考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共266題）

考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共266題）考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知f(x，y)=，則()A、f’x(0，0)，f’y(0，0)都存在。B、f’x(0，0)不存在，f’y(0，0)存在。C、f’x(0，0)不存在，f’y(0，0)不存在。D、f’x(0，0)，f’y(0，0)都不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于故f’y(0，0)不存在。所以f’y(0，0)存在。故選B。2、函數(shù)f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微的充分條件是()A、f’x(x，0)=f’x(0，0)，且f’y(0，y)=f’y(0，0)。B、[f(x，y)一f(0，0)]=0。C、和都存在。D、f’x(x，y)=f’x(0，0)，且f’y(x，y)=f’y(0，0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由f’x(x，y)=f’x(0，0)，且有f’y(x，y)=f’y(0，0)，可知，f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)f’x(x，y)和f’y(x，y)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)，因此f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微。故選D。3、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零。D、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，故有f’x(x0，y0)=0,f’y(x0，y0)=0。又由f’x(x0，y0)=。故選B。4、=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合二重積分的定義可得故選D。5、設(shè)f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于f(0，0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由積分中值定理知故選C。6、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x，y)dx。B、∫eyedy∫01f(x，y)dx。C、∫0lnxdy∫1ef(x，y)dx。D、∫01dy∫eyef(x，y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx。故選D。7、累次積分可以寫成()A、。B、。C、∫01dx∫01f(x，y)dx。D、。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分可知，積分區(qū)域。為D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ，0≤θ≤}。由r=cos0為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖所示。該圓的直角坐標(biāo)方程為。故用直角坐標(biāo)表示區(qū)域D為D={(x，y)｜0≤y≤，0≤x≤1}，或者可見選項(xiàng)A、B、C均不正確，故選D。8、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=xy+f(u，v)dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)=()A、xy。B、2xy。C、。D、xy+1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：等式f(x，y)=xy+兩端積分得則有故選C。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程z+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，一1)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x，y，z)=e2+y2z，那么有f’x(x，y，z)=e2+y2z’x。在等式x+y+z+xyz=0兩端對x求偏導(dǎo)可得1+z’x+yz+xyz’x=0。由x=0，y=1，z=一1，可得z’x=0。故f’x(0，1，一1)=e0=1。10、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f’(0)=，則z=f(4x2一y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分dz｜(1，2)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx一2dy知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用微分的形式計(jì)算，因?yàn)樗?1、設(shè)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)則z=ux，所以因此12、設(shè)z=xf(u)+g(u)，，且f(u)及g(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則因此13、二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知f’x=2x(2+y2)，f’y=2x2y+lny+1。由解得駐點(diǎn)。又有所以，則A＞0。故是f(x，y)的極小值，且。14、交換積分次序=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖所示，則有15、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則(x2一y)dxdy=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用函數(shù)奇偶性及輪換對稱性16、=______，其中D由y軸，，y=arctanx圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)17、設(shè)求標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知分別代入可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求原點(diǎn)到曲面(x一y)2+z2=1的最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，求曲面上的點(diǎn)(x，y，z)到原點(diǎn)的距離在條件(x2一y2)2+z2=1下達(dá)到最小值，運(yùn)用拉格朗日函數(shù)法。令F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x一y)2+λz2一λ，則有即得由(3)式，若λ=一1，代入(1)式和(2)式得解得x=0，y=0。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。若λ≠一1，由(3)式解得z=0。由(1)式和(2)式得到x=一y。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到故所求的最短距離為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求在D內(nèi)的駐點(diǎn)，即解得因此在D內(nèi)只有駐點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值為f(2，1)=4。再求f(x，y)在D邊界上的最值：①在x軸上y=0，所以f(x，0)=0；②在y軸上x=0，所以f(0，y)=0；③在x+y=6上，將y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此f’x=6x2—24x=0，得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得駐點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4，2)=一64。綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在橢圓域D={(x，y)｜}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令得可能極值點(diǎn)為x=0，y=0。且△=B2一AC=4＞0，所以點(diǎn)(0，0)不是極值點(diǎn)，也不可能是最值點(diǎn)。下面討論其邊界曲線上的情形，令拉格朗日函數(shù)為F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+—1)，求解得可能極值點(diǎn)x=0，y=2，λ=4；x=0，y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。將其分別代入f(x，y)得，f(0，±2)=一2，f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)｜}內(nèi)的最大值為3，最小值為一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知得及所以則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算(x2+y2)dxdy，其中D是由y=一x，所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：x2一2x+y2=0=>(x一1)2+y2=1；y=一x與x2+y2=4的交點(diǎn)為和；y=一x與x2一2x+y2=0的交點(diǎn)為(0，0)和(1，一1)；x2+y2=4與x2一2x+y2=0的交點(diǎn)為(2，0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求二重積分(x一y)dxdy，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求二重積分max{xy，1}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2+D3(如圖所示)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算二重積分，其中D是由x軸，y軸與曲線所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖所示的陰影部分所示。由得因此令有x=a(1一t)2，dx=一2a(1一t)dt，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算(xy2+3exsiny)dσ，其中D：x2+y2≤2x。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱，3exsiny關(guān)于y為奇函數(shù)，故對該積分利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D由曲線r=l+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意令u=cosθ得，原式=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算二重積分，其中D={(r，θ)｜0≤r≤secθ，0≤θ≤}。標(biāo)準(zhǔn)答案：將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得積分區(qū)域如圖所示。D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，則有利用換元法，記x=sint，則上式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2=2}，計(jì)算二重積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：其中同理而=2·2π=4π。所以原式=4π。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將x視為常數(shù)，屬于基本計(jì)算．2、極限A、等于0B、不存在C、等于D、存在且不等于0及標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：取y=x，則取y=x2，則故原極限不存在．3、設(shè)u=f(r)，而f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：屬于基本計(jì)算，考研計(jì)算中?？歼@個(gè)表達(dá)式．4、設(shè)函數(shù)u=u(x，y)滿足及u(x，2x)=x，u’1(x，2x)=x2，u有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則u"11(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：等式u(x，2x)=x兩邊對x求導(dǎo)得u’1+2u’2=1，兩邊再對x求導(dǎo)得u"11+2u"12+2u"21+4u"22=0，①等式u’1(x，2x)=x2兩邊對x求導(dǎo)得u"11+2u"12=2x，②將式②及u"12=u"21，u"11=u"22代入式①中得5、下列結(jié)論正確的是()A、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)B、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)連續(xù)，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在C、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且有界，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)D、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)連續(xù)，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)該鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有界標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)之間沒有必然的聯(lián)系．設(shè)在(x0，y0)某鄰域U內(nèi)，對于任意(x，y)∈U，有|f’x(x，y)|≤M，|f’y(x，y)|≤M(M為正常數(shù))．由微分中值定理，有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)|=|f’y(x，y0+θ1Ay)·△y|+|f’x(x0+θ2△x，y0)·△x|≤M(|△x|+|△y|)，這里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．當(dāng)時(shí)，有△x→0，△y→0，必有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，故f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)．6、利用變量替換u=x，可將方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)微分法于是又u=x，故7、若函數(shù)其中f是可微函數(shù)，且則函數(shù)G(x，y)=()A、x+yB、x—yC、x2一y2D、(x+y)2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)則u=xyf(t)，于是即G(x，y)=x—y．8、設(shè)u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則u(x，y)的()A、最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部B、最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上C、最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上D、最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令由于B2一AC＞0，函數(shù)u(x，y)不存在無條件極值，所以D的內(nèi)部沒有極值，故最大值與最小值都不會(huì)在D的內(nèi)部出現(xiàn)．但是u(x，y)連續(xù)，所以，在平面有界閉區(qū)域D上必有最大值與最小值，故最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上．9、設(shè)函數(shù)則函數(shù)z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)，而兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)z’x(0，0)與z’y(0，0)存在B、連續(xù)，而兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)z’x(0，0)與z’y(0，0)不存在C、連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)z’x(0，0)與z’y(0，0)都存在，但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：直接驗(yàn)證(D)正確，從而排除(A)，(B)，(C)．按微分定義，z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，且二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)10、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程sinx+2y—z=ez所確定，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩端對x求偏導(dǎo)數(shù)移項(xiàng)并解出即可．11、函數(shù)的定義域?yàn)開____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由且z≠0可得．12、設(shè)F(u，v)對其變元u，v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)則f’x(0，1)=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)z=esinxy，則dz=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知識(shí)點(diǎn)解析：由于z’x=esinxycosxy·y，z’y=esinxycosxy·x，所以dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．15、已知u(0，0)=1，求u(x，y)的極值點(diǎn)__________，并判別此極值是極__________(大、小)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由有u(x，y)=x2+xy+x+φ(y)．再由=x+2y+3有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C于是u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C．再由u(0，0)=1得C=1，從而u(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1．所以為極小值．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)16、求f(x，y)=x+xy一x2一y2在閉區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是閉區(qū)域上求最值的問題．由于函數(shù)f(x，y)=x+xy—x2一y2在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=35-+xy—x2一y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極值：解方程組得區(qū)域D內(nèi)部唯一的駐點(diǎn)為由g(x，y)=(f"xy)2一f"xxf"yy=一3得f(x，y)=x+xy一x2一y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極大值再求f(x，y)在閉區(qū)域D邊界上的最大值與最小值：這是條件極值問題，邊界直線方程即為約束條件．在x軸上約束條件為y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函數(shù)為F(x，y，λ)=x+xy一x2一y2+λy，解方程組得可能的極值點(diǎn)其函數(shù)值為在下邊界的端點(diǎn)(0，0)，(1，0)處f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下邊界的最大值為最小值為0。同理可求出：在上邊界上的最大值為一2，最小值為一4；在左邊界上的最大值為0，最小值為一4；在右邊界上的最大值為最小值為一2．比較以上各值，可知函數(shù)f(x，y)=x+xy一x2一y2在閉區(qū)域D上的最大值為最小值為一4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求函數(shù)z=x2+y2+2x+y在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1)上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x2+y2≤1是有界閉區(qū)域，z=x2+y2+2x+y在該區(qū)域上連續(xù)，因此一定能取到最大值與最小值．①解方程組得由于不在區(qū)域D內(nèi)，舍去．②函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部無偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．③再求函數(shù)在邊界上的最大值與最小值點(diǎn)，即求z=x2+y2+2x+y滿足約束條件x2+y2=1的條件極值點(diǎn)．此時(shí)z=1+2x+y．用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2一1)，解方程組得或所有三類最值懷疑點(diǎn)僅有兩個(gè)，由于所以最小值最大值知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求內(nèi)接于橢球面的長方體的最大體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該內(nèi)接長方體體積為v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且位于橢球面上，由于橢球面關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對稱，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且滿足條件因此，需要求出v=8xyz在約束條件下的極值．設(shè)求出L的所有偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0，有式①，②，③分別乘以x，y，z，有得或λ=0(λ=0時(shí)，8xyz=0，不合題意，舍去)．把代入式④，有解得從而由題意知，內(nèi)接于橢球面的長方體的體積沒有最小值，而存在最大值，因而以點(diǎn)為頂點(diǎn)所作對稱于坐標(biāo)平面的長方體即為所求的最大長方體，體積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、在第一象限的橢圓上求一點(diǎn)，使原點(diǎn)到過該點(diǎn)的法線的距離最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則有橢圓上任意一點(diǎn)(x，y)處的法線方程為即原點(diǎn)到該法線的距離為記x＞0，y＞0，約束條件為構(gòu)造拉格朗日函數(shù)h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根據(jù)條件極值的求解方法，先求令得方程組：由式①得一16+λx4=0，則由式②得一1+4λy4=0即所以有則代入式③得到解得根據(jù)實(shí)際問題，距離最大的法線是存在的，駐點(diǎn)只有一個(gè)，所得即所求，故可斷定所求的點(diǎn)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函數(shù)f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得結(jié)果證明不等式標(biāo)準(zhǔn)答案：作拉格朗日函數(shù)L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一5R2)，并令由①，②，③式得代入式④得可疑點(diǎn)因xyz2在有界閉集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而唯一，故最大值為又lnx+lny+3lnz≤，即故x2y2z2≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)討論它們在點(diǎn)(0，0)處的①偏導(dǎo)數(shù)的存在性；②函數(shù)的連續(xù)性；③函數(shù)的可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：對f(x，y)作如下討論．①按定義易知f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0，故在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)存在．②所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．③按可微定義，若可微，則即應(yīng)有但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左邊為故不可微．對g(x，y)作如下討論．以下直接證明③成立，由此可推知①，②均成立．事實(shí)上，所以按可微的定義知，g(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)0(0，0)的某鄰域U內(nèi)連續(xù)，且常數(shù)試討論f(0，0)是否為f(x，y)的極值?若為極值，是極大值還是極小值?標(biāo)準(zhǔn)答案：由知再令于是上式可改寫為由f(x，y)的連續(xù)性，有另一方面，由知，存在點(diǎn)(0，0)的去心鄰域當(dāng)時(shí)，有故在內(nèi)，f(x，y)＞0．所以f(0，0)是f(x，y)的極小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求函數(shù)f(x，y)=x2+2y2一x2y2在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求f(x，y)在D內(nèi)部的駐點(diǎn)．由f’x(x，y)=2x一2xy2=0，f’y(x，y)=4y一2x2y=0，解得x=0或y=±1；或y=0．經(jīng)配對之后，位于區(qū)域D內(nèi)部的點(diǎn)為經(jīng)計(jì)算，有再考慮D邊界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x2，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x2+y2=4(y＞0)上，有令g’(x)=4x3一10x=0，得x=0或有g(shù)(0)=8，比較以上函數(shù)值的大小，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)h(t)為三階可導(dǎo)函數(shù)，u=h(xyz)，h(1)=f"xy(0，0)，h’(1)=f"yx(0，0)，且滿足求u的表達(dá)式，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：因u’x=yzh’(xyz)，u"xy=zh’(xyz)+xyz2h"(xyz)，u’"xyz=h’(xyz)+xyzh"(xyz)+2xyzh"(xyz)+x2y2z2h’"(xyz)．故3xyzh"(xyz)+h’(xyz)=0，令xyz=t，得3th"(t)+h’(t)=0．設(shè)v=h’(t)，得3tv’+v=0，分離變量，得從而又f(x，0)=0，則易知f(0，0)=0，當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)，有于是f’x(0，y)=一y，所以f"xy(0，0)=一1，由對稱性知f"yx(0，0)=1，所以h(1)=一1，h’(1)=1，于是故從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、(1)敘述二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微及微分的定義；(2)證明可微的必要條件定理：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)都存在，且并請舉例說明(1)之逆不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)定義：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，0)的某鄰域U內(nèi)有定義，(x0+△x0，y0+△y)∈U．增量其中A，B與△x和△y都無關(guān)，則稱f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，并且為z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的微分．(2)設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則(*)式成立．令△y=0，于是令△x→0，有同理有于是f’x(x0，y0)與f’x(x0，y0)存在，并且例如，對于函數(shù)有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在．以下用反證法證f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微．若可微，則有△f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+o(ρ)，但此式是不成立的．例如取△y=k△x，則與k有關(guān)，(**)式不成立，所以不可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)z=f(x，y)，其中f，g，φ在其定義域內(nèi)均可微，計(jì)算中出現(xiàn)的分母均不為0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：復(fù)合關(guān)系復(fù)雜，又夾有隱函數(shù)微分法，利用微分形式不變性解題比較方便，由z=f(x，y)，有dz=f’1dx+f’2dy．由有解得代入第一式dz表達(dá)式中再解出得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，且表達(dá)式[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy為某二元函數(shù)u(x，y)的全微分．27、求f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題知，存在二元函數(shù)u(x，y)，使du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，即由于f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以u的二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以有即有x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy，f’(x)+f(x)=x．又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e-x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求u(x，y)的一般表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題有，du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy．求u(x，y)有多個(gè)方法．方法一湊微分法．所以u(x，y)=(xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C為任意常數(shù)．方法二偏積分法．由其中C1(y)為Y的任意可微函數(shù)．再由得x2y+x+e-x+C’1(y)=x一1+e-x+x2y，于是C’1(y)=一1，C1(y)=一y+C．于是u=(xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求函數(shù)f(x，y)=x2+y2一12x+16y在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤25}上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令解得點(diǎn)(6，一8)不在區(qū)域D內(nèi)，所以在D內(nèi)無極值點(diǎn)．又閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值，因此，最大值和最小值只能在邊界x2+y2=25上取得．在邊界x2+y2=25上，f(x，y)=25—12x+16y．構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=25—12x+16y+2(x2+y2一25)，比較大小可知，f(x，y)在點(diǎn)(3，一4)處有最小值f(3，一4)=一75，在點(diǎn)(一3，4)處有最大值f(一3，4)=125．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2+4y2+9在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4)上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：按二元函數(shù)求極值的方法．因可得駐點(diǎn)(0，0)，又所以z(0，0)=9為極小值．再考查D的邊界D={(x，y)|x2+y2=4)上的情況，用參數(shù)方程x=2cost，y=2sint，0≤t≤2π．于是在邊界上，z=4cos2t+16sin2t+9=12sin2t+13．當(dāng)時(shí)，z最大，最大值為25．在D的邊界D上的最小值為13>z(0，0)=9．所以z(0，0)=9為最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+32=0確定，討論函數(shù)z(x，y)的極大值與極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：將x2—6xy+10y2一2yz—z2+32=0兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，有為求駐點(diǎn)，令聯(lián)立方程得與原設(shè)方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+32=0聯(lián)立解得點(diǎn)(12，4，4)1與(一12，一4，一4)2．再將(*)與(**)式對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得再以點(diǎn)(12，4，4)1代入得所以z=4為極小值．將點(diǎn)(一12，一4，一4)2代入得所以z=一4為極大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)2關(guān)于變量x，y具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，并作變量變換x=eu+v，y=eu-v，請將方程變換成z關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：按的復(fù)合關(guān)系計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，為此，先解出于是有代入原方程左邊，原方程化為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、函數(shù)f(χ，y)在(χ0，y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)函數(shù)f(χ，y)()．A、有極限B、連續(xù)C、可微D、以上結(jié)論均不成立標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取f(χ，y)＝顯然f(χ，y)在(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，但f(χ，y)不存在，所以應(yīng)選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)2、設(shè)f(χ，y，z)＝eχχyz2，其中z＝z(χ，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0確定的隱函數(shù)，則f′χ(0，1，－1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：f＝eχyz2＋2eχyz，χ＋y＋z＋χyz＝0兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得將χ＝0，y＝1，z＝－1代入得＝0，故f′χ(0，1，－1)＝1．3、已知z＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：lnz＝，兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得4、設(shè)2sin(χ＋2y－3z)＝χ＋2y－3z，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)f(χ，y)可微，f(1，2)＝2，f′χ(1，2)＝3，f′y(1，2)＝4，φ(χ)＝f(χ，f(χ，2χ))，則φ′(1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識(shí)點(diǎn)解析：φ′(χ)＝f′χ(χ，f(χ，2χ))＋f′y(χ，f(χ，2χ)).[f′χ(χ，2χ)＋2f′y(χ，2χ)]，則φ′(1)＝f′χ(1，f(1，2))＋f′y(1，f(1，2)).[f′χ(1，2)＋2f′y(1，2)]＝f′χ(1，2)＋f′y(1，2).[f′χ(1，2)＋2f′y(1，2)]＝3＋4(3＋8)＝47．6、設(shè)＝2，則2f′χ(0，0)＋f′y(0，0)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：令得f(χ，y)＝－3χ＋4y＋0(ρ)，由二元函數(shù)可全微定義得f′χ(0，0)＝－3，f′y(0，0)＝4，故2f′χ(0，0)＋f′y(0，0)＝－2．7、由χ＝zey+z確定z＝z(χ，y)，則dz｜(e,0)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：χ＝e，y＝0時(shí)，z＝1．χ＝zey＋z兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得χ＝zey＋z兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得故dz(e，0)＝三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)8、設(shè)f(χ，y)＝，試討論f(χ，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性和可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(χ，y)＝0＝f(0，0)得f(χ，y)在(0，0)處連續(xù)．由＝0得f′χ(0，0)＝0，由得f′y(0，0)＝，f(χ，y)在(0，0)可偏導(dǎo)．令ρ＝，△χ＝f(χ，y)－f(0，0)＝y(tǒng)arctan，即f(χ，y)在(0，0)處可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)二元函數(shù)f(χ，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足f〞χχ(χ，y)＝f(χ，y)，f〞yy(χ，2χ)＝χ2，f′χ(χ，2χ)＝χ，求f〞χχ(χ，2χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ，2χ)＝χ2兩邊關(guān)于χ求導(dǎo)得f′χ(χ，2χ)＋2f′y(χ，2χ)＝2χ，由f′χ(χ，2χ)＝χ得f′y(χ，2χ)＝，f′χ(χ，2χ)＝χ兩邊關(guān)于χ求導(dǎo)得f〞χχ(χ，2χ)＋2f〞yy(χ，2χ)＝1，f′y(χ，2χ)＝兩邊關(guān)于χ求導(dǎo)得f〞yχ(χ，2χ)＋2f〞yy(χ，2χ)＝，解得f〞χχ(χ，2χ)＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)z＝arctan，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)z＝，求dz與標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)z＝χ2arctan－y2arctan，求dz｜(1,1)，及標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、已知u(χ，y)＝，其中f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求χu〞χχ＋yu〞yy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、z＝f()＋g(eχ，siny)，f的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，g的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)z＝f(u，χ，y)，u＝χey，其中f具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z＝f(2z－y，ysinχ)，其中f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2f′1＋ycosχf′2，＝2(－f〞11＋sinχf〞12)＋cosχf′2＋ycosχ(－f〞21＋sinχf〞22)＝－2f〞11＋(2sinχ－ycosχ)f〞12＋cosχf′2＋ysinχcosχf〞22知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿＝1，又g(χ，y)＝f(χy，)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝y(tǒng)f′1＋χf′2＝y(tǒng)(yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋χ(yf〞21＋χf〞22)＝y(tǒng)2f〞11＋2χyf〞12＋χf〞22＋f′2＝χf′1－yf′2＝χ(χf〞11－yf〞12)－f′2－y(χf〞21－yf〞22)＝χ2f〞11－2χyf〞12＋yf〞22－f′2則＝(χ2＋y2)(f〞11＋f〞12)＝χ2＋y2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)z＝y(tǒng)f(χ2－y2)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z＝z(χ，y)，由方程F()＝0確定(F為可微函數(shù))，求標(biāo)準(zhǔn)答案：F()＝0兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得兩邊關(guān)于Y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)z＝χf(χ，u，v)，其中，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z＝f(χ，y)是由方程z－y－χ＋χeχ－y－z＝0所確定的二元函數(shù)，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：z－y－χ＋χez－y－χ＝0兩邊關(guān)于χ，y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)φ(u，v，ω)由一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，z＝z(χ，y)是由φ(bz－cy，cχ－az，ay－bχ)＝0確定的函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(bz－cy，cχ－az，ay－bz)＝0兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得φ(bz－cy，cχ－az，ay－bχ)＝0兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)z＝z(χ，y)是由f(y－χ，yz)＝0確定的，其中f對各個(gè)變量有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：f(y－χ，yz)＝0兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(χ2)，其中f可微，求的最簡表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得2χ＋2z＝y(tǒng)f(z2)＋2χyzf′(z2)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)z＝z(χ，y)由方程χ＝f(y＋z，y＋χ)所確定，其中f(χ，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝f(y＋z，y＋χ)兩邊關(guān)于χ求偏導(dǎo)得χ＝f(y＋z，y＋χ)兩邊關(guān)于y水偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、若＝χ＋y且滿足z(χ，0)＝χ，z(0，y)＝y(tǒng)2，求z(χ，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝χ＋y得，從而z(χ，y)＝＋∫0χφ(χ)dχ＋φ(y)，由z(χ，0)＝χ得∫0χφ(χ)dχ＋φ(0)＝χ，從而φ(χ)＝1，φ(0)＝0；再由z(0，y)＝y(tǒng)2得φ(y)＝y(tǒng)2，故z(χ，y)＝＋χ＋y2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)z＝f(χ，y)二階可偏導(dǎo)，＝2，且f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，求f(χ，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝2得＝2y＋φ(χ)，由f′y(χ，0)＝χ得φ(χ)＝χ，即＝2y＋χ，從而z＝y(tǒng)2＋χy＋φ(χ)，再由f(χ，0)＝1得φ(χ)＝1，故f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在。C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由可知f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(ρ)(當(dāng)(x，y)→(0，0)時(shí))，即得f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(p)，由微分的定義可知f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微。故選D。2、設(shè)函數(shù)u(x，y)=φ(x+y)+φ(x一y)+其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，φ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先分別求出，再進(jìn)一步比較結(jié)果。因?yàn)?φ’(x+y)+φ’(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，=φ’(x+y)—φ’(x一y)+ψ(x+y)+ψ(x一y)，于是=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)—φ’’(x一y)+ψ’(x+y)+ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，可見有。故選B。3、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(diǎn)(0，0)()A、不是f(x，y)的連續(xù)點(diǎn)。B、不是f(x，y)的極值點(diǎn)。C、是f(x，y)的極大值點(diǎn)。D、是f(x，y)的極小值點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)dz=xdx+ydy可得，，則又在(0，0)處，，AC—B2=1＞0，根據(jù)二元函數(shù)極值點(diǎn)的判斷方法可知，(0，0)為函數(shù)z=f(x，y)的一個(gè)極小值點(diǎn)。故選D。4、設(shè)D為單位圓x2+y2≤1，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I1。D、I2＜I3＜I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分域D關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3是Y的奇函數(shù)，則積分區(qū)域關(guān)y=x對稱，從而由輪換對稱性可知由于在D內(nèi)｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，則，從而有I1＜I3＜I2。故選D。5、累次積分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02—yf(x，y)dx可寫成()A、∫02dx∫x2—xf(x，y)dyB、∫01dy∫02—xf(x，y)dxC、∫01dx∫xx—2f(x，y)dyD、∫01dx∫y2—yf(x，y)dy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原積分域?yàn)橹本€y=x，x+y=2與y軸圍成的三角形區(qū)域。故選C。6、設(shè)則=()A、1。B、。C、。D、e一1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域如圖所示。交換積分次序=2∫01te—t2dt=—e—t2｜01=1—e—1。故選B。7、設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，則(xy+cosxsiny)dxdy=()A、。B、。C、。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將閉區(qū)間D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}用直線y=一x將其分成兩部分D2和D3，如圖所示，其中D2關(guān)于y軸對稱，D3關(guān)于x軸對稱，xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，所以在D2和D3上，均有。而cosxsiny是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于y的奇函數(shù)，在D3積分值不為零，在D2積分值為零，因此所以故選A。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設(shè)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槔脢A逼定理知。又知f(0，0)=a，則a=0。9、設(shè)z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩端對x求偏導(dǎo)整理得同理可得故有10、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程z=e2x—3z+2y確定，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：利用全微分公式，得dz=e2x—3z(2dx一3dz)+2dy=2e2x—3zdx+2dy一3e2x—3zdz，所以(1+3e2x—3z)dz=2e2x—3zdx+2dy，因此從而11、設(shè)z=z(x，y)是由方程確定的隱函數(shù)，則在點(diǎn)(0，一1，1)的全微分dz=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx+dy知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊微分，有將x=0，y=一1，z=1代入上式，得，即有dz=2dx+dy。12、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)z=f(x，xy)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf’’12+f’2+xyf’’22知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知=xf’’12+f’2+xyf’’2213、交換積分次序∫—10dy∫21—yf(x，y)dy=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫12dx∫01—xf(x，y)dy知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限司確足積分區(qū)域D(如圖所示)一1≤y≤0，1一y≤x≤2。則有∫—t0dy∫1—y2f(x，y)dx=。交換積分次序∫—10dy∫21—yf(x，y)dx=—∫—10dy∫1—y2f(x，y)dx=—∫12dx∫1—x0f(x，y)dy=∫12dx∫01—xf(x，y)dy。14、已知極坐標(biāo)系下的累次積分，其中a＞0為常數(shù)，則I在直角坐標(biāo)系下可表示為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先將I表示成，用D的極坐標(biāo)表示，0≤r≤acosθ，因此可知區(qū)域D：。如圖所示。如果按照先y后x的積分次序，則有因此可得15、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標(biāo)表示為因此三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對x求導(dǎo)，得整理后得解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=f(x2一y2，exy)，其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛梢阎獥l件可得=2xf’1+yexyf’2，=—2yf’1+xexyf’2，=2x[f’’11·(一2y)+f’’12·xexy]+exyf’2+xyexyf’2+yexy[f’’21·(一2y)+f’’22·xexy]=—4xyf’’11+2(x2一y2)exyf’’12+xye2xyf’’22+exy(1+xy)f’2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f’1+f’2+yf’3，=f’1一f’2+xf’3，所以=(f’1+f’2+yf’3)dx+(f’1—f’2+xf’3)dy，=f’’11×1+f’’12×(—1)+f’’13·x+f’’21×1+f’’22×(一1)+f’’23·x+f’3+y[f’’31×1+f’’32×(一1)+f’’33·x]=f’3+f’’11一f’’22+xyf’’33+(x+y)f’’13+(x—y)f’’23。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知函數(shù)f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，f(1，1)=2是f(u，v)的極值，已知z=f[(x+y)，f(x，y)]。求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?f’1[(x+y)，f(x，y)]+f’2[(x+y)，f(x，y)]·f’1(x，y)，所以=f’’11[(x+y)，f(x，y)]+f’’12[(x+y)，f(x，y)]·f’2(x，y)+f’’21[(x+y)，f(x，y)]·f’1(x，y)+f’’22[(x+y)，f(x，y)]·f’2(x，y)·f’1(x，y)+f’2[(x+y)，f(x，y)]·f’’12(x，y)，又因?yàn)閒(1，1)=2是f(u，v)的極值，故f’1(1，1)=0，f’2(1，1)=0。因此=f’1(2，2)+f’’12(2，2)·f’’2(1，1)+f’’21(2，2)·f’1(1，1)+f’’22(2，2)·f’2(1，1)·f’1(1，1)+f’2(2，2)·f’’12(1，1)=f’’11(2，2)+f’2(2，2)·f’’12(1，1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z=f[xy，yg(x)]，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f’1[xy，yg(x)]y+f’2[xy，yg(x)]yg’(x)，=f’’11[xy，yg(x)]xy+f’’12[xy，yg(x)]yg(x)+f’1[xy，yg(x)]+f’’21[xy，yg(x)]xyg’(x)+f’’22[xy，yg(x)]yg(x)g’(x)+f’2[xy，yg(x)]g’(x)。由g(x)在x=1處取得極值g(1)=1，可知g’(1)=0。故有=f’’11[1，g(1)]+f’’12[1，g(1)]g(1)+f’1[1，g(1)]+f’’21[1，g(1)]g’(1)+f’’22[1，g(1)]g(1)g’(1)+f’2[1，g(1)]g’(1)=f’’11(1，1)+f’’12(1，1)+f’1(1，1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中φ具有二階導(dǎo)數(shù)且φ'≠一1。21、求dz；標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程兩端同時(shí)求導(dǎo)得2xdx+2ydy—dz=φ’(x+y+z)·(dx+dy+dz)，整理得(φ’+1)dz=(一φ’+2x)dx+(一φ’+2y)dy，因此(因?yàn)棣铡僖?)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、記u(x，y)=求標(biāo)準(zhǔn)答案：由上一題可知，所以因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)對任意的x和y，有，用變量代換將f(x，y)變換成g(u，v)，試求滿足=u2+v2的常數(shù)a和b。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意因此，有=a[v2(f’1)2+u2(f’2)2+2uvf’1f’2]一b[u2(f’1)2+v2(f’2)2一2uvf’1f’2]=(av2一bu2)(f’1)2+(au2一bv2)(f’2)2+2uv(a+b)f’1f’2=u2+v2。利用(f’’1)2+(f’’2)2=4，即(f’’2)2=4一(f’’1)2得(a+b)(v2一u2)(f’1)2+2(a+b)uvf’1f’2+4au2一4bv2=u2+v2。因此a+b=0，4a=1，一4b=1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)u=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式確定a，b的值，使等式通過變換ξ=x+ay，η=x+by可化簡為標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知有將相關(guān)表達(dá)式分別代入等式，可得根據(jù)題意，令解方程組得根據(jù)10ab+12(a+b)+8≠0，舍去因此可知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(e2siny)滿足方程=e2xz，求f(u)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f’(u)exsiny，=f’(u)excosy，=f’(u)exsiny+f’’(u)e2xsin2y，=一f’(u)exsiny+f’’(u)e2xcos2y，代入方程=e2xz中，得到f’’(u)一f(u)=0，解得f(u)=C1eu+C2e—u，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)u＝f(χ＋y，χz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則＝()．A、f′2＋χf〞11＋(χ＋z)f〞12＋χzf〞22B、χf〞12＋χzf〞22C、f′2＋χf〞12＋χzf〞22D、χzf〞22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：＝f′1＋zf′2，＝χf〞12＋f′2＋χzf〞22故選C．2、函數(shù)z＝f(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)可偏導(dǎo)是函數(shù)z＝f(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)連續(xù)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)可微函數(shù)f(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)為零B、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)大于零C、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)小于零D、f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：可微函數(shù)f(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)處取得極小值，則有f′χ(χ0，y0)＝0，f′y(χ0，y0)＝0，于是．f(χ0，y)在y＝y(tǒng)0處導(dǎo)數(shù)為零，選A．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)4、設(shè)z＝f(χ2＋y2，)，且f(u，v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)z＝χyf()，其中f(u)可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2z知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)兩邊對χ求偏導(dǎo)得7、設(shè)y＝y(tǒng)(χ，z)是由方程eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2確定的隱函數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)z＝f(χ，y)是由e2yz＋χ＋y2＋z＝確定的函數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由χ－＝0確定，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)z＝z(χ，y)由z＋ez＝χy2確定，則dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：z＋ez＝χy2兩邊求微分得d(z＋ez)＝d(χy2)，即dz＋ezdz＝y(tǒng)2dχ＋2χydy，解得dz＝11、設(shè)z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)兩邊求χ求偏導(dǎo)得12、設(shè)z＝χy＋χf()，其中f可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：z＋χy知識(shí)點(diǎn)解析：13、由方程χyz＋確定的隱函數(shù)z＝z(χ，y)在點(diǎn)(1，0，－1)處的微分為dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：dχ－dy知識(shí)點(diǎn)解析：χyz＋兩邊求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．14、設(shè)f(χ，y，z)＝eχyz2，其中z＝z(χ，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0確定的隱函數(shù)，則f′χ(0，1，－1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：f′χ(χ，y，z)＝y(tǒng)(eχz2＋2zeχ)，χ＋y＋z＋χyz＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得將χ＝0，y＝1，z＝－1代入得解得f′χ(0，1，－1)＝1．15、設(shè)f(χ，y)可微，且f′1(－1，3)＝－2，f′2(－1，3)＝1，令z＝f(2χ－y，)，則dz｜(1，3)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－7dχ＋3dy知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)16、設(shè)χy＝χf(z)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是χ，y的函數(shù)．證明：[χ－g(z)]＝[y－f(z)]標(biāo)準(zhǔn)答案：χy＝χf(χ)＋yg(χ)兩邊分別對χ，y求偏導(dǎo)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z＝f(χ，y)由方程z－y－χ＋χez－y－χ＝0確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：對z－y－χ＋χez－y－χ＝0兩邊求微分，得dz－dy－dχ＋ez－y－χdχ＋χez－y－χ(dz－dy－dχ)＝0，解得dz＝dχ＋dy知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)u＝f(χ，y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y＝y(tǒng)(z)，z＝z(χ)分別由方程eχy－y＝0與ez－χz＝0確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：，方程eχy－y＝0兩邊對χ求導(dǎo)得方程ez＝χz＝0兩邊對χ求導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z＝χf(χ＋y)及F(χ，y，χ)＝0兩邊對χ求導(dǎo)數(shù)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、(1)設(shè)y＝f(χ，t)，其中t是由G(χ，y，t)＝0確定的χ，y的函數(shù)，且f(χ，t)，G(χ，y，t)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，求(2)設(shè)z＝z(χ，y)由方程z＋lnz－＝1確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將y＝f(χ，t)與G(χ，y，t)＝0兩邊對χ求導(dǎo)得(2)當(dāng)χ＝0，y＝0時(shí)，z＝1．z＋lnz－＝1兩邊分別對χ和y求偏導(dǎo)得＝0兩邊對y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)F(z＋，y＋)＝0且F可微，證明：＝z－χy．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得＝0兩邊對y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)變換可把方程＝0，簡化為＝0，求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u，v作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z＝f(u，v)，則有將上述式子代入方程＝0得(10＋5a)＋(6＋a－a2)＝0，根據(jù)題意得解得a＝3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，φ二階可導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得＝－f′1φ′＋f′2＝－(－f〞11＋f〞12)φ′＋f′1φ〞－f〞21φ′＋f〞22＝f〞11(φ′)2－2f〞12φ′＋f′1φ〞＋f〞22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、(1)設(shè)f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2＋，求f(u，v)，并求(2)設(shè)z＝f(χ，y)由f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2－χy確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令從而f(u，v)＝uv＋于是(2)令代入得f(u，v)＝從而z＝f(χ，y)＝χy－，由得dz＝(y－χ)dχ＋(χ＋]y)dy．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、(1)求二元函數(shù)f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的極值．(2)求函數(shù)f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)二元函數(shù)f(χ，y)的定義域?yàn)镈＝{(χ，y)｜y＞0}，由得(χ，y)＝(0，)，因?yàn)锳C－B2＞0且A＞0，所以為f(χ，y)的極小點(diǎn)，極小值為．由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(χ，y)＝(－1，0)為f(χ，y)的極小值點(diǎn)，極小值為f(－1，0)＝－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F＝χ2＋y2＋z2＋λ(－1)，u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、平面曲線L：繞χ軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為S，求曲面S的內(nèi)接長方體的最大體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線L：繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面為S：＝1．根據(jù)對稱性，設(shè)內(nèi)接長方體在第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(χ．y．z)，則體積V＝8χyz．令F＝χyz＋λ(－1)，由由實(shí)際問題的特性及點(diǎn)的唯一性，當(dāng)時(shí)，內(nèi)接長方體體積最大，最大體積為V＝ab2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)z＝f(t2，e2t)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2tf′1＋2e2tf′2，＝2f′1＋2t(2tf〞11＋2e2ttf〞12)＋4e2tf′2＋2e2t(2tf〞21＋2e2tf〞22)＝2f′1＋4t2f〞11＋8te2tf〞12＋4e2tf′2＋4e4tf〞22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)z＝f(eχsiny，χy)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝eχsiny.f′1＋y.f′2，eχcosy.f′1＋eχsiny.(eχcosy.f〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(eχcosy.f〞12＋f′2＋χyf〞22)＝eχcosy.f′1＋e2χsinycosy.f〞11＋eχ(χsiny＋ycosy)f〞12＋f′2＋χyf〞22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、u＝f(χ2，χy，χy2χ)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2χf′1＋yf′2＋y2zf′3，＝χf′2＋2χyzf′3＝χy2f′3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)z＝f(χ，y)在點(diǎn)(1，1)處可微，f(1，1)＝1，f′1(1，1)＝a，f′2(1，1)＝b，又u＝f[χ，f(χ，χ)]，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝f′1[χ，f(χ，χ)＋f′2[χ，f(χ，χ)].[f′1(χ，χ)＋f′2(χ，χ)]得＝f′1[1，f(1，1)]＋f′2[1，f(1，1)].[f′1(1，1)＋f′2(1，1)]＝a＋b(a＋b)＝a＋ab＋b2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)z＝，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)，z＝z(χ)由確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對χ求導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)z＝z(χ，y)是由F(χ＋，y＋)＝0所確定的二元函數(shù)，其中F連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得＝0兩邊對y求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、求二元函數(shù)f(χ，y)＝χ3－3χ3－9χ＋y2－2y＋2的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)(χ，y)＝(－1，1)時(shí)，A＝－12，B＝0，C＝2，因?yàn)锳C－B2＝－24＜0，所以(－1，1)不是極值點(diǎn)；當(dāng)(χ，y)＝(3，1)時(shí)，A＝12，B＝0，C＝2，因?yàn)锳C－B2＝24＞0且A＞0，所以(3，1)為極小點(diǎn)，極小值為f(3，1)＝－26．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、求z＝f(χ，y)滿足：dz＝2χdχ－4ydy且f(0，0)＝5．(1)求f(χ，y)．(2)求f(χ，y)在區(qū)域D＝{(χ，y)｜χ2＋4y2≤4}上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由dz＝2χdχ－4ydy得dz＝d(χ2－2y2)，從而f(χ，y)＝χ2－2y2＋C，再由f(0，0)＝5得f(χ，y)＝χ2－2y2＋5．(2)當(dāng)χ2＋4y2＜4時(shí)，由f(0，0)＝5；當(dāng)χ2＋4y2＝4時(shí)，令(0≤t≤2π)，z＝4cos2t－2sin2t＋5＝6cos2t＋3，當(dāng)cost＝0時(shí)，fmin＝3；當(dāng)cost＝±1時(shí)，fmax＝9，故最小值為m＝0，最大值M＝9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在．B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在．C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在．D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是討論f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否連續(xù)，是否可偏導(dǎo)．先討論f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否可偏導(dǎo)．由于f(x，0)=0(∈(-∞，+∞))，則=0．因此(B)，(D)被排除．再考察f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性．令y=x3，則≠f(0，0)，因此f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．故應(yīng)選(C)．2、下列函數(shù)在(0，0)處不連續(xù)的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直接證(C)中f(x，y)在(0，0)不連續(xù)．當(dāng)(x，y)沿直線y=x趨于(0，0)時(shí)因此f(x，y)在(0，0)不連續(xù)．故選(C)．3、設(shè)z=f(x，y)=，則f(x，y)在點(diǎn)(0．0)處A、可微．B、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．C、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)△z=f(x，y)-f(0，0)，則可知．這表明f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．因f(x，0)=0()，所以f’x(0，0)=f(x，0)｜x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z-f’x(0，0)△x-f’y(0，0)△y=，當(dāng)(△x，△y)沿y=x趨于點(diǎn)(0，0)時(shí)即α不是ρ的高階無窮小，因此f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微，故選(B)．4、設(shè)z=f(x，y)=則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)不存在，但連續(xù)．C、偏導(dǎo)數(shù)存在，可微．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義可知這說明f’x(0，0)存在且為0，同理f’y(0，0)存在且為0．又所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微分．故選(C)．二、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)5、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因此(Ⅱ)由x4+y2≥2x2｜y而，因此原極限為0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、證明極限不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x，y)沿不同的直線y=kx趨于(0，0)，有再令(x，y)沿拋物線y2=x趨于(0，0)，有由二者不相等可知極限不存在．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、(Ⅰ)設(shè)f(x，y)=x2+(y-1)arcsin(Ⅱ)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因f(x，1)=2，故=2x｜x=2=4．又因f(2，y)=4+(y-1)arcsin，故(Ⅱ)按定義類似可求=0(或由x，y的對稱性得)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按定義故(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得=f’1+f’2+f’3=f’1+f’3，=f’1+f’2ψ’(y)．(*)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：已求得，下面進(jìn)一步求第一步，先對的表達(dá)式用求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則得第二步，再求(f’2)．這里f(u，v)對中間變量u，v的導(dǎo)數(shù)f’1=仍然是u，v的函數(shù)，而u，v還是x，y的函數(shù)，它們的復(fù)合仍是x，y的函數(shù)，因而還要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求(f’1)，(f’2)．即第三步，將它們代入(木)式得用類似方法可求得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)u=f(x，y，z，t)關(guān)于各變量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而其中由方程組確定z，t為y的函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是因此，我們還要求，將方程組①兩邊對y求導(dǎo)得記系數(shù)行列式為W=(y-t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，則代入②得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)u=u(x，y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：在極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ下有標(biāo)準(zhǔn)答案：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有再對用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及(*)式可得于是即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)z=f(x，y)在區(qū)域D有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，D內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線均屬于D．求證：對A(x0，y0)，B(x0+△x，y0+△y)∈D，∈(0，1)，使得f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)標(biāo)準(zhǔn)答案：連接A，B兩點(diǎn)的線段屬于D：t∈[0，1]，在上f(x，y)變成t的一元函數(shù)φ(t)=f(x0+t△x，y0+t△y)，φ(t)在[0，1]可導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法現(xiàn)在二元函數(shù)的增量看成一元函數(shù)φ(t)的增量，由一元函數(shù)微分中值定理f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)=φ(1)-φ(0)=φ’(θ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)z(x，y)=x3+y3-3xy(Ⅰ)-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，求z(x，y)的駐點(diǎn)與極值點(diǎn)．(Ⅱ)D={(x，y)｜0≤x≤2，-2≤y≤2}，求證：D內(nèi)的唯一極值點(diǎn)不是z(x，y)在D上的最值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)解方程組得全部駐點(diǎn)(0，0)與(1，1)．再求考察(0，0)處，AC-B2＜0(0，0)不是極值點(diǎn)．(1，1)處，AC-B2＞0，A＞0(1，1)是極小值點(diǎn)．因此z(x，y)的駐點(diǎn)是(0，0)，(1，1)，極值點(diǎn)是(1，1)且是極小值點(diǎn)．(Ⅱ)D內(nèi)唯一極值點(diǎn)(1，1)是極小值點(diǎn)，z(1，1)=-1．D的邊界點(diǎn)(0，-2)處．z(0，-2)=(-2)3=-8＜z(1，1)因z(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，必存在最小值，又z(0，-2)＜z(1，1)，(0，-2)∈Dz(1，1)不是z(x，y)在D的最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求函數(shù)z=x2y(4-x-y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖7．1所示，它是有界閉區(qū)域．z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，它或在D內(nèi)的駐點(diǎn)達(dá)到，或在D的邊界上達(dá)到．為求D內(nèi)駐點(diǎn)，先求=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y)，=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y)．再解方程組得z(x，y)在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的邊界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上將y=6-x代入得z(x，y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3-6x2)，則h’(x)=6(x2-4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=-64，h(6)=0，即z(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為-64．因此，z(x，y)=4，=-64．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、已知平面曲線Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC-B2＞0)為中心在原點(diǎn)的橢圓，求它的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：橢圓上點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離平方為d2=x2+y2，條件為Ax2+2Bxy+Cy2-1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2-λ(Ax2+2Bxy+Cy2-1)，解方程組將①式乘x，②式乘y，然后兩式相加得[(1-Aλ)x2-Bλxy]+[-Bλxy+(1-Cλ)y2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=從直觀知道，函數(shù)d2的條件最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)是存在的，其坐標(biāo)不同時(shí)為零，即聯(lián)立方程組F’x=0，F(xiàn)’y=0有非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)為零，即該方程一定有兩個(gè)根λ1，λ0，它們分別對應(yīng)d2的最大值與最小值．因此，橢圓的面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z(x，y)滿足求z(z，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：把y看作任意給定的常數(shù)，將等式①兩邊對x求積分得z(x，y)=-xsiny-ln｜1-xy｜+φ(y)，其中φ(y)為待定函數(shù)．由②式得-siny-ln｜1-y｜+φ(y)=siny，故φ(y)=2siny+ln｜1-y｜．因此，z(x，y)=(2-x)siny+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x，y)=；(Ⅱ)討論f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的可微性，若可微并求af｜(0,0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)，當(dāng)(x，y)=(0，0)時(shí)，因f(x，0)=0，于是由對稱性得當(dāng)(x，y)≠(0，0)時(shí)(Ⅱ)因?yàn)?，考察f(x，y)在(0，0)是否可微，就是考察下式是否成立即=o(p)(p→0)，亦即當(dāng)p→0時(shí)是否是無窮小量．因?yàn)樗?/p>