新高考數學二輪復習重難點2-4 利用導數研究不等式與極值點偏移（8題型 滿分技巧 限時檢測）（解析版）

重難點2-4利用導數研究不等式與極值點偏移8大題型函數與導數一直是高考中的熱點與難點，利用導數研究不等式問題在近幾年高考中出現的頻率較高。求解此類問題關鍵是要找到與待證不等式緊密聯系的函數，然后利用導數工具來研究函數的單調性、極值、最值（值域），從而達到目的。考查難度較大。函數的極值點偏移問題，是導數應用問題，呈現的形式往往非常簡潔，涉及函數的雙零點，是一個多元數學問題，考查考生的化歸與轉化思想，邏輯思維能力、運算求解能力。【題型1單變量不等式的證明】滿分技巧不等式證明的常用思路1、移項構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；2、最值法：若無法轉化為一個函數的最值問題，則可以考慮轉化為兩個函數的最值問題．在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處與取到最值的條件不是同一個“x的值”．3、適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；4、構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數【例1】（2024·山東青島·高三?？计谀┮阎瘮担?）當時，求的單調區(qū)間；（2）當時，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）當時，，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在上單調遞增，在上單調遞減，（2）（法一）當時，由（1）可知，即，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在單調遞減，在單調遞增，因此，（當且僅當時取得等號）（法二）當時，令，可知于是在單調遞減，在單調遞增，因此，（當且僅當時取得等號）．令，則由（1）知：故在單調遞增，因此．所以．【變式1-1】（2023·安徽合肥·高三?？计谀┮阎瘮?（1）當時，求的單調區(qū)間（2）討論的單調性；（3）當時，證明.【答案】（1）在單調遞增，在單調遞減；（2）答案見解析；（3）證明見解析【解析】（1）當時，，的定義域為，則，故當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減；（2）的定義域為，．若，則當時，，故在單調遞增，若，則當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減；（3）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為，所以等價于，即，設，則，當時，，當時，所以在單調遞增，在單調遞減，故當時，取得最大值，最大值為，所以當時，，從而當時，，即.【變式1-2】（2024·陜西榆林·高三一模）設函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）函數的定義域為.將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.（2）證明：由（1）知，從而等價于.設函數，則.所以當時，，當時，.故在上單調遞減，在上單調遞增，從而在上的最小值為.設函數，從而在上的最大值為.故，即.【變式1-3】（2024·內蒙古·高三?？计谀┮阎瘮?（1）討論的單調性；（2）證明：在上.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）函數的定義域為，求導得，由，得，由，得，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.（2）由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，令，求導得，當時，單調遞減；當時，單調遞增，于是，即，所以當時，，即.【題型2雙變量不等式的證明】滿分技巧雙變量不等式的處理策略：含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉化為一元的不等式，具體轉化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數．（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，得．因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立．因為當時，（當且僅當時，等號成立），所以，解得．所以的取值范圍為．（2）方法一：設．由（1）知在上單調遞增，所以在上單調遞增．因為，所以，即．所以．故．方法二：要證，即要證，即要證．記，則只要證．記，則．記，則，所以在上單調遞增．所以在上單調遞增，所以．所以在上單調遞增，所以．所以成立．故．【變式2-1】（2024·北京西城·高三統(tǒng)考期末）已知函數，其中.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；（3）當且時，判斷與的大小，并說明理由.【答案】（1）；（2）增區(qū)間，減區(qū)間（3），理由詳見解析【解析】（1）時，，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）的定義域為，，所以在區(qū)間和上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以的增區(qū)間，減區(qū)間；（3）當且時，，證明如下：令，則，設，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，即，所以的單調遞增區(qū)間為.當時，，即，當時，，即，綜上所述，當且時，.【變式2-2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，其中.（1）當時，求的極值；（2）當，時，證明：.【答案】（1）有極大值，極小值；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，，，所以當時，，，由解得：或，由解得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故有極大值，極小值.（2）由題意，，，要證，只需證，而，，所以只需證，即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：證法1：要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調遞增，顯然，所以當時，，因為，所以，即，故.證法2：要證，只需證，即證，令，則，所以只需證當時，，即證，令，則，所以在上單調遞增，又，所以成立，即，故【變式2-3】（2024·全國·高三專題練習）知函數．（1）求函數的單調區(qū)間和最小值；（2）當時，求證：（其中為自然對數的底數）；（3）若，求證：．【答案】（1）在上為增函數；在上為減函數，（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】（1）令得；令得：；在上為增函數，在上為減函數．故.（2）由（1）知：當時，有，，即：，．（3）將變形為：即只證：設函數，令，得：．在上單調遞增；在，上單調遞減；的最小值為：，即總有：．，即：，令，，則，成立．【題型3對稱化構造解決極值點偏移】滿分技巧1、和型（或）問題的基本步驟：①首先構造函數，求導，確定函數和函數的單調性；②確定兩個零點，且，由函數值與的大小關系，得與零進行大小比較；③再由函數在區(qū)間上的單調性得到與的大小，從而證明相應問題；2、積型問題的基本步驟：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數，求導可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據與的范圍，結合的單調性，可得與的大小關系，由此證得結論.【例3】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預測）已知函數.（1）討論的單調區(qū)間；（2）已知在上單調遞增，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）的定義域為..①當時，由得，單調遞增，由得，單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；②當時，由得，或，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；③當時，在上單調遞增；④當時，由得，或，由得，，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.綜上，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.（2）由（1）知，當且僅當時，在上單調遞增，即：.，又且在上單調遞增，和均不成立.故不妨設，因此要證，即證，因為在上單調遞增，所以即證.又，故只需證，即證.設，.，故.因此在上單調遞增，所以.故，又因為在上單調遞增，.【變式3-1】（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知函數．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個零點，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）．令，易知單調遞增，且．當時，,即，單調遞減；當時，,即，單調遞增．所以，即，所以的取值范圍是．（2）由的單調性可設．令．令，則，所以在上單調遞增，則，所以．所以，即，即．因為當時，單調遞減，且，所以，即．【變式3-2】（2023·河南·高三南陽中學校聯考階段練習）已知函數.（1）若有唯一極值，求的取值范圍；（2）當時，若，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）函數的定義域為，求導得，當時，若，，函數在上單調遞增，無極值點，不符合題意；若，當或時，，當時，，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數有兩個極值點，不符合題意；若，當或時，，當時，，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數有兩個極值點，不符合題意；當時，當時，，當時，，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，2是函數的極大值點，且是唯一極值點，所以的取值范圍是.（2）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，由，，不妨令，要證，只證，即證，就證，令，求導得，于是函數在上單調遞減，，而，則，即，又，因此，顯然，又函數在上單調遞增，則有，所以.【變式3-3】（2024·江蘇揚州·高三統(tǒng)考期末）已知函數的最小值為.（1）求實數的值；（2）若有兩個不同的實數根，求證：.【答案】（1）1；（2）證明見解析.【解析】（1）因為，令，可得，當時單調遞減；當時單調遞增.所以，所以.（2）證明：由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，當時，所以，先證明.記，則，當時，，所以單調遞減，所以當時，，即，故，即.又，由單調性知：，即.再證明.記函數與和交點的橫坐標分別為.①當時，，故，所以，.（或：的圖象在的圖象的下方，且兩個函數在上都是減函數）②當時，記，所以.當時單調遞減；當時單調遞增.又，當時，，即.故所以，故.（或的圖象在的圖象的下方，且兩個函數在上都遞增）綜上，.【題型4比值代換法解決極值點偏移】滿分技巧比值換元的目的也是消元、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現消參、減元的目的。設法用比值（一般用表示）表示兩個極值點，即，化為單變量的函數不等式，繼而將所求問題轉化為關于的函數問題求解?！纠?】（2023·全國·高三統(tǒng)考月考）已知是函數的導函數．（1）討論方程的實數解個數；（2）設為函數的兩個零點且，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）函數，，令，，（i）當時，，則在上單調遞減，有且僅有1個零點；（ii）當時，，則在上單調遞減，，則在上有一個零點；（iii）當時，令，，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，因此的最小值為，令，解得，又因為，，令函數，求導得，函數在上單調遞增，于是，而，因此，由函數零點存在定理得，在區(qū)間和上各有一個零點，當，即時，在上只有一個零點，當時，在上沒有零點，所以當時，在上有兩個零點，即方程的有兩個實數解；當或時，在上有一個零點，即方程的有一個實數解；當時，在上沒有零點，即方程的無實數解.（2）由（1）知有兩個零點，，，，則，由是的兩個零點，得，，即，，兩式相減得，令，則，，，于是，，，要證，即證，即證，只需證：，令，，，令,故在上單調遞減，因此，則在上單調遞增，所以，從而得證，即.【變式4-1】（2023·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知函數有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）設，是的兩個零點，，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由且，可得.設，，則，令，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.又當趨向于0時，趨向于，當趨向于時，趨向于0，所以要使的圖象與直線有兩個交點，則，故的取值范圍是.（2）證明：，由（1）得，則，.設，則，即，.設，則.設，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.又，，，所以存在唯一的，使得，即，所以的最小值為，，所以，故.【變式4-2】（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知函數有兩個極值點，．（1）求實數的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題設且，若，則在上恒成立，即遞增，不可能有兩個極值點，不符；故，又有兩個極值點，則，是的兩個不同正根，所以，可得，即實數的取值范圍是.（2）由（1）且，，不妨設，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1），時，即，所以在上遞增，又，故，即，綜上，.【變式4-3】（2022·全國·模擬預測）設函數.（1）若，求函數的最值；（2）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.【答案】（1）無最小值，最大值為；（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調遞增，在上單調遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個不同的極值點，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在上單調遞增，當時，，即，原不等式成立，即.【題型5導數與數列不等式證明】滿分技巧1、證明此類問題時長根據已知的函數不等式，用關于正整數的不等式替代函數不等式中的自變量。通過多次求和達到證明的目的。此類問題一般至少兩問，已知的不等式常由第一問根據待證式的特征而得來。2、已知函數式為指數不等式（或對數不等式），而待證不等式為與對數有關的不等式（或與指數有關的不等式），還有注意指、對數式的互化，如可化為【例5】（2024·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）已知函數．（1）討論的單調性；（2）證明：對于任意正整數n，都有．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）的定義域為，，若，當，則，所以在上單調遞增；若，當，則，所以在上單調遞減；當，則，所以在上單調遞減；綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞減.（2）由（1）知當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，即當時，，對于任意正整數，令，有，所以，即，即.【變式5-1】（2024·山西·高三統(tǒng)考期末）已知函數.（1）若當時，，求實數的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題可知.令，其圖象的對稱軸為直線.當即時，在單調遞增，又，所以當時，恒成立，從而恒成立，所以在單調遞增，又，所以恒成立.當即時，在單調遞減，在單調遞增，又，所以當時，恒成立，從而恒成立，在單調遞減，又，所以當時，，與已知矛盾，舍去.綜上所述，的取值范圍為.（2）由（1）可知，當時，，從而，于是.【變式5-2】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程：（2）若恒成立，求實數的取值范圍；（3）證明：（，）.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）當時，函數的定義域為，，，曲線在點處的切線方程的斜率，則切線方程為；（2）若恒成立，則恒成立，設，，，由，得，由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減..；（3）證明：結合（2），令，則，即，則，（當且僅當時取等號），，，…，，，（，）.【變式5-3】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數.（1）若有且僅有一個零點，求實數的取值范圍：（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）易知函數的定義域為.由，可得.設，則，，且與有相同的零點個數.思路1：令，，則.當時，，則，即，可得在單調遞減，則有且僅有一個零點.當時，顯然，則，可得在單調遞減，則有且僅有一個零點.當時，由，解得，，且.當時，，即，則單調遞增；當時，，即，則單調遞減.不難得知，，（令，故在單調遞減，故，即，），則在有一個零點，可知不只一個零點，不合題意.綜上，可知.思路2：令，.當時，在單調遞減，有，即，可得在單調遞減，則有且僅有一個零點.當時，.若，則，可得在單調遞減，則有且僅有一個零點.若，存在，且，使得.后續(xù)過程同思路1.綜上，可知（2）取，當時，，有，即，則.令，，則，即，從而.【題型6三角函數型不等式證明】滿分技巧1、正余弦函數的有界性：；2、三角函數與函數的重要放縮公式：.【例6】（2023·全國·高三專題練習）當時，證明：恒成立.【答案】證明見解析【解析】由題意可知，函數的定義域為，先證明，令，則，令，其中，則，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，即，所以，，設，其中，則且不恒為零，所以，在上為增函數，故當時，，所以，，因為，故，故原不等式得證.【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數，.（1）討論的極值；（2）若，，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因為，所以.當時，，此時在R上單調遞增，無極值.當a>0時，令，則，解得.當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減.所以當時，有極小值，極小值為.綜上所述，當a≤0時，沒有極值；當a>0時，有極小值，為，無極大值.（2）證明：因為，所以.要證，可證，分兩步進行.①先證當時，.令，則.令，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.因為，所以，即.②再證當時，.易知，由（1）知，當，時，，即，所以當時，.令，，則，顯然為減函數，，所以在上先正后負，先增后減，且所以，所以當時，，所以.因為當時，，即，所以.因為，所以，即，所以，即，所以.結合①②可知，即.【變式6-2】（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎瘮?（1）若，求的值；（2）證明：當時，成立.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）解法一：由，得，又，所以是的極小值點，故，而，故，若，則，當；當，所以在單調遞減，在單調遞增，故是唯一的極小值點，也是最小值點，由，所以當且僅當時，解法二：由，得，又，當時，有恒成立，所以在上單調遞減，又，則不成立，當時，令，得，則時，有時，有，即在單調遞減，在單調遞增，所以的最小值為，，函數在單調遞減，單調遞增，，當且僅當取等號，故；（2）當時，，設，當時，，又由（1）知，故，當時，，設，則，則在單調遞增，，所以，則在單調遞增，，綜上，，即當時，.【變式6-3】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知函數.（1）求的極值；（2）已知，證明：.【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）證明見解析【解析】（1），，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調遞增，在和上單調遞減.所以的極大值為的極小值為.（2）由，可得，所以.由對稱性，不妨設，則，當且僅當時，等號成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當且僅當時，等號成立，因為等號不能同時取到，所以.【題型7不等式恒成立求參問題】滿分技巧1、利用導數求解參數范圍的兩種方法（1）分離參數法：將參數和自變量分離開，構造關于自變量的新函數，研究新函數最值與參數之間的關系，求解出參數范圍；（2）分類討論法：根據題意分析參數的臨界值，根據臨界值作分類討論，分別解出滿足題意的參數范圍最后取并集。2、不等式恒成立問題轉化：（1），（2），【例7】（2023·遼寧·高三校聯考期中）已知函數，，，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，等價于，記，即在上恒成立，.當即時，，在上單調遞減，所以當時，即恒成立；當時，記，則，當時單調遞減，又，，所以存在，使得，當時，，單調遞增，所以，即，所以當時，即，不符合題意；當時，，不符合題意.綜上，的取值范圍是.故選：C【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數，若對任意，恒成立，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當時，，故，故，令，則，令，故，令，故，故當時，，當時，，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，故，解得，故實數的取值范圍為，故選：D【變式7-2】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）設函數，曲線在點處的切線方程為．（1）求a和b的值；（2）若，求m的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）依題意知，當時，，即，所以，則，易得，于是，所以，即；（2）因為，所以原不等式可變?yōu)?，記，則上式等價于，，記，則，于是在上單調遞減，又，所以當時，，即，當時，，即，從而在上單調遞增，在上單調遞減，故，所以，故m的取值范圍是.【變式7-3】（2024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知函數.（1）若是增函數，求的取值范圍；（2）若有兩個極值點，且恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意.因為函數在其定義域上單調遞增，所以.設，①當時，函數在上單調遞增，只須，無解.②當時，只須，解得：，綜上所述：實數的取值范圍是.（2）由（1）知，因為有兩個極值點為，所以在上有兩個不同的根，此時方程在上有兩個不同的根.則，且，解得.若不等式恒成立，則恒成立.因為設.則，因為，所以，所以在上遞減，所以，所以，即實數的取值范圍為.【題型8不等式能成立求參問題】滿分技巧1、形如有解問題的求解策略（1）構造函數法：令，利用導數求得函數的單調性與最小值，只需恒成立即可；（2）參數分離法：轉化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數求的函數的單調性與最值即可。2、單變量不等式能成立問題轉化（1），（2），3、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【例8】（2022·全國·高三校聯考階段練習）已知函數．若存在實數，使得成立，則正實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，當時，，函數在上單調遞減，，若存在實數，使得不等式成立，等價于成立，又，，，所以．當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，為正實數，，又函數在上單調遞增，，解得正實數的取值范圍為．故選：C．【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，對于存在的，存在，使，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為對于存在，存在，使，所以，，，又，，顯然在上單調遞減，則，當時，，即在上單調遞增，則，由解得：，所以實數的取值范圍為.故選：A.【變式8-2】（2023·河南·高三校聯考階段練習）已知函數．（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）若，不等式在上存在實數解，求實數的取值范圍．【答案】（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）【解析】（1）當時，，∴，由，得，由，得，所以函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）原條件等價于：在上存在實數解．化為在上存在實數解，令，則，∴在上，，得，故在上單調遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數解．【變式8-3】（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）已知函數．（1）求曲線在處的切線方程；（2）（），若對任意，均存在，使得，求實數a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，則，即切線的斜率，且，即切點坐標為，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由題意可知：，因為的圖象開口向上，對稱軸為直線，則在上單調遞減，可得，由（1）可設，則，所以，當時，；當時，，則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.且，可知在區(qū)間上只有一個零點，設為，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，且，可得當時，，所以，解得，所以實數的取值范圍是.（建議用時：60分鐘）1．（2024·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）設實數，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，因為，所以，即恒成立，令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因為，所以，若時，不等式恒成立，則恒成立，若時，，恒成立，則也成立，所以當時，恒成立，所以得，即，設當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，所以，即正實數的最小值為.故選：C.2．（2024·河北·高三石家莊精英中學校聯考期末）設實數，若對恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，則，，當時，，恒成立，即任意，對恒成立；當時，，即，其中，構造函數，則.，因為，所以，單調遞增；則有，則，構造函數，則，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則，即當時，，故要使恒成立，則，即的取值范圍為.故選：B.3．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）若關于的不等式在內有解，則實數的取值范圍是（）A．B．