浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題實(shí)驗(yàn)班含解析

PAGE15-浙江省寧波市諾丁漢高校附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（試驗(yàn)班，含解析）一、選擇題：1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則等于（）A.70 B.28 C.20 D.8【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，所?20.故選C.2.設(shè)，，則A,B的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：因,故,所以應(yīng)選B.考點(diǎn)：不等式的性質(zhì).3.若sin,則cosα=()A.- B.- C. D.【答案】C【解析】cosα=1-2sin2=1-2×.故選C.4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若,則的值為（）A.12 B.10 C.8 D.【答案】B【解析】因?yàn)樗裕蔬xB點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的重要性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，,留意等式兩邊的項(xiàng)數(shù)，都是兩項(xiàng).5.設(shè)數(shù)列，前項(xiàng)和為10，則等于()A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】【分析】對通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)可得.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律:(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)覺被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．6.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要求，可將其平方，利用同角三角函數(shù)平方和等于１,和二倍角的正弦公式得到,最終考慮角度所在的象限,得出結(jié)果．詳解】解：,先將平方得：.又,在第三象限,則,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù),同角三角函數(shù)間的關(guān)系,須要留意角度所在的象限,屬于中檔題．7.在三角形中,依據(jù)下列條件解三角形,其中有兩個(gè)解的是()A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】D【解析】【分析】在已知兩邊及一邊對角用正弦定理解三角形時(shí)才可能出現(xiàn)兩解．依據(jù)正弦定理推斷．【詳解】A已知兩角一邊，三角形確定的，只有一解，B已知兩邊及夾角用余弦定理，只有一解，C中已知兩邊及一邊對角，但已知的是大邊所對的角，小邊所對角只能是銳角，不行能有兩解，D中，，有兩解．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形解的個(gè)數(shù)問題，駕馭正弦定理和余弦定理是解題關(guān)鍵．三角形解的個(gè)數(shù)中只有在已知兩邊及一邊對角用正弦定理解三角形時(shí)才可能出現(xiàn)兩解，留意推斷方法．8.在中，，，，則外接圓的直徑為()A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用面積公式求出，再用余弦定理求出可得【詳解】,,得，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理及面積公式.嫻熟運(yùn)用正弦定理、余弦定理是解題關(guān)鍵.三角形面積公式正弦定理9.假如一個(gè)等差數(shù)列的，，則等于()A.90 B. C.110 D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算求出前項(xiàng)和公式可得解【詳解】解得故選：D【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量計(jì)算問題的思路：與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問題，主要圍圍著通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，在兩個(gè)公式中共涉及五個(gè)量：，已知其中三個(gè)量，選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個(gè)量．10.設(shè)，，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值等于()A.0 B.4 C. D.【答案】C【解析】，而時(shí)取等號），，要使恒成立，應(yīng)有，實(shí)數(shù)的最小值等于，故選C.二、填空題：11.已知數(shù)列首項(xiàng)為，且，則為________.【答案】31【解析】【分析】構(gòu)造可得，從而可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為等比數(shù)列，可先求，進(jìn)而可求，把代入可求【詳解】是以2為首項(xiàng)，以2為等比數(shù)列故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的項(xiàng)，待定系數(shù)法迭代的方法即構(gòu)造等比（等差）數(shù)列的方法求解，12.在數(shù)列中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用遞推公式可驗(yàn)證出數(shù)列為周期為的周期數(shù)列，從而可得.【詳解】令，則令，則令，則令，則令，則令，則數(shù)列為周期為的周期數(shù)列本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)遞推公式推斷數(shù)列的性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是能夠通過遞推公式確定數(shù)列為周期數(shù)列，從而利用周期將所求值進(jìn)行化簡.13.在等比數(shù)列中，，，則______.【答案】16【解析】【分析】利用等比數(shù)列中性質(zhì)成等比數(shù)列得解【詳解】，成等比數(shù)列故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和的性質(zhì)．當(dāng)或且為奇數(shù)時(shí)是等比數(shù)列，其公比為14.用一根長為的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架（不計(jì)損耗），要使這個(gè)窗戶通過的陽光最足夠，則框架的寬為________；高為________.【答案】(1).(2).3【解析】分析】先表示出框架的面積函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最值可得【詳解】設(shè)窗戶的寬為，則其高為，要使陽光足夠，只要面積最大，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，這時(shí)高為.故答案為：(1).(2).3【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值成立條件.用基本不等式求最值問題:已知，則：(1)假如積是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值是.(簡記：積定和最小)(2)假如和是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值是.(簡記：和定積最大)15.在中，若，，，則______；______.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】余弦定理得求出，再求出利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求得【詳解】由余弦定理得，即，，得，，.故答案為：(1).3(2).【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理.利用余弦定理可以解決的兩類問題：(1)已知兩邊及夾角，先求第三邊，再求其余兩個(gè)角．(2)已知三邊，求三個(gè)內(nèi)角．16.在等差數(shù)列中，，.則______；此數(shù)列前30項(xiàng)的肯定值之和為______.【答案】(1).(2).765【解析】【分析】利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算可得解，由通項(xiàng)計(jì)算得得前20項(xiàng)為負(fù)數(shù)，分段計(jì)算可解.【詳解】（1）由，，得，∴.∴.（２由，則.故答案為：(1)(2).765【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量計(jì)算問題的思路：與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問題，主要圍圍著通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，在兩個(gè)公式中共涉及五個(gè)量：，已知其中三個(gè)量，選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個(gè)量．17.已知的三邊，，和面積滿意，且.則______；的最大值為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用面積公式和余弦定理聯(lián)解化簡可得，兩邊平方可求的；求出，利用面積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求出面積最大值.【詳解】∵，且，∴∴，，∴.∵，∴.得.∵，∴（當(dāng)時(shí)取最大值），∴的最大值是.故答案為：(1).(2).【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用.三角形中最值范圍問題的解題思路:要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避開結(jié)果的范圍過大．三、解答題：18.已知關(guān)于的一元二次不等式.（1）若不等式的解集是或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由不等式的解集為知,且，是方程的兩根，代入可解.（2）不等式的解集為，知二次函數(shù)圖像恒在軸下方，則利用且可解【詳解】（1）∵不等式的解集為∴，是方程的兩根，且∴（2）∵不等式的解集為∴且∴∴的取值范圍是【點(diǎn)睛】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類探討的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)探討是等于，小于，還是大于，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，探討判別式與的關(guān)系．(3)確定無實(shí)根時(shí)可干脆寫出解集，確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，要探討兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．19.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可求出，再利用二倍角的正切公式即可求解.（2）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式將式子化為，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化為，由（1）即可求解.【詳解】（1）由，知，∴，∴.（2）由（1），知，∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角正切、余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面積．【答案】（1）依據(jù)已知邊角關(guān)系，結(jié)合二倍角公式來化簡得到證明．（2）【解析】解：(1)證明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.由正弦定理得：sinA＋sinAcosC＋sinC＋cosAsinC＝3sinB，即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差數(shù)列．(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos60°，∴(a＋c)2－3ac＝16，又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面積S＝acsinB＝acsin60°＝4.21.已知數(shù)列{}滿意a1＝1，a3＋a7＝18，且＋＝2（n≥2）．（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若＝·，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）因?yàn)椋傻炔钪许?xiàng)可知數(shù)列是等差數(shù)列，依據(jù)已知可求得其公差，從而可得其通項(xiàng)公式．（2）分析可知應(yīng)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．試題解析：解：（1）由知，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），，相減得：，整理得：，所以．考點(diǎn)：1求通項(xiàng)公式；2求數(shù)列的和．22.已知數(shù)列