高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.1空間幾何體結(jié)構(gòu)特征及計(jì)算(精練)(原卷版+解析)

7.1空間幾何體結(jié)構(gòu)特征及計(jì)算【題型解讀】【題型一簡(jiǎn)單幾何體的概念】1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；②直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是三棱錐C.各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D.一個(gè)三棱錐的四個(gè)面可以都為直角三角形3.(2023·山東省東明縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B.過(guò)空間內(nèi)不同的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C.棱錐的所有側(cè)面都是三角形D.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【題型二簡(jiǎn)單幾何體的表面積】1.(2023·青海高三模擬）以邊長(zhǎng)為4的正方形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C．32 D．162.(2023·陜西西安高三模擬）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2和，將該三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A． B． C． D．4.(2023·寧夏石嘴山·一模）過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，交底面圓于，兩點(diǎn)，已知圓的半徑為，，，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5.(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．6.(2023·天津高三模擬）已知四棱錐底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心，若該四棱錐的體積為，則它的表面積為（）A．8 B．12 C． D．207.(2023·全國(guó)高三模擬）已知長(zhǎng)方體木塊中，，從該木塊中挖去一個(gè)圓錐，使得圓錐的頂點(diǎn)為正方形的中心，底面圓為正方形的內(nèi)切圓，則剩余部分的表面積為_(kāi)____________．【題型三簡(jiǎn)單幾何體的體積】1.(2023·江蘇高三模擬）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．2.(2023·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）2022年7月，臺(tái)風(fēng)“暹芭”登陸我國(guó).某興趣小組為了解臺(tái)風(fēng)“暹芭”對(duì)本市降雨量的影響，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的容器接雨水.已知該容器上底直徑為56cm，下底直徑為24cm，容器深18cm，若容器中積水深9cm，則平地降雨量是（

）（注：平地降雨量等于容器中積水體積除以容器的上底面積）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足面ABC，，若，則該“鞠”的體積的最小值為（

）A． B． C． D．4．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)B．平面C．三棱錐的表面積為D．三棱錐的體積為5.(2023·江蘇南通市·高三模擬）中國(guó)氣象局規(guī)定：一天里的降雨的深度當(dāng)作日降水量，通常用毫米表示降水量的單位，的降水量是指單位面積上水深.如圖，這是一個(gè)雨量筒，其下部是直徑為?高為的圓柱，上部承水口的直徑為.某同學(xué)將該雨量筒放在雨中，雨水從圓形容器口進(jìn)入容器中，后，測(cè)得容器中水深，則該同學(xué)測(cè)得的降水量約為（）A． B． C． D．6.(2023·福建高三三模）（多選）已知正四棱錐的側(cè)面積為，當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，以下結(jié)論正確的是（）A．棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為B．側(cè)棱與底面所成的角為C．棱錐的每一個(gè)側(cè)面都是等邊三角形D．棱錐的內(nèi)切球的表面積為【題型四有關(guān)球的計(jì)算】1.(2023·甘肅省武威第一中學(xué)高三月考）如圖，半徑為4的球中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_(kāi)______3.(2023·天津·耀華中學(xué)二模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．4.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中點(diǎn)，將分別沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，則所得幾何體ABCDE的外接球的體積為_(kāi)_____．7.1空間幾何體結(jié)構(gòu)特征及計(jì)算【題型解讀】【題型一簡(jiǎn)單幾何體的概念】1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；②直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.答案：A【解析】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸時(shí)才是母線(xiàn)；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.故選：A.2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是三棱錐C.各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D.一個(gè)三棱錐的四個(gè)面可以都為直角三角形答案：D【解析】A.錯(cuò)誤，經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；B.錯(cuò)誤，正八面體的八個(gè)面也都是正三角形；C.錯(cuò)誤，側(cè)面都是正方形，但底面如果不是正多邊形，也不是正棱柱，比如側(cè)面是正方形，但底面是菱形的柱體不是正四棱柱；D.正確，底面是直角三角形，一條側(cè)棱和底面垂直，并且垂直落在非直角頂點(diǎn)處的三棱錐，即可滿(mǎn)足條件.故選：D3.(2023·山東省東明縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B.過(guò)空間內(nèi)不同的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C.棱錐的所有側(cè)面都是三角形D.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)答案：C【解析】對(duì)：根據(jù)棱柱的定義知，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，所以錯(cuò)誤，反例如圖：對(duì)：若這三點(diǎn)共線(xiàn)，則可以確定無(wú)數(shù)個(gè)平面，故錯(cuò)誤；對(duì)：棱錐的底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故正確；對(duì)：只有用平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，故錯(cuò)誤，故選：.【題型二簡(jiǎn)單幾何體的表面積】1.(2023·青海高三模擬）以邊長(zhǎng)為4的正方形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C．32 D．16答案：A【解析】以邊長(zhǎng)為4的正方形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑，高，故其側(cè)面積．故選：A2.(2023·陜西西安高三模擬）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2和，將該三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖所示，在直角中，，可得，可得，即旋轉(zhuǎn)體的底面圓的半徑為，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為：.故選：A.3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其側(cè)棱為，所以頂點(diǎn)到底面圓圓心的距離為：，所以底面圓的圓心即為外接球的球心，所以外接球半徑為，所以.故選：A.4.(2023·寧夏石嘴山·一模）過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，交底面圓于，兩點(diǎn)，已知圓的半徑為，，，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示，在中因?yàn)榍宜詾檎切嗡运詧A錐的側(cè)面積故選：B5.(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可得圓錐體的母線(xiàn)長(zhǎng)為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為（），故選：C6.(2023·天津高三模擬）已知四棱錐底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心，若該四棱錐的體積為，則它的表面積為（）A．8 B．12 C． D．20答案：B【解析】如圖，設(shè)底面中心為，則，可得，因?yàn)榈酌鏋檎叫危瑒t，，則的邊邊上的高為，則該四棱錐的表面積為.故選：B.7.(2023·全國(guó)高三模擬）已知長(zhǎng)方體木塊中，，從該木塊中挖去一個(gè)圓錐，使得圓錐的頂點(diǎn)為正方形的中心，底面圓為正方形的內(nèi)切圓，則剩余部分的表面積為_(kāi)____________．答案：【解析】剩余部分的表面積為長(zhǎng)方體木塊的表面積減去一個(gè)半徑為的圓的面積，再加上一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐的側(cè)面積，即．故答案為：【題型三簡(jiǎn)單幾何體的體積】1.(2023·江蘇高三模擬）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.2.(2023·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）2022年7月，臺(tái)風(fēng)“暹芭”登陸我國(guó).某興趣小組為了解臺(tái)風(fēng)“暹芭”對(duì)本市降雨量的影響，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的容器接雨水.已知該容器上底直徑為56cm，下底直徑為24cm，容器深18cm，若容器中積水深9cm，則平地降雨量是（

）（注：平地降雨量等于容器中積水體積除以容器的上底面積）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm答案：B【解析】根據(jù)題意可得，容器下底面面積為，上底面面積為,因?yàn)槿萜髦蟹e水高度為容器高度的，則積水上底面恰為容器的中截面，所以積水上底直徑為cm，積水上底面面積為，所以積水體積為，則平地降雨量是cm.故選：B.3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足面ABC，，若，則該“鞠”的體積的最小值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取中點(diǎn)為,過(guò)作,且,因?yàn)槠矫鍭BC,所以平面.由于,故,進(jìn)而可知,所以是球心,為球的半徑.由,又,當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立,故此時(shí),所以球半徑,故,體積最小值為故選:C4．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)B．平面C．三棱錐的表面積為D．三棱錐的體積為答案：D【解析】因?yàn)槠矫?平面,平面,,所以直線(xiàn)與為異面直線(xiàn),故A對(duì).平面，平面，平面，故B對(duì).,,所以三棱錐的表面積為，故C對(duì).,故D錯(cuò).故選:D5.(2023·江蘇南通市·高三模擬）中國(guó)氣象局規(guī)定：一天里的降雨的深度當(dāng)作日降水量，通常用毫米表示降水量的單位，的降水量是指單位面積上水深.如圖，這是一個(gè)雨量筒，其下部是直徑為?高為的圓柱，上部承水口的直徑為.某同學(xué)將該雨量筒放在雨中，雨水從圓形容器口進(jìn)入容器中，后，測(cè)得容器中水深，則該同學(xué)測(cè)得的降水量約為（）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，水的體積，容器口的面積.∴降雨量.∴該同學(xué)測(cè)得的降水量約為.故選：C.6.(2023·福建高三三模）（多選）已知正四棱錐的側(cè)面積為，當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，以下結(jié)論正確的是（）A．棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為B．側(cè)棱與底面所成的角為C．棱錐的每一個(gè)側(cè)面都是等邊三角形D．棱錐的內(nèi)切球的表面積為答案：ACD【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，即，而，又，故，設(shè)，則，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)棱錐的體積最大，且，∴底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，，∴棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，選項(xiàng)A正確；側(cè)棱與底面所成的角為，而，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為2，故側(cè)面為等邊三角形，選項(xiàng)C正確；設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由于，，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【題型四有關(guān)球的計(jì)算】1.(2023·甘肅省武威第一中學(xué)高三月考）如圖，半徑為4的球中有