新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點7-2 圓錐曲線綜合應(yīng)用（7題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）

重難點7-2圓錐曲線綜合問題圓錐曲線綜合問題是新高考數(shù)學(xué)的重難點內(nèi)容。常見的考點有定點、定值、定曲線、最值范圍、證明及存在性問題，主要在解答題的第2問中進(jìn)行考查，難度較大。在今年的高考中依舊是命題的熱點方向?！绢}型1圓錐曲線的定值問題】滿分技巧1、解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段長度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值，求定值問題常見的解題方法有兩種：法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計算，并在計算推理過程中消去參數(shù)，從而得到定值。2、直接法解題步驟第一步設(shè)變量：選擇適當(dāng)?shù)牧慨?dāng)變量，一般情況先設(shè)出直線的方程：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、點的坐標(biāo)；第二步表示函數(shù)：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，一般情況通過題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運算，將需要用到的所有中間結(jié)果（如弦長、距離等）用引入的變量表示出來；第三步定值：將中間結(jié)果帶入目標(biāo)量，通過計算化簡得出目標(biāo)量與引入的變量無關(guān)，是一個常數(shù)?！纠?】（2023·北京·高三順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是否為定值？如果是定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0是定值，且SKIPIF1<0【解析】（1）因為橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0是定值.由已知得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，線段SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0.【變式1-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于M，N兩點，設(shè)點SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和SKIPIF1<0為定值，并求出定值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）定值，SKIPIF1<0【解析】（1）因為橢圓的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易得當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0面積取得最大值，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）證明：如圖，易知點SKIPIF1<0在橢圓外，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式1-2】（2023·山東·實驗中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，點P到點SKIPIF1<0的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點F且斜率不為零的直線l交橢圓E：SKIPIF1<0于A，B兩點，交曲線C于M，N兩點，若SKIPIF1<0為定值，求實數(shù)λ的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，兩邊平方并整理，得SKIPIF1<0，所以曲線C的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依題意，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理，得SKIPIF1<0，而點SKIPIF1<0為橢圓E的右焦點，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，若直線l交曲線C于M、N兩點，且SKIPIF1<0，則直線l與SKIPIF1<0相交，由SKIPIF1<0消去y并整理，得SKIPIF1<0，而點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0為定值，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以實數(shù)λ的值為3．【變式1-3】（2023·上?！じ呷M(jìn)才中學(xué)?？计谥校╇p曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸正半軸交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線交雙曲線SKIPIF1<0于兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的長度；（3）設(shè)圓SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0處的切線交雙曲線SKIPIF1<0于兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0是否為定值?若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0為定值，且SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時，切線的方程為SKIPIF1<0，此時，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，合乎題意，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時，切線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.（3）當(dāng)圓SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處切線斜率不存在時，點SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由（1）及已知，得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，當(dāng)圓SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處切線斜率存在時，設(shè)切線方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上得SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0.【題型2圓錐曲線的定點問題】滿分技巧1、參數(shù)無關(guān)法：把直線或者曲線方程中的變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點。2、特殊到一般法：根據(jù)動點或動直線、動曲線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)。3、關(guān)系法：對滿足一定條件上的兩點連結(jié)所得直線定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，可設(shè)直線（或曲線）上兩點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點的知識求解?！纠?】（2023·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，求證：線段SKIPIF1<0的中垂線恒過定點SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）橢圓過點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的中點M為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的中垂線恒過點SKIPIF1<0.【變式2-1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0，長軸長為4，離心率是SKIPIF1<0（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為SKIPIF1<0且不過原點的直線SKIPIF1<0交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線SKIPIF1<0于點D.若SKIPIF1<0證明：直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析，SKIPIF1<0.【解析】（1）由橢圓SKIPIF1<0的長軸長為4，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由離心率是SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然點SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)SKIPIF1<0同號，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點，該定點坐標(biāo)為SKIPIF1<0.【變式2-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)動點P到定點SKIPIF1<0的距離與到定直線l：SKIPIF1<0的距離之比為2．（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）若Q為l上的動點，A，B為E與x軸的交點，且點A在點B的左側(cè)，QA與E的另一個交點為M，QB與E的另一個交點為N，求證：直線MN過定點．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得P點的軌跡方程為SKIPIF1<0.（2）方法一：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由A，Q，M三點共線知SKIPIF1<0①，由B，Q，N三點共線知SKIPIF1<0②，由①②兩式得SKIPIF1<0③．又因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入③式得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．當(dāng)時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線過定點SKIPIF1<0，不符合題意，舍去．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，直線過定點SKIPIF1<0.方法二：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同方法一得③式，知SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0④．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程④的根，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入：SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直線MN過定點SKIPIF1<0．方法三：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接MB，由雙曲線斜率積的定義知SKIPIF1<0，同方法一得③式，知SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0⑤，雙曲線方程可化為SKIPIF1<0⑥．點M，N滿足⑤⑥兩式，所以也滿足下式：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入⑤式得SKIPIF1<0，所以直線MN過定點SKIPIF1<0.【變式2-3】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線分別與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，且在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線分別與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0面積的最大值；（2）證明：SKIPIF1<0的外接圓經(jīng)過異于點SKIPIF1<0的定點．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可知直線SKIPIF1<0的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0聯(lián)立得：SKIPIF1<0.由相切得：SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0同時在直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（2）由（1）得，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圓經(jīng)過異于點SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0．【題型3圓錐曲線的定直線問題】滿分技巧解決圓錐曲線中動點在定直線問題的解題步驟：1、聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元；2、挖掘圖形中的對稱性，解出動點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；3、將動點的橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù)；4、設(shè)點，將方程變形解出定直線方程?！纠?】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過點SKIPIF1<0的雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0.（1）求C的方程；（2）已知A，B是C的實軸端點，過點SKIPIF1<0的直線l與C交于M，N（異于A，B）兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點P，證明：點P在一條定直線上.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）因為C的漸近線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在C上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C的方程為SKIPIF1<0.（2）由題意可得直線l的斜率不為0，設(shè)l的方程為SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)A是左頂點，SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故點P在定直線SKIPIF1<0上.【變式3-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）過拋物線SKIPIF1<0焦點SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）過焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點都在SKIPIF1<0上【解析】（1）由題意設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即指物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得直線SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點都在SKIPIF1<0上．【變式3-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在定直線上.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）依題意可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在直線SKIPIF1<0上.【變式3-3】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離與它到直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.（1）求曲線SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)），在線段SKIPIF1<0上取異于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，證明：點SKIPIF1<0恒在一條直線上.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：如下圖所示：因為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上.【題型4圓錐曲線的最值問題】滿分技巧圓錐曲線最值問題的解題步驟：1、設(shè)參數(shù)：依題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如設(shè)點坐標(biāo)，設(shè)比例式的參數(shù)，設(shè)直線的方程等；2、聯(lián)立方程：常把直線方程與曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的一元二次方程；3、建函數(shù)：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法等求其最值?！纠?】（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過兩點SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過兩點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故橢圓方程為：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，設(shè)與直線SKIPIF1<0平行且與橢圓相切的直線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的面積最大，則SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與橢圓在第三象限的切點，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的最大距離為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大面積SKIPIF1<0.【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點到準(zhǔn)線間的距離為2，且點SKIPIF1<0拋物線C上．（1）求m的值；（2）若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0，求DQ的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因為拋物線SKIPIF1<0的焦點到準(zhǔn)線間的距離為2，所以SKIPIF1<0．又因為點SKIPIF1<0拋物線C上，所以SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又直線AB的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線AB：SKIPIF1<0，所以直線恒過SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0于點D，所以點D在以PM為直徑的圓上．即圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．所以DQ的最大值SKIPIF1<0．【變式4-2】（2023·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）A是SKIPIF1<0的下頂點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0的斜率小于0，SKIPIF1<0的重心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，求直線SKIPIF1<0斜率的最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.聯(lián)立方程組SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（滿足SKIPIF1<0）時，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值為SKIPIF1<0.【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C經(jīng)過點SKIPIF1<0，它的兩條漸近線分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線C的左?右焦點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，過左焦點SKIPIF1<0作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，求SKIPIF1<0周長的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依題意，設(shè)雙曲線C的方程為SKIPIF1<0，代入點SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，雙曲線C的左焦點為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，①若直線l的斜率不存在，則SKIPIF1<0，得A?B的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由雙曲線定義可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0的周長為：SKIPIF1<0.②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因為直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的周長為z，則有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上，由①②可得SKIPIF1<0的周長的最小值為SKIPIF1<0.【題型5圓錐曲線的取值范圍問題】滿分技巧1、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；3、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；4、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；5、利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．【例5】（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）已知動圓P過點SKIPIF1<0，且在圓B：SKIPIF1<0的內(nèi)部與其相內(nèi)切.（1）求動圓圓心P的軌跡方程；（2）若M，N是動圓圓心P的軌跡上的不同兩點，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線MN的斜率k的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)動圓P和圓B相切于點S，則B，P，S三點共線，所以SKIPIF1<0.所以點P的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點，長軸長為4的橢圓，設(shè)該橢圓的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.所以點P的軌跡方程為SKIPIF1<0.（2）由題意知直線MN的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去x得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.由根與系數(shù)的關(guān)系有SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是減函數(shù)，故SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即k的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式5-1】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦點F到雙曲線SKIPIF1<0的漸近線的距離是SKIPIF1<0．（1）求p的值；（2）已知過點F的直線與E交于A，B兩點，線段SKIPIF1<0的中垂線與E的準(zhǔn)線l交于點P，且線段SKIPIF1<0的中點為M，設(shè)SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）E的焦點為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由點到直線的距離公式得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0消去x并整理，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．易得M點的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．【變式5-2】（2023·上?！じ呷瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)校考期中）已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有兩個不同的交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線SKIPIF1<0的方程；（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【解析】（1）因為橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去）．由SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0．因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以SKIPIF