考研數(shù)學(xué)二（向量）模擬試卷1（共250題）

考研數(shù)學(xué)二（向量）模擬試卷1（共9套）（共250題）考研數(shù)學(xué)二（向量）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、若α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性無關(guān)，則()．A、α1可由α2，α3線性表示B、α4可由α1，α2，α3線性表示C、α4可由α1，α3線性表示D、α4可由α1，α2線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α3，α4線性無關(guān)，所以α2，α3線性無關(guān)，又因?yàn)棣?，α2，α3線性相關(guān)，所以α1可由α2，α3線性表示，選A．2、設(shè)向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則向量組()．A、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1線性無關(guān)B、α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1線性無關(guān)C、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4－α1線性無關(guān)D、α1＋α2，α2＋α3，α3－α4，α4－α1線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋?α1＋α2)＋(α2＋α3)－(α3＋α4)＋(α4＋α1)＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1線性相關(guān)；因?yàn)?α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α4)＋(α4－α1)＝0，所以α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1線性相關(guān)；因?yàn)?α1＋α2)－(α2＋α3)＋(α3＋α4)＋(α4＋α1)＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1線性相關(guān)，容易通過證明向量組線性無關(guān)的定義法得α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1線性無關(guān)，選C．3、向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)的充分必要條件是()．A、向量組α1，α2，…，αm，β線性無關(guān)B、存在一組不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C、向量組α1，α2，…，αm的維數(shù)大于其個(gè)數(shù)D、向量組α1，α2，…，αm的任意一個(gè)部分向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm，β線性無關(guān)可以保證α1，α2，…，αm線性無關(guān)，但α1，α2，…，αm線性無關(guān)不能保證α1，α2，…，αm，β線性無關(guān)；B項(xiàng)不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm線性無關(guān)可以保證對(duì)任意一組非零常數(shù)k1，k2，…，km有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，但存在一組不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0不能保證α1，α2，…，αm線性無關(guān)；C項(xiàng)不對(duì)，向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)不能得到其維數(shù)大于其個(gè)數(shù)，如α1＝，α2＝線性無關(guān)，但其維數(shù)等于其個(gè)數(shù)，選D．4、設(shè)向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)，β1可由α1，α2，…，αm線性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，則()．A、α1，α2，…，αm-1，β1線性相關(guān)B、α1，α2，…，αm-1，β1，β2線性相關(guān)C、α1，α2，…，αm，β1＋β2線性相關(guān)D、α1，α2，…，αm，β1＋β2線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A不對(duì)，因?yàn)棣?可由向量組α1，α2，…，α3線性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關(guān)；選項(xiàng)B不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關(guān)，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定線性相關(guān)；選項(xiàng)C不對(duì)，因?yàn)棣?不可由α1，α2，…，αm線性表示，而β1可由α1，α2，…，αm線性表示，所以β1＋β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，于是α1，α2，…，αm，β1＋β2線性無關(guān)，選D．5、設(shè)n維列向量組α1，α2，…，αm(m＜n)線性無關(guān)，則n維列向量組β1，β2，…，βm線性無關(guān)的充分必要條件是()．A、向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βm線性表示B、向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αm線性表示C、向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βm等價(jià)D、矩陣A＝(α1，α2，…，αm)與矩陣B＝(β1，β2，…，βm)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2，…，αm線性無關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm的秩為m，向量組β1，β2，…，βm線性無關(guān)的充分必要條件是其秩為m，所以選D．6、設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)，β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，對(duì)任意的常數(shù)k有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關(guān)B、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性相關(guān)C、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性無關(guān)D、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，所以kβ1＋β2一定不可以由向量組α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關(guān)，選A．7、設(shè)n階矩陣A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，γn)，記向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，則()．A、(Ⅰ)，(Ⅱ)都線性相關(guān)B、(Ⅰ)線性相關(guān)C、(Ⅱ)線性相關(guān)D、(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一個(gè)線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若α1，α2，…，αn線性無關(guān)，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，則r(A)＝n，r(B)＝n，于是r(AB)＝n因?yàn)棣?，γ2，…，γn線性相關(guān)，所以r(AB)＝r(γ1，γ2，…，γn)＜n，故α1，α2，…，αn，與β1，β2，…，βn至少有一個(gè)線性相關(guān)，選D．8、設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩為r1，向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩為r2，且向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅰ)線性表示，則()．A、α1＋β1，α2＋β2，…，αs＋βs的秩為r1＋r2B、向量組α1－β1，α2－β2，…，αs－βs的秩為r1－r2C、向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1＋r2D、向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橄蛄拷Mβ1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αs線性表示，所以向量組α1，α2，…，αs與向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等價(jià)，選D．9、向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)的充要條件是()．A、α1，α2，…，αs都不是零向量B、α1，α2，…，αs中任意兩個(gè)向量不成比例C、α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示D、α1，α2，…，αs中有一個(gè)部分向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：若向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則其中任一向量都不可由其余向量線性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs一定線性無關(guān)，因?yàn)槿籀?，α2，…，αs線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，故選C．10、設(shè)A為n階矩陣，且｜A｜＝0，則A()．A、必有一列元素全為零B、必有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例C、必有一列是其余列向量的線性組合D、任一列都是其余列向量的線性組合標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬｜＝0，所以r(A)＜n，從而A的n個(gè)列向量線性相關(guān)，于是其列向量中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選C．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)11、設(shè)線性相關(guān)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：α1，α2，α3線性相關(guān)的充分必要條件是｜α1，α2，α3｜＝＝0，從而A＝．12、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，且α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3線性相關(guān)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：(α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3)(α1，α2，α3)，因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，而α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－aα3，α2＋α3線性相關(guān)，所以解得a＝5．13、設(shè)，且α，β，γ兩兩正交，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－4；－13．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣粒?，γ正交，所以解得a＝－4，b＝－13．14、設(shè)A＝(α1，α2，α3，α4)為4階方陣，且AX＝0的通解為X＝k(1，1，2，－3)T，則α2由α1，α3，α4表示的表達(dá)式為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：α2＝－α1－2α3＋3α4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?1，1，2，－3)T為AX＝O的解，所以α*＋α2＋2α3－3α4＝0，故α2＝－α*－2α3＋3α4．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，證明：α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1(α1＋α2＋α3)＋k2(α1＋2α2＋3α3)＋k3(α1＋4α2＋9α3)＝0，即(k1＋k2＋k3)α1＋(k1＋2k2＋4k3)α2＋(k1＋3k2＋9k3)α3＝0，因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以有而D＝(i－j)＝2≠0，由克拉默法則得k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)α1，…，αm，β為m＋1個(gè)n維向量，β＝α1＋…＋αm(m＞1)．證明：若α1，…，αm線性無關(guān)，則β－α1，…，β－αm線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1(β－α1)＋…km(β－αm)＝0，即k1(α2＋α3＋…＋αm)＋…＋km(α1＋α2…＋αm-1)＝0或(k2＋k3＋…＋km)α1＋(k1＋k3＋…＋km)α2＋…＋(k1＋k2＋…＋km-1)αm＝0，因?yàn)棣?，αm線性無關(guān)，所以因?yàn)椋?－1)m-1(m－1)≠0，所以k1＝…＝km＝0，故β－α1，…，β－αm線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)α1，α2，…，αn(n≥2)線性無關(guān)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)χ1，χ2，…，χn，使χ1(α1＋α2)＋χ2(α2＋α3)＋…＋χn(αn＋α1)＝0，即(χ1＋χn)α1＋(χ1＋χ2)α2＋…＋(χn-1＋χn)αn＝0，因?yàn)棣?，α2，…，αn線性無關(guān)，所以有該方程組系數(shù)行列式Dn＝1＋(－1)n+1，n為奇數(shù)Dn≠χ1＝…＝χn＝0α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)α1，…，αn為n個(gè)m維向量，且m＜n．證明：α1，…，αn線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：向量組α1，…，αn線性相關(guān)的充分必要條件是方程組χ1α1＋…χnαn＝0有非零解，因?yàn)榉匠探Mχ1α1＋…＋χnαn＝0中變量有n個(gè)，約束條件最多有m個(gè)且m＜n，所以方程組χ1α1＋…＋χnαn＝0一定有自由變量，即方程組有非零解，故向量組α1，αn線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、證明：若一個(gè)向量組中有一個(gè)部分向量組線性相關(guān)，則該向量組一定線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)α1，…，αn為一個(gè)向量組，且α1，…，αr(r＜n)線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，…，kr，使得k1α1＋…＋krαr，于是k1α1＋…＋krαr＋0αr+1＋…＋0αn＝0，因?yàn)閗1，…，kr，0，…，0不全為零，所以α1，…，αn線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、n維列向量組α1，…，αn-1線性無關(guān)．且與非零向量β正交．證明：α1，…，αn-1，β線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k0β＋k1α1＋…＋kn-1αn-1＝0，由α1，…，αn-1與非零向量β正交及(β，k0β＋k1α1＋…＋kn-1αn-1)＝0得k0(β，β)＝0，因?yàn)棣聻榉橇阆蛄浚?β，β)＝｜β｜2＞0，于是k0＝0，故k1α1＋…＋k-1αn-1＝0，由α1，αn-1線性無關(guān)得k1＝…kn-1＝0，于是α1，…，αn-1，β線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)向量組α1，…，αn為兩兩正交的非零向量組，證明：α1，…，αn線性無關(guān)，舉例說明逆命題不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：令走k1α1＋…＋knαn＝0，由α1，…，αn兩兩正交及(α1，k1α1＋…＋knαn)＝0，得k1(α1，α1)＝0，而(α1，α1)＝｜α1｜2＞0，于是k1＝0，同理可證k2＝…＝kn＝0，故α1，…，αn線性無關(guān)．令α1＝，α2＝，顯然α1，α2線性無關(guān)，但α1，α2不正交．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A為n×m矩陣，B為m×n矩陣(m×n)，且AB＝E．證明：B的列向量組線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先r(B)≤min{m，n}＝n，由AB＝E得r(AB)＝n，而r(AB)≤r(B)，所以r(B≥n，從而r(B)＝n，于是B；的列向量組線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，而向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)．證明：向量γ，可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橄蛄拷Mα1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm也線性無關(guān)，又向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)，所以向量γ可由向量組α1，α2，…，αm線性表示，從而γ可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)向量組線性相關(guān)，但任意兩個(gè)向量線性無關(guān)．求參數(shù)t．標(biāo)準(zhǔn)答案：向量組α1，α2，α3線性相關(guān)的充分必要條件是｜α1，α2，α3｜＝0，而｜α1，α2，α3｜＝＝(t＋1)(t＋5)，所以t＝－1或者t＝－5，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)向量線性無關(guān)，所以t＝－5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)α1，α2，…，αn為n個(gè)線性無關(guān)的n維向量，且與向量β正交．證明：向量β為零向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)β≠0，令k1α1＋k2α2＋…＋knαn＋k0β＝0，上式兩邊左乘βT得k1βTα1＋k2βTα2＋…＋knβTαn＋k0βTβ＝0因?yàn)棣?，α2，…，αn與β正交，所以k0βTβ＝0，即k0｜β｜2＝0，從而k0＝0，于是k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0，再由α1，α2，…，αn線性無關(guān)，得走k1＝k2＝…＝kn＝0，故α1，α2，…，αn，β線性無關(guān)，矛盾(因?yàn)楫?dāng)向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)向量組一定線性相關(guān))，所以β＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)A為n階矩陣，α1，α2，α3為n維列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，證明：α1，α2，α3線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由Aα1＝α1得(A－E)α1＝0；由Aα2＝α1＋α2得(A－E)α2＝α1；由Aα3＝α2＋α3得(A－E)α3＝α2，令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0，(1)(1)兩邊左乘A－E得k2α1＋k3α2＝0，(2)(2)兩邊左乘A－E得k3α1＝0，因?yàn)棣?≠0，所以k3＝0，代入(2)、(1)得k1＝0，k2＝0，故α1，α2，α3線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（向量）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)α1，α2，…，αs均為n維列向量，A是m×n矩陣，下列選項(xiàng)正確的是()A、若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)。B、若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關(guān)。C、若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)。D、若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0。于是k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0，所以，Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關(guān)，故選A。本題主要考查的是向量組線性相關(guān)的概念。題目難度不大，直接用概念逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)。對(duì)于C、D兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)α1，α2，…，αs線性無關(guān)時(shí)，Aα1，Aα2，…，Aαs未必線性相關(guān)，也未必線性無關(guān)。例如，當(dāng)α1=(1，0)T，α2=(0，1)T時(shí)，如果A=，則Aα1=0，所以Aα1，Aα2線性相關(guān)；如果A=，則Aα1=α1，Aα2=α2，線性無關(guān)，因此選項(xiàng)C、D不正確。2、設(shè)α1=，則3條直線a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0，i=1，2，3)交于一點(diǎn)的充要條件是()A、α1，α2，α3線性相關(guān)。B、α1，α2，α3線性無關(guān)。C、R(α1，α2，α3)=R(α1，α2)。D、α1，α2，α3線性相關(guān)，α1，α2線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3條直線聯(lián)立組成方程組將上述方程組寫成矩陣形式：A3×2x=b，其中A==(α1，α2)是其系數(shù)矩陣，b==—α3。（A）α1，α2，α3線性相關(guān)，當(dāng)α1=α2=α3時(shí)，方程組Ax=b的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等且小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有無窮多解，根據(jù)解的個(gè)數(shù)和直線的位置關(guān)系可得3條直線重合，A項(xiàng)不成立。（B）α1，α2，α3線性無關(guān)，α3不能由α1，α2線性表出，方程組Ax=b的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相等，方程組無解，根據(jù)解的個(gè)數(shù)與直線的位置關(guān)系得出3條直線無公共交點(diǎn)，B項(xiàng)不成立。（C）R(α1，α2，α3)=R(α1，α2)，當(dāng)R(α1，α2，α3)=R(α1，α2)=1時(shí)，3條直線重合，故C項(xiàng)不成立。由排除法可知，故選D。3、設(shè)向量組α1=(6，λ+1，7)T，α2=(λ，2，2)T，α3=(λ，1，0)T線性相關(guān)，則()A、λ=1或λ=4。B、λ=2或λ=4。C、λ=3或λ=4。D、λ=或λ=4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：α1，α2，α3線性相關(guān)，故行列式｜(α1，α2，α3)｜==2λ2—5λ—12=0，解得λ=或λ=4，故選D。4、設(shè)A，B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有()A、A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)。B、A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)。C、A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)。D、A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，而B為非零矩陣，即Ax=0存在非零解，可見A的列向量組線性相關(guān)。同理，由AB=O知，BTAT=O，于是有BT的列向量組線性相關(guān)，從而B的行向量組線性相關(guān)，故選A。5、設(shè)α1=，其中c1，c2，c3，c4為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是()A、α1，α2，α3。B、α1，α2，α4。C、α1，α3，α4。D、α2，α3，α4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由行列式｜(α1，α3，α4)｜==0，可知α1，α3，α4線性相關(guān)?？刹捎孟嗤姆椒ㄅ袛?，其他選項(xiàng)的向量組線性無關(guān)，故選C。6、設(shè)α1，α2，α3是3維向量空間R3的一組基，則由基α1，到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的過渡矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由基α1，到α1+α2，α2+α3，α3+α1的過渡矩陣M滿足(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=，故選A。7、已知4維列向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，若非零向量βi(i=1，2，3，4)與α1，α2，α3均正交，則R(β1，β2，β3，β4)=()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31，a32，a33，a34)T。由題設(shè)知，βi與α1，α2，α3均正交，即內(nèi)積βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)，亦即βi(i=1，2，3，4)是齊次方程組的非零解。由于α1，α2，α3線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的秩為3。所以基礎(chǔ)解系中含有4—3=1個(gè)解向量。從而R(β1，β2，β3，β4)=1，故選A。8、設(shè)α1，α2，…，αn—1是Rn中線性無關(guān)的向量組，β1，β2與α1，α2，…，αn—1正交，則()A、α1，α2，…，αn—1，β1必線性相關(guān)。B、α1，α2，…，αn—1，β1，β2必線性無關(guān)。C、β1，β2必線性相關(guān)。D、β1，β2必線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)可知B選項(xiàng)錯(cuò)；若αi(i=1，2，…，n—1)是第i個(gè)分量為1，其余分量全為0的向量，β1是第n個(gè)分量為1，其余分量全為0的向量，β2是第n個(gè)分量為2，其余分量全為0的向量，則α1，α2，…，αn—1，β1線性無關(guān)，β2=2β1，所以A和D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。由排除法，故選C。下證C選項(xiàng)正確：因α1，α2，…，αn—1，β1，β2必線性相關(guān)，所以存在n+1個(gè)不全為零的數(shù)k1，k2，…，kn—1，l1，l2，使k1α1+k2α1+…+kn—1αn—1+l1β1+l2β1=0，又因?yàn)棣?，α2，…，αn—1線性無關(guān)，所以l1，l2一定不全為零，否則α1，α2，…，αn—1線性相關(guān)，產(chǎn)生矛盾。在上式兩端分別與β1，β2作內(nèi)積，有(l1β1+l2β2，β1)=0，(1)(l1β1+l2β2，β2)=0，(2)聯(lián)立兩式，l1×(1)+l2×(2)可得(l1β1+l2β2，l1β1+l2β2)=0，從而可得l1β1+l2β2=0，故β1，β2必線性相關(guān)。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、向量組α1=(1，0，1，2)，α2=(0，1，2，1)，α3=(—2，0，—2，—4)，α4=(0，1，0，1)，α5=(0，0，0，—1)，則向量組α1，α2，α3，α4，α5的秩為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐驭?，α2，α4，α5構(gòu)成的行列式=2≠0，故α1，α2，α4，α5線性無關(guān)，而向量的維數(shù)為4，則α1，α2，α3，α4，α5必線性相關(guān)，所以R(α1，α2，α3，α4，α5)=4。10、向量組α1=(1，—2，0，3)T，α2=(2，—5，—3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，—1，4，7)T的一個(gè)極大線性無關(guān)組是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α4知識(shí)點(diǎn)解析：用已知向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣，對(duì)矩陣作初等行變換，則有(α1，α2，α3，α4)=因?yàn)榫仃囍杏?個(gè)非零行，所以向量組的秩為3。在上述階梯形矩陣的每一臺(tái)階各取一列，則α1，α2，α4或α1，α3，α4是向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組。11、向量組α1=(1，—1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，a)T，α4=(1，—2，2，0)T線性無關(guān)，則未知數(shù)a的取值范圍是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a≠14知識(shí)點(diǎn)解析：n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是以n個(gè)向量組成的矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式不為0。則｜α1，α2，α3，α4｜===14—a≠0。因此可得a≠14。12、已知α1，α2，α3是三維向量空間的一個(gè)基，若β1=α1+α2+α3，β2=3α2+α3，β3=α1—α2，則由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依過渡矩陣定義，有(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)13、向量β=(1，—2，4)T在基α1=(1，2，4)T，α2=(1，—1，1)T，α3=(1，3，9)T下的坐標(biāo)是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)向量β在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)是(x1，x2，x3)T，由β=x1α1+x2α2+x3α3可得方程組解得x=，x3=1，因此β在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)是。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、已知β1=具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3線性表示，求a，b的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：。因?yàn)棣?可由α1，α2，α3線性表示，所以由R(β1，β2，β3)=R(α1，α2，α3)=2，可得(β1，β2，β3)→a=15。知識(shí)點(diǎn)解析：本題看似考查線性表示的求解，但實(shí)質(zhì)考查的是向量組等價(jià)的問題。根據(jù)向量β3可由向量組α1，α2，α3線性表示可知：向量組α1，α2，α3與向量組α1，α2，α3，β3等價(jià)，因此秩相等，依此可得出未知數(shù)的值。利用矩陣解決向量問題或者利用向量解決矩陣問題是線性代數(shù)常用的解題方法之一。設(shè)有向量組α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，—1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，—1，4，1)。15、求向量組的秩。標(biāo)準(zhǔn)答案：A=(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=從變換結(jié)果可知，向量組α1，α2，α3，α4，α5的秩為3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求此向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其余的向量分別用該極大無關(guān)組線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：在B中選對(duì)應(yīng)向量，例如α1，α2，α3或α1，α3，α5或α1，α4，α5均可作為極大線性無關(guān)組。不妨選α1，α2，α3作為極大線性無關(guān)組，將B化為標(biāo)準(zhǔn)形知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)R3中兩組基分別為求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣為C=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)。對(duì)(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行變換，有所以過渡矩陣為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求齊次線性方程組的通解，并將其基礎(chǔ)解系單位正交化。標(biāo)準(zhǔn)答案：取x3，x4為自由未知量，則方程組的基礎(chǔ)解系為α1=(1，0，1，0)T，α2=(—1，1，0，1)T，所以該齊次線性方程組的通解為k1α1+k2α2，其中k1，k2為任意常數(shù)。對(duì)α1，α2進(jìn)行施密特正交化，令β1=α1=(1，0，1，0)T，β2=α2—=(—1，1，0，1)T—(1，0，1，0)T=(—1，2，1，2)T，單位化得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知α1=(1，3，5，—1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，—1，7)T。19、若α1，α2，α3線性相關(guān)，求a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α3線性相關(guān)秩R(α1，α2，α3)＜3。由于(α1，α2，α3)=，所以a=—3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、當(dāng)a=3時(shí)，求與α1，α2，α3都正交的非零向量α4。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)α4=(x1，x2，x3，x4)T。由內(nèi)積[α1，α4]=0，[α2，α4]=0，[α3，α4]=0，得方程組對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，即于是得同解方程組令x4=1，則得基礎(chǔ)解系(19，—6，0，1)T，所以α4=k(19，—6，0，1)T，其中k≠0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、當(dāng)a=3時(shí)，利用第2小問的結(jié)果，證明α1，α2，α3，α4可表示任一個(gè)4維列向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知，a=3時(shí)，α1，α2，α3必線性無關(guān)，設(shè)k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用α4T左乘上式兩端并利用α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0，則有k4α4Tα4=0，又α4≠0，故必有k4=0，于是k1α1+k2α2+k3α3=0。由α1，α2，α3線性無關(guān)知，必有k1=0，k2=0，k3=0，從而α1，α2，α3，α4必線性無關(guān)。而5個(gè)4維列向量必線性相關(guān)，因此任一個(gè)4維列向量都可由α1，α2，α3，α4線性表出。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)有向量組(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，—1，a+2)T和向量組(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。試問：當(dāng)a為何值時(shí)(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)，當(dāng)a為何值時(shí)(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令xj1α1+xj2α2+xj3α3=βj(j=1，2，3)，(1)對(duì)(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行變換，即可見，當(dāng)a+1≠0，即a≠—1時(shí)，(1)中的三個(gè)非齊次線性方程組都有解且為唯一解，此時(shí)β1，β2，β3都可由α1，α2，α3線性表示，即向量組(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示。當(dāng)a+1=0，即a=—1時(shí)，由于R(α1，α2，α3)≠R(α1，α2，α3，β1)，R(α1，α2，α3)≠R(α1，α2，α3，β3)，故此時(shí)β1，β3不能由α1，α2，α3線性表示，即向量組(Ⅱ)不能由(Ⅰ)線性表示。類似地，令xi1β1+xi2β2+xi3β3=αi(i=1，2，3)。(2)對(duì)(β1，β2，β3α1，α2，α3)作初等行變換，即可見，無論a取何值，總有R(β1，β2，β3)=R(β1，β2，β3，α1，α2，α3)，即α1，α2，α3都可由β1，β2，β3線性表示，亦即向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示。綜上可知，當(dāng)a≠—1時(shí)，向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)；當(dāng)a=—1時(shí)，向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)4維向量組α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，問a為何值時(shí)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)。當(dāng)α1，α2，α3，α4線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出。標(biāo)準(zhǔn)答案：記A=(α1，α2，α3，α4)，則｜A｜==(a+10)a3，因此當(dāng)a=0或a=—10時(shí)，｜A｜=0，即α1，α2，α3，α4線性相關(guān)。當(dāng)a=0時(shí)，α1為α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1。當(dāng)a=—10時(shí)，對(duì)A作初等行變換，即=(β1，β2，β3，β4)。由于β2，β3，β4是β1，β2，β3，β4的一個(gè)極大線性無關(guān)組且β1=—β2—β3—β4，故α2，α3，α4為α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組且α1=—α2—α3—α4。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)α1=(1，1，1)T，α2=(1，—1，—1)T，求與α1，α2均正交的單位向量β并求與向量組α1，α2，β等價(jià)的正交單位向量組。標(biāo)準(zhǔn)答案：令β=(x1，x2，x3)T，由于β與α1，α2均正交，則可得方程組解得方程組的基礎(chǔ)解系為(0，1，—1)T，單位化為。欲求與向量組α1，α2，β等價(jià)的正交單位向量組，需先將α1，α2正交化(β與α1，α2已經(jīng)正交，不需要再正交化)。令β1=α1=(1，1，1)T，再單位化，得(1，1，1)T→，可知向量組就是與α1，α2，β等價(jià)的正交單位向量組。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（向量）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知n維列向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)線性無關(guān)，則n維列向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βr線性無關(guān)的充分必要條件為()A、β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr線性表示。B、α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr線性表示。C、α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr等價(jià)。D、矩陣A=(α1，α2，…，αr)與B=(β1，β2，…，βr)等價(jià)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，由已知條件只能得出R(Ⅱ)≤R(Ⅰ)=r，但不能得出R(Ⅱ)=R(Ⅰ)=r，故A項(xiàng)不正確。對(duì)于選項(xiàng)B，由已知條件知r=R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)≤r，于是R(Ⅱ)=r，即β1，β2，…，βr線性無關(guān)。因而B項(xiàng)是充分條件。但若β1，β2，…，βr線性無關(guān)，是不能得出α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr線性表出的結(jié)論。例如，(Ⅰ)：e1=(1，0，0)T，e2=(0，1，0)T；(Ⅱ)：e2=(0，1，0)T，e3=(0，0，1)T，(Ⅰ)(Ⅱ)均線性無關(guān)，但(Ⅰ)不可由(Ⅱ)線性表出，故B項(xiàng)錯(cuò)誤。對(duì)于選項(xiàng)C，由于B項(xiàng)不是必要條件，則C項(xiàng)就不可能是必要條件。對(duì)于選項(xiàng)D，注意到兩個(gè)同型矩陣等價(jià)的充分必要條件是秩相等，由題設(shè)知R(A)=R(Ⅰ)=r，則A與B等價(jià)β1，β2，…，βr線性無關(guān)，所以D選項(xiàng)是正確的，故選D。本題主要考查的是向量組等價(jià)的相關(guān)問題。根據(jù)線性表示的向量組之間秩的關(guān)系能快速排除A、B選項(xiàng)，但C、D選項(xiàng)具有一定的迷惑性，需要充分認(rèn)識(shí)矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的異同點(diǎn)：①等價(jià)的向量組有相等的秩，等價(jià)的矩陣也有相等的秩；②有相等秩的兩個(gè)同型矩陣必等價(jià)，但有相等秩的兩個(gè)同維向量組未必等價(jià)(如果其中一組還可由另一組線性表出，則必等價(jià))。2、已知α1，α2，α3，α4是3維非零向量，則下列命題中錯(cuò)誤的是()A、如果α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關(guān)。B、如果α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性相關(guān)，那么α1，α2，α4也線性相關(guān)。C、如果α3不能由α1，α2線性表出，α4不能由α2，α3線性表出，則α1可以由α2，α3，α4線性表出。D、如果秩R(α1，α1+α2，α2+α3)=R(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，則α4可以由α1，α2，α3線性表出。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知B項(xiàng)不正確，故選B。關(guān)于選項(xiàng)A：用其逆否命題判斷。若α1，α2，α3線性無關(guān)，則α1，α2，α3，α4必線性相關(guān)(因?yàn)閚+1個(gè)n維向量必線性相關(guān))，所以α4可由α1，α2，α3線性表出。關(guān)于選項(xiàng)C：由已知條件，有(Ⅰ)R(α1，α2)≠R(α1，α2，α3)，(Ⅱ)R(α2，α3)≠R(α2，α3，α4)。若R(α2，α3)=1，則必有R(α1，α2)=R(α1，α2，α3)，與條件(Ⅰ)矛盾，故必有R(α2，α3)=2。那么由(Ⅱ)知R(α2，α3，α4)=3，從而R(α1，α2，α3，α4)=3。因此α1可以由α2，α3，α4線性表出。關(guān)于選項(xiàng)D：經(jīng)初等變換有(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，從而R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3線性表出。3、下列說法不正確的是()A、s個(gè)n維向量α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則加入k個(gè)n維向量β1，β2，…，βk后的向量組仍然線性無關(guān)。B、s個(gè)n維向量α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則每個(gè)向量增加k維分量后得到的向量組仍然線性無關(guān)。C、s個(gè)n維向量α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則加入k個(gè)n維向量β1，β2，…，βk后得到的向量組仍然線性相關(guān)。D、s個(gè)n維向量α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則減少一個(gè)向量后得到的向量組仍然線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：A選項(xiàng)不正確，因?yàn)槿绻鹲+k＞n，則增加向量個(gè)數(shù)后的向量組線性相關(guān)，故選A。B、C兩個(gè)選項(xiàng)說明的是向量組中高維向量和低維向量的線性相關(guān)性之間的關(guān)系。D選項(xiàng)說明一個(gè)向量組整體無關(guān)，則這個(gè)向量組的部分向量也無關(guān)，說法正確。4、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()A、α1—α2，α2—α3，α3—α1。B、α1+α2，α2+α3，α3+α1。C、α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1。D、α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：用向量組線性相關(guān)的定義進(jìn)行判定。令x1(α1—α2)+x2(α2—α3)+x3(α3—α1)=0，得(x1—x3)α1+(—x1+x2)α2+(—x2+x3)α3=0。因α1，α2，α3線性無關(guān)，所以因上述方程組系數(shù)矩陣的行列式=0，故上述齊次線性方程組有非零解，即α1—α2，α2—α3，α3—α1線性相關(guān)，故選A。同理可判斷B、C、D中的向量組都是線性無關(guān)的。5、設(shè)A，B，C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則()A、矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)。B、矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)。C、矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)。D、矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：把矩陣A，C列分塊：A=(α1，α2，…，αn)，B=(bij)n×n，C=(γ1，γ2，…，γn)。由于AB=C，即于是得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示。同時(shí)由于B可逆，即A=CB—1。同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)，故選B。6、設(shè)α1，α2，α3是3維向量空間R3中的一組基。則由基α2，α1—α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2—α1的過渡矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)(α1+α2，α3，α2—α1)=(α2，α1—α2，α1+α3)C，則由于α1，α2，α3是R3中的一組基，故(α1，α2，α3)可逆，則故選C。7、設(shè)A，B均為n階正交矩陣，則下列矩陣中不是正交矩陣的是()A、AB—1B、kA(｜k｜=1)C、A—1B—1D、A—B標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，則選項(xiàng)A，(AB—1)TAB—1=(B—1)TATAB—1=(B—1)TEB—1=(BT)TBT=BBT=E，AB—1是正交矩陣；選項(xiàng)B，(kA)T(kA)=k2ATA=E，kA(｜k｜=1)是正交矩陣；選項(xiàng)C，(A—1B—1)TA—1B—1=(B—1)T(A—1)TA—1B—1=BAA—1B—1=E，A—1B—1是正交矩陣；選項(xiàng)D，(A—B)T=AT—BT=A—1—B—1，故(A—B)T(A—B)=(A—1—B—1)(A—B)=2E—B—1A—A—1B≠E，A—B不是正交矩陣，故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)R3中的兩個(gè)基α1，α2，α3和β1，β2，β3之間滿足β1=α1—α2，β2=α2—α3，β3=2α3，向量β在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)為x=(2，—1，3)T，則β在基β1，β2，β3下的坐標(biāo)為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(2，1，2)T知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，有(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)，因此(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)。(1)又β在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)為x=(2，—1，3)T，故有β=2α1—α2+3α3=(α1，α2，α3)。(2)將(1)式代入(2)式中，得β=(β1，β2，β3)=(β1，β2，β3)，因此β在基β1，β2，β3下的坐標(biāo)為y=(2，1，2)T。9、已知向量組α1=(1，2，—1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，—4，5，t)T線性無關(guān)，則t的取值為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(—∞，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：由于向量的個(gè)數(shù)與維數(shù)不一樣，因此不能用行列式去分析，而要用齊次方程組只有零解，或矩陣的秩等于n來分析向量組的無關(guān)性。A=(α1，α2，α2)=由于對(duì)任意的t，R(A)=3恒成立，所以向量組α1，α2，α3必線性無關(guān)，因此t∈(—∞，+∞)。10、向量組α1=(1，1，2，3)T，α2=(—1，1，4，—1)T的施密特正交規(guī)范化向量組是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先正交化，有β1=α1=(1，1，2，3)T，再單位化，有11、設(shè)α1=(1，2，—1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，α)T，若由α1，α2，α3形成的向量空間的維數(shù)是2，則α=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知向量組α1，α2，α3的秩R(α1，α2，α3)=2，對(duì)向量組組成的矩陣作初等行變換所以有α—6=0α=6。12、設(shè)α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，—2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3線性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3線性表示，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，由于兩個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，因此對(duì)增廣矩陣作初等變換，即因此可知，當(dāng)a=—1時(shí)，滿足方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解的條件，故a=—1。13、與α1=(1，2，3，—1)T，α2=(0，1，1，2)T，α3=(2，1，3，0)T都正交的單位向量是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：若列向量α，β正交，則內(nèi)積αTβ=0，設(shè)β=(x1，x2，x3，x4)T與α1，α2，α3均正交，那么對(duì)以上齊次方程組Ax=0的系數(shù)矩陣作初等行變換，有得到基礎(chǔ)解系是(—1，—1，1，0)T，將這個(gè)向量單位化，即。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、確定常數(shù)a，使向量組α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量組β1=(1，1，a)T，β2=(—2，a，4)T，β3=(—2，a，a)T。線性表示，但向量組β1，β2，β3不能由向量組α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：如果α1，α2，α3線性無關(guān)，則βj(j=1，2，3)一定可由3個(gè)3維線性無關(guān)向量組α1，α2，α3線性表示，不符合題設(shè)，故α1，α2，α3線性相關(guān)，即｜(α1，α2，α3)｜==(a+2)[—(a—1)2]=—(a+2)(a—1)2=0，于是a=—2或a=1。當(dāng)a=—2時(shí)，(β1，β2，β3，α1，α2，α3)顯然α2，α3，不能由β1，β2，β3線性表示，所以a≠—2。而當(dāng)a=1時(shí)，α1=α2=α3=β1，但β2，β3不能由α1，α2，α3線性表示，即a=1滿足題意。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)α1，α2，…，αn是n個(gè)n維的線性無關(guān)向量組，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不為零。證明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n個(gè)向量線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：選取αi之外的n個(gè)向量為例。令λ1α1+…+λi—1αi—1+λi+1αi+1+…+λnαn+λn+1αn+1=0，即(λ1+λn+1k1)α1+…+(λi—1+λn+1ki—1)αi—1+λn+1kiαi+(λi+1+λn+1ki+1)αi+1+…+(λn+λn+1kn)αn=0。因?yàn)棣?，α2，…，αn線性無關(guān)，所以必有λn+1ki=0，而ki≠0，則λn+1=0，故由λ1+λn+1k1=0，…，λi—1+λn+1ki—1=0，λi+1+λn+1ki+1=0，…，λn+λn+1kn=0，立即得λ1=λ2=…=λi—1=λi+1=…=λn+1=0，所以α1，α2，…，αi—1，αi+1，…，αn，αn+1線性無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)向量組(Ⅰ)可以由向量組(Ⅱ)線性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，證明：向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=r，且α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr分別為向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)的極大線性無關(guān)組。由于向量組(Ⅰ)可以由(Ⅱ)線性表示，故α1，α2，…，αr可以由β1，β2，…，βr線性表示。因此，R(α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr)=R(β1，β2，…，βr)=r。又α1，α2，…，αr線性無關(guān)，所以α1，α2，…，αr是向量組α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr的極大線性無關(guān)組，從而β1，β2，…，βr可以由α1，α2，…，αr線性表示，于是向量組(Ⅱ)可以由α1，α2，…，αr線性表示，所以向量組(Ⅱ)可以由(Ⅰ)線性表示。又已知向量組(Ⅰ)可以由(Ⅱ)線性表示，所以向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)α為n維非零列向量，E為n階單位陣，試證A=E—為正交矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)向量組α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量組β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T線性表示。18、求a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：4個(gè)3維向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)必線性相關(guān)。若β1，β2，β3線性無關(guān)，則αi(i=1，2，3)可由β1，β2，β3線性表示，這與題設(shè)矛盾。所以β1，β2，β3線性相關(guān)，從而｜(β1，β2，β3)｜==a—5=0，于是a=5。此時(shí)，αi(i=1，2，3)不能由向量組β1，β2，β3線性表示。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、將β1，β2，β3由α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=(α1，α2，α3β1，β2，β3)。對(duì)A作初等行變換則β1=2α1+4α2—α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2—2α3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)α1，α2，β1，β2均是三維向量，且α1，α2線性無關(guān)，β1，β2線性無關(guān)，證明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2線性表出，又可由β1，β2線性表出。當(dāng)α1=時(shí)，求出所有的向量γ。標(biāo)準(zhǔn)答案：四個(gè)三維向量α1，α2，β1，β2必線性相關(guān)，故有不全為零的數(shù)k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0。令γ=k1α1+k2α2=—l1β1—l2β2，則必有k1，k2不全為零。否則，若k1=k2=0，由k1，k2，l1，l2不全為零知，l1，l2不全為零，從而—l1β1—l1β2=0，這與β1，β2線性無關(guān)相矛盾，所以k1，k2不全為0。同理l1，l2亦不全為0。從而γ≠0，且它既可由α1，α2線性表出，又可由β1，β2線性表出。對(duì)已知的α1，α2，β1，β2，設(shè)x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0，對(duì)α1，α2，β1，β2組成的矩陣作初等行變換，有于是得方程組的通解為k(0，—3，—2，1)T，即x1=0，x2=—3k，y1=—2k，y2=k，所以γ=—3kα2=，l為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知向量β=(α1，α2，α3，α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T線性表出。21、求α1，α2，α3，α4應(yīng)滿足的條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：β可由α1，α2，α3，α4線性表示，即方程組(1)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解，對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有所以向量β可以由α1，α2，α3，α4線性表出的充分必要條件是a1—a2+a3—a4=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出。標(biāo)準(zhǔn)答案：由初等變換矩陣知，向量組α1，α2，α3，α4的極大線性無關(guān)組是α1，α2，α3，且α4=—6α1+6α2—3α3。(2)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、把向量β分別用α1，α2，α3，α4和它的極大線性無關(guān)組線性表出。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(1)的通解是x1=a1—a2—2a3+6t，x2=a2+2a3—6t，x3=3t—a3，x4=t，其中t為任意常數(shù)，所以β=(a1—a2—2a3+6t)α1+(a2+2a3—6t)α2+(3t—a3)α3+tα4，其中t為任意常數(shù)。把(2)式代入，得β=(a1—a2—2a3)α1+(a2+2a3)α2—a3α3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)R3的兩組基為：α1=(1，1，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，0，1)T；β1=(1，0，1)T，β2=(0，1，—1)T，β3=(1，2，0)T，求α1，α2，α3到β1，β2，β3的過渡矩陣C，并求γ=(—1，2，1)T在基β1，β2，β3下的坐標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣C=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)，對(duì)(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行交換，有(α1，α2，α3β1，β2，β3)=則過渡矩陣對(duì)(β1，β2，β3γ)作初等行變換，有(β1，β2，β3γ)=，故γ在基β1，β2，β3下的坐標(biāo)為(—5，—6，4)T。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（向量）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A4×5(α1，α2，α3，α4，α5)經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣A=(α1，α2，α3，α4，α5)→則()A、α1不能由α2，α3，α4線性表示。B、α2不能由α3，α4，α5線性表示。C、α3不能由α1，α2，α4線性表示。D、α4不能由α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，考慮非齊次線性方程組x2α2+x3α3+x4α4=α1。由已知條件可知r(α2，α3，α4)=r(α2，α3，α4，α1)=3，所以α1必可由α2，α3，α4線性表示。類似可判斷選項(xiàng)B和C也不正確，只有選項(xiàng)D正確。實(shí)際上，由r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3，α4)=3可知，α4不能由α1，α2，α3線性表示。故選D。2、設(shè)向量組I：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，則()A、當(dāng)rB、當(dāng)r>s時(shí)，向量組Ⅱ必線性相關(guān)。C、當(dāng)rD、當(dāng)r>s時(shí)，向量組I必線性相關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橄蛄拷MI可由向量組Ⅱ線性表示，故r(I)≤r(Ⅱ)≤s。又因?yàn)楫?dāng)r＞s時(shí)，必有r(I)＜r，即向量組I的秩小于其所含向量的個(gè)數(shù)，此時(shí)向量組I必線性相關(guān)。故選D。3、設(shè)A，B為n階方陣，P，Q為n階可逆矩陣，則下列命題不正確的是()A、若B=AQ，則A的列向量組與B的列向量組等價(jià)。B、若B=PA，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。C、若B=PAQ，則A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價(jià)。D、若A的行(列)向量組與矩陣B的行(列)向量組等價(jià)，則矩陣A與B等價(jià)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將等式B=AQ中的A，B按列分塊，設(shè)A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，則有(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)表明向量組β1，β2，…，βn可由向量組α1，α2，…，αn線性表示。由于Q可逆，從而有A=BQ—1，即(α1，α2，…，αn，)=(β1，β2，…，βn)Q—1，表明向量組α1，α2，…，αn可由向量組β1，β2，…，βn線性表示，因此這兩個(gè)向量組等價(jià)，故選項(xiàng)A的命題正確。類似地，對(duì)于PA=B，將A與B按行分塊可得出A與B的行向量組等價(jià)，從而選項(xiàng)B的命題正確。下例可表明選項(xiàng)C的命題不正確。設(shè)，則P，Q均為可逆矩陣，且但B的行(列)向量組與A的行(列)向量組不等價(jià)。對(duì)于選項(xiàng)D，若A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價(jià)，則這兩個(gè)向量組的秩相同，從而矩陣A與B的秩相同，故矩陣A與B等價(jià)(兩個(gè)同型矩陣等價(jià)的充分必要條件是秩相等)。故選C。4、設(shè)α1=(1，2，3，1)T，α2=(3，4，7，一1)T，α3=(2，6，a，6)T，α4=(0，l，3，a)T，那么a=8是α1，α2，α3，α4線性相關(guān)的()A、充分必要條件。B、充分而非必要條件。C、必要而非充分條件。D、既不充分也不必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：n個(gè)n維向量線性相關(guān)性一般用行列式｜α1，α2，…，αn｜是否為零去判斷。｜α1，α2，α3，α4｜=當(dāng)a=8時(shí)，行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，向量組｜α1，α2，α3，α4｜線性相關(guān)，但a=2時(shí)仍有行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，所以a=8是向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)的充分而非必要條件。故選B。5、現(xiàn)有四個(gè)向量組①(1，2，3)T，(3，一1，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T；③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。則下列結(jié)論正確的是()A、線性相關(guān)的向量組為①④，線性無關(guān)的向量組為②③。B、線性相關(guān)的向量組為③④，線性無關(guān)的向量組為①②。C、線性相關(guān)的向量組為①②，線性無關(guān)的向量組為③④。D、線性相關(guān)的向量組為①③④，線性無關(guān)的向量組為②。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：向量組①是四個(gè)三維向量，從而線性相關(guān)，可排除B。由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T線性無關(guān)，添上兩個(gè)分量就可得向量組②，故向量組②線性無關(guān)。所以應(yīng)排除C。向量組③中前兩個(gè)向量之差與最后一個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例，于是α1，α2，α4線性相關(guān)，那么添加α3后，向量組③必線性相關(guān)。應(yīng)排除A。由排除法，故選D。6、向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)的充分條件是()A、α1，α2，…，αn均不為零向量。B、α1，α2，…，αn中任意兩個(gè)向量的分量不成比例。C、α1，α2，…，αn中任意一個(gè)向量均不能由其余n—1個(gè)向量線性表示。D、α1，α2，…，αn中有一部分向量線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A、B、D均是向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)的必要條件，不是充分條件。由排除法可知選C。例如取α1=(1，0)，α2=(0，1)，α3=(1，1)，則向量組α1，α2，α3滿足選項(xiàng)A、B、D中的條件，但α1+α2—α3=0，即向量組α1，α2，α3線性相關(guān)。故選C。7、下列關(guān)于向量組線性相關(guān)性的說法正確的個(gè)數(shù)為()①如果α1，α2，…，αn線性相關(guān)，則存在全不為零的數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0；②如果α1，α2，…，αn線性無關(guān)，則對(duì)任意不全為零的數(shù)k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0；③如果α1，α2，…，αn線性無關(guān)，則由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…=kn=0；④如果α1，α2，…，αn線性相關(guān)，則對(duì)任意不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于①，線性相關(guān)的定義是存在不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。不全為零與全不為零不等價(jià)，故①錯(cuò)。②和③都是向量組線性無關(guān)的等價(jià)描述，正確。對(duì)于④，線性相關(guān)性只是強(qiáng)調(diào)不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要對(duì)任意不全為零的k1，k2，…，kn都滿足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④錯(cuò)誤。事實(shí)上，當(dāng)且α1，α2，…，αn全為零向量時(shí)，才能滿足對(duì)任意不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。綜上所述，正確的只有兩個(gè)。故選B。8、設(shè)α1，α2，…，αs均為n維向量，下列結(jié)論中不正確的是()A、若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，則α1，α2，…，αs線性無關(guān)。B、若α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。C、α1，α2，…，αs線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s。D、α1，α2，…，αs線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)辇R次線性方程組x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs線性無關(guān)，選項(xiàng)A正確。對(duì)于選項(xiàng)B，由α1，α2，…，αs線性相關(guān)知，齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xsαs=0存在非零解，但該方程組存在非零解，并不意味著任意一組不全為零的數(shù)均是它的解，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤。選項(xiàng)C是教材中的定理。由“無關(guān)組減向量仍無關(guān)”(線性無關(guān)的向量組其任意部分組均線性無關(guān))可知選項(xiàng)D也正確。故選B。9、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1。B、α1一α2，α2+α3，α3+α1。C、α1+α2，3α1—5α2，5α1+9α2。D、α1+α2，2α1+3α2+4α3，α1一α2一2α3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：通過已知選項(xiàng)可知(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，(α1一α2)+(α2+α3)一(α3+α1)=0，因此選項(xiàng)A、B中的向量組均線性相關(guān)。對(duì)于選項(xiàng)C，可設(shè)β1=α1+α2，β2=3α1一5α2，β3=5α1+9α2，即β1，β2，β3三個(gè)向量可由α1，α2兩個(gè)向量線性表示，所以β1，β2，β3必線性相關(guān)，即α1+α2，3α1一5α2，5α1+9α2必線性相關(guān)。因而用排除法可知，故選D。10、已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則向量組()A、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1線性無關(guān)。B、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性無關(guān)。C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4—α1線性無關(guān)。D、α1+α2，α2+α3，α3—α4，α4—α1線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：排除法。通過觀察可知(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一(α1+α1)=0，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，即選項(xiàng)A、B、D中的向量組均線性相關(guān)。故選C。二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)11、如果β=(1，2，t)T可以由α1=(2，1，1)T，α2=(一1，2，7)T，α3=(1，一1，一4)T線性表示，則t=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：β可以由向量組α1，α2，α3線性表示的充分必要條件是非齊次線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=β有解，對(duì)該方程組的增廣矩陣作初等行變換得而方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，因此t一5=0，即t=5。12、設(shè)α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3線性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3線性表示，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1，有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，由于兩個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，因此可以合并一起作矩陣的初等變換，即因此可知，當(dāng)a=一1時(shí)，方程組x1α1+x2α2+x3α3=β有解，方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，故a=一1。13、任意一個(gè)三維向量都可以由α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(0，1，2)T線性表示，則a的取值范圍為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：a≠3知識(shí)點(diǎn)解析：任意一個(gè)三維向量都可以用α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(0，1，2)T線性表示，則α1，α2，α3必線性無關(guān)。又α1，α2，α3為3個(gè)三維向量，故可考慮其行列式，即｜α1，α2，α3｜==2(a—3)≠0，即a≠3。14、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=m，r(α1，α2，…，αs，γ)=m+1，則r(α1，α2，…，αs，β，γ)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：m+1知識(shí)點(diǎn)解析：已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=m，表明向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=m+1，則表明向量γ不能由向量組α1，α2，…，αs線性表示，因此通過對(duì)向量組α1，α2，…，αs，β，γ作初等列變換，可得(α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=m+1。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)設(shè)向量組α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，試問：當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，15、β可由α1，α1，α3線性表出，且表示唯一；標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮線性方程組k1α1+k2α2+k3α3=β，(1)記其系數(shù)矩陣A=(α1，α2，α3)。對(duì)該線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，即當(dāng)a≠一10時(shí)，r(A)=r(A，β)=3，此時(shí)方程組(1)有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地線性表出。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、β不可由α1，α1，α3線性表出；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=一10，且c≠3b一1時(shí)，可知r(A)≠r(A，β)，此時(shí)方程組(1)無解，β不可由α1，α2，α3線性表出。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、β可由α1，α1，α3線性表出，但表示不唯一，求出一般表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=一10，且c=3b一1時(shí)，可知r(A)=r(A，β)=2，此時(shí)方程組(1)有無窮多解，其全部解為，k2=l，k3=b—l，其中l(wèi)為任意常數(shù)。β可由α1，α2，α3線性表出，但表示不唯一，其一般表達(dá)式為β=+lα2+(b一l)α3，其中l(wèi)為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知α1=(1，一1，1)T，α2=(1，t，一1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，一4)T，若β可由向量組α1，α1，α3線性表示，且表示法不唯一，求t及β的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：記A=(α1，α2，α3)，考慮線性方程組Ax=β。對(duì)其系數(shù)矩陣的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，即由題意可知，線性方程組有無窮多解，所以r(A)=＜3，從而t=4。當(dāng)t=4時(shí)，線性方程組Ax=β的通解為k(一3，一1，1)T+(0，4，0)T，k∈R。所以β=一3kα1+(4一k)α2+kα3，k∈R。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)向量組α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量組β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T線性表示。19、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3表示，且由｜α1，α2，α3｜=1≠0，知α1，α2，α3線性無關(guān)，所以β1，β2，β3線性相關(guān)，即｜β1，β2，β3｜==a一5=0，解得a=5。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、將β1，β2，β3由α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：本題等價(jià)于求三階矩陣C，使得(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C。所以C=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)因此(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)所以β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2—2α3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)向量組(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量組(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。試問：當(dāng)a為何值時(shí)，向量組(I)與(Ⅱ)等價(jià)?當(dāng)a為何值時(shí)，向量組(I)與(Ⅱ)不等價(jià)?標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)矩陣(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行變換，有(α1，α2，α3β1，β2，β3)當(dāng)a≠一1時(shí)，行列式｜α1，α2，α3｜=a+1≠0，由克拉默法則可知線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，此時(shí)向量組(Ⅱ)可由向量組(I)線性表示。同理，由行列式｜β1，β2，β3｜=6≠0，可知向量組(I)也可由向量組(Ⅱ)線性表示。向量組(I)與(Ⅱ)等價(jià)。當(dāng)a=一1時(shí)，有(α1，α2，α3β1，β2，β3)因?yàn)閞(α1，α2，α3)≠r(α1，α2，α3，β1)，所以線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1無解，即β1不能由α1，α2，α3線性表示。向量組(I)與(Ⅱ)不等價(jià)。綜上所述，當(dāng)a≠一1時(shí)，向量組(I)與(Ⅱ)等價(jià)；當(dāng)a=一1時(shí)，向量組(I)與(Ⅱ)不等價(jià)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、確定常數(shù)a，使向量組α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量組β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T線性表示，但向量組β1，β2，β3不能由向量組α1，α2，α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：記A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)。因?yàn)棣?，β2，β3，不能由α1，α2，α3線性表示，所以r(A)＜3(若r(A)=3，則任何三維向量都可以由α1，α2，α3線性表示)，從而=一(a+2)(a一1)2=0，即a=一2或1。當(dāng)a=一2時(shí)，有考慮線性方程組Bx=α2。因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為3