)x，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln2+1知識(shí)點(diǎn)解析：由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，則代入x=1得，=2ln2+1。11、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy確定，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2—2ln2知識(shí)點(diǎn)解析：把點(diǎn)(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，有(z+y)x[ln(z+y)+]=y。將x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得=2—2ln2。12、設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，=g(x+y)+xg’(x+y)+y2φ’(xy)，=g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)。13、積分∫02dx∫x2e－y2dy=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1一e－4)知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1—4—10積分區(qū)域，則∫02dx∫x2e－y2dy=∫02dy∫0ye－y2dx=∫02ye－y2dy=。14、將∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化為極坐標(biāo)下的二次積分為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1—4—14所示，則有∫01dy∫0yf(x2＋y2)dx=f(r2)rdr。15、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D是由y=，x=1，y=2所圍成的區(qū)域，則f(x，y)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x+y知識(shí)點(diǎn)解析：首先令A(yù)=f(μ，ν)dμdν，則A為常數(shù)，此時(shí)f(x，y)=x+Ay。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、設(shè)μ=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且。標(biāo)準(zhǔn)答案：在等式μ=f(x，y，z)的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到如下等式而=cosx，再在等式φ(x2，ey，z)=0的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到φ1’．2x+φ2’．=0，解得(2xφ1’+eyφ2’cosx)，因此，可得(2xφ1’+esinxφ2’cosx)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)