高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)6.4.2數(shù)列與不等式(針對練習(xí))(原卷版+解析)

第六章數(shù)列6.4.2數(shù)列與不等式（針對練習(xí)）針對練習(xí)針對練習(xí)一直接求和證明不等式1．已知數(shù)列的前n項和為，，，其中.(1)記，求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：.2．已知數(shù)列的前n項和為，，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前n項和為，證明：.3．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明.4．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．5．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，求證：．針對練習(xí)二先放縮再求和證明不等式6．已知數(shù)列滿足，且,是的前項和.(1)求；(2)若為數(shù)列的前項和，求證：.7．已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求；(2)求證：．8．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式和前項和；(2)證明不等式32?9．已知數(shù)列（）是公比為的等比數(shù)列，其中，.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）記數(shù)列，（），證明：.10．已知數(shù)列{}滿足a?=1，(n≥2，n∈)（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）證明：.針對練習(xí)三數(shù)列的恒成立問題11．已知數(shù)列中，，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最小值.12．已知數(shù)列?，前?項和為?，滿足?.(1)求數(shù)列?的通項公式;(2)若?，求數(shù)列?的前?項和?;(3)對任意?，使得?恒成立，求實數(shù)?的最小值.13．已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)證明數(shù)列是常數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.14．已知正項數(shù)列的前n項和為，且和滿足：.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求的前n項和；(3)在（2）的條件下，對任意，都成立，求整數(shù)m的最大值.15．已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，若，對任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．針對練習(xí)四數(shù)列的能成立問題16．已知數(shù)列中，，前n項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列1an的前n項和為，求滿足不等式的n值．17．已知數(shù)列的前項和為，；等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列前項和為，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值，若不存在，說明理由.18．在數(shù)列中，（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（Ⅱ）若存在成立，求實數(shù)的最大值．19．已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實數(shù)的取值范圍20．已知數(shù)列前項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．針對練習(xí)五數(shù)學(xué)歸納法21．已知數(shù)列滿足.(1)寫出，并推測的表達式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．22．設(shè)正項數(shù)列滿足，且______．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面橫線處，并求解下列問題：（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．23．設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意的正整數(shù)都滿足．（1）求，，的值，猜想的表達式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中猜想的的表達式的正確性．24．在數(shù)列中，已知，.（1）計算，，；（2）根據(jù)計算結(jié)果猜想出的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.25．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．第六章數(shù)列6.4.2數(shù)列與不等式（針對練習(xí)）針對練習(xí)針對練習(xí)一直接求和證明不等式1．已知數(shù)列的前n項和為，，，其中.(1)記，求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用的關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造法可得，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可證結(jié)論.（2）由（1）得，再應(yīng)用錯位相減法求，即可證結(jié)論.(1)證明：對任意的，，，時，，解得，時，因為，，兩式相減可得：，即有，∴，又，則，因為，，所以，對任意的，，所以，因此，是首項和公比均為3的等比數(shù)列(2)由（1）得：，則，，，兩式相減得：，化簡可得：，又，∴.2．已知數(shù)列的前n項和為，，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】根據(jù)題意變形為，得到，進而根據(jù)等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列的通項；（2）由，得到，結(jié)合裂項法求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.(1)解：當(dāng)時，由可變形為，即，即，所以，又因為，，可得，所以，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項公式為.(2)解：由，可得，所以，因為，所以，即，又因為，單調(diào)遞增，所以，所以.3．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時計算，當(dāng)時，結(jié)合已知條件可得，由等差數(shù)列的定義可得是公差為的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得的通項公式；（2）求出的通項公式，由裂項求和可得，再由不等式放縮即可求證.(1)當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列通項公式為.(2)因為，所以，因為，所以.4．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）對變形得到，故可以得到是公比為2，首項為4的等比數(shù)列，進而利用累加法求出，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到，利用錯位相減法求和，再利用，證明，從而得到證明.(1)當(dāng)時，，即，且，所以當(dāng)時，是公比為2，首項為4的等比數(shù)列，故，所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，，又因為，所以.(2)，所以①；②；①－②得：，所以，顯然，又，所以，綜上：.5．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，利用等比中項性質(zhì)和等差數(shù)列通項公式，即可得答案；（2）由（1）得，再利用錯位相減求和得到，利用數(shù)列的單調(diào)性，即可得答案；【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，∴．（2）證明：因為，所以，；兩式相減得，∴，因為，所以，，所以，又，，因為，故最小，綜上所述．針對練習(xí)二先放縮再求和證明不等式6．已知數(shù)列滿足，且,是的前項和.(1)求；(2)若為數(shù)列的前項和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)先用累加法求通項公式，再由裂項相消法可得；(2)由(1)可得的通項公式為，放縮得，再由裂項相消法可證.(1)∵，∴，，…由上述個等式相加得∴，∴，.(2)令，∴，又因為，且∴，綜上，，得證.7．已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分析可知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，求出、的表達式，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）利用放縮法可得出，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證得原不等式成立.(1)解：由得．

所以，當(dāng)時，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

故，即．

當(dāng)時，則，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，．所以．(2)證明：由（1）知，

所以.故原不等式成立.8．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式和前項和；(2)證明不等式32?【答案】(1)（）(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，可得到，從而可求出等差數(shù)列的公差，進而求得通項公式和前項和；（2）由（1）寫出的表達式，可利用放縮法得到，進而利用裂項求和的方法證明結(jié)論.(1)解：設(shè)數(shù)列公差為，

因為，，成等比數(shù)列.所以，即,得,又，所以.故（）,(2)證明：由（1）得

，因為當(dāng)時，.，即.，所以,即.9．已知數(shù)列（）是公比為的等比數(shù)列，其中，.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）記數(shù)列，（），證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義結(jié)合遞推公式即可證出結(jié)論；（2）錯位相減法求數(shù)列的前項和；（3）利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式即可證出結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，兩端同除得：，所以數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列，（2）由（1）知，所以，，則，相減得：，所以，即.（3），（）又，（），當(dāng)時，所以原不等式得證.10．已知數(shù)列{}滿足a?=1，(n≥2，n∈)（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】（1）利用和與項的關(guān)系，作差消和得到項的遞推關(guān)系，進而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明，并求得通項公式；（2）利用放縮法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求和問題，進而證明.【詳解】（1）由題意得，，兩式相減得，化簡得，，，，∴，故是等比數(shù)列，公比為3，，；（2）由（1）知，，，當(dāng)時，恒成立，∴恒成立，.針對練習(xí)三數(shù)列的恒成立問題11．已知數(shù)列中，，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由條件可得出從而可證，從而可得出的通項公式.(2)將（1）中的代入即得對于恒成立，設(shè)，分析出其單調(diào)性，得出其最大項，即可得出答案.(1)由，可得，即所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以(2)不等式對于恒成立即對于恒成立即對于恒成立設(shè)，由當(dāng)時，，即即當(dāng)時，，即即所以最大，所以，故的最小值為12．已知數(shù)列?，前?項和為?，滿足?.(1)求數(shù)列?的通項公式;(2)若?，求數(shù)列?的前?項和?;(3)對任意?，使得?恒成立，求實數(shù)?的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用前n項和法求通項(要注意討論)(2)利用錯位相減法求數(shù)列前n項和(3)恒成立問題利用分離參數(shù)法進行處理.(1)?，?時有?，?時有?，??，?又?，也符合上式，故數(shù)列?是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，?(2)由（1）知?，?，①?，②由①-②有：????(3)??而當(dāng)?時，?有最大值?，故?的最小值是?.13．已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)證明數(shù)列是常數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，；(2)或．【分析】（1）利用得出遞推關(guān)系，變形后可證明數(shù)列是常數(shù)列，由此可求得；（2）由錯位相減法求得，得出的范圍后解相應(yīng)不等式可得的范圍．(1)，則，兩式相減得，，即，所以是常數(shù)列．，，，所以，；(2)，，易知是遞增數(shù)列，且，若對任意恒成立，則，解得或．14．已知正項數(shù)列的前n項和為，且和滿足：.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求的前n項和；(3)在（2）的條件下，對任意，都成立，求整數(shù)m的最大值.【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差整理得，即可得到是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，從而求出的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得；（3）利用作差法說明的單調(diào)性，即可求出，從而求出參數(shù)的取值范圍，即可得解；(1)解：∵，∴，①∴，②①－②得.∴，化簡.∵，∴.∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.∴.(2)解：由（1）可得.∴.(3)解：由（2）知，所以.∴數(shù)列是遞增數(shù)列，則，∴，解得，∴整數(shù)的最大值是7.15．已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，若，對任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即得；（2）利用錯位相減法求出，然后分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.(1)當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由有，兩式相減可得，即是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以．(2)由得，所以，，兩式相減得，所以．由，得，即恒成立．當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，，所以；綜上，．針對練習(xí)四數(shù)列的能成立問題16．已知數(shù)列中，，前n項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列1an的前n項和為，求滿足不等式的n值．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)題意，時得到，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項公式；（2）由（1）可得，結(jié)合題設(shè)有，即可得解.【詳解】（1）由得：當(dāng)時，所以，即，故，又，則，可得，則，綜上，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故；（2）由（1）知：數(shù)列1an是首項為1，公比為所以，又，所以不等式，即，則或.17．已知數(shù)列的前項和為，；等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列前項和為，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值，若不存在，說明理由.【答案】（1），；（2）存在，最小值為.【分析】（1）利用與的遞推關(guān)系得，由題設(shè)易知，即是首項為1公比為3的等比數(shù)列，寫出通項公式，再求等差數(shù)列的基本量，寫出通項即可.（2）由（1）得，應(yīng)用錯位相減法求得，結(jié)合不等關(guān)系求n的范圍，即可判斷是否存在正整數(shù)n并寫出其最小值.【詳解】（1）由題設(shè)，，得，又，即，∴對都成立，則，∴，又且為等差數(shù)列，∴若公差為，則，得，即，∴.（2）由（1）知：，∴，則，∴，即，若時，有，∴且，故存在，的最小值為4.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用與求通項時，注意驗證是否滿足所得關(guān)系，進而寫出通項公式.（2）利用錯位相減法求前n項和，再由不等式成立求n的范圍，進而判斷存在性.18．在數(shù)列中，（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（Ⅱ）若存在成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(Ⅰ)an＝1,【詳解】試題分析：(Ⅰ)由可得，兩式相減整理得到，故數(shù)列為等比數(shù)列，求得通項后再驗證是否滿足即可得到所求．(Ⅱ)由條件可得存在成立，設(shè)，則．然后根據(jù)的單調(diào)性求出最值即可．試題解析：（Ⅰ）∵，①∴，②①-②，得，即∴．∴數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．．，又不滿足上式．．（Ⅱ）∵存在成立，∴存在成立．令，則．由（Ⅰ）可知當(dāng)，當(dāng)，則，所以當(dāng)時，數(shù)列是遞減數(shù)列，∴當(dāng)時，．∴當(dāng)時，．∴．故所求實數(shù)的最大值為．點睛：數(shù)列中的恒成立或能成立的問題是函數(shù)問題在數(shù)列中的具體體現(xiàn)，解決此類問題時仍要轉(zhuǎn)化為最值問題處理．解題中通過分離參數(shù)在不等式的一端得到關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值，從而可求得參數(shù)的值或其范圍．19．已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)與之間關(guān)系，由題中條件，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到，再由（1）的結(jié)果，根據(jù)裂項求和的方法，即可求出結(jié)果；（3）先由題意，得到存在，使得成立，求出的最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為數(shù)列的前n項和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合上式，；（2），.（3）存在，使得成立，存在，使得成立，即有解，，而，當(dāng)或時取等號，的取值范圍為.【點睛】本題主要考查由前項和求通項公式，數(shù)列的求和問題，以及數(shù)列不等式能成立的問題，熟記與之間關(guān)系，以及裂項求和的方法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.20．已知數(shù)列前項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知已知求，通常用求通項.（2）用裂項相消法求數(shù)列的前項和，列出不等式，參變分離得，因為存在，由基本不等式求的最大值即可.【詳解】解：(1)時，,時，，時，也適合上式，所以數(shù)列的通項公式.(2)因為，所以因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以.即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查已知求、裂項相消法求數(shù)列的和、基本不等式、數(shù)列與不等式相關(guān)知識，屬中檔題.針對練習(xí)五數(shù)學(xué)歸納法21．已知數(shù)列滿足.(1)寫出，并推測的表達式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】（1）分別將、2、3代入遞推式中求，進而總結(jié)歸納出的表達式；（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，首先判斷時是否成立，再假設(shè)時成立，最后結(jié)合已知條件推導(dǎo)出時成立即可.(1)時，，則，時，，則，時，，則，猜想.(2)由（1）得：時，成立．假設(shè)時，成立，那么當(dāng)時，，而，所以，即，故時，也成立．綜上，對一切n∈N*，都成立，得證．22．設(shè)正項數(shù)列滿足，且______．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面橫線處，并求解下列問題：（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】答案不唯一，具體見解析【分析】若選①，（1）由已知條件可得，，，可得，（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，利用可求出即可，若選②，（1）由已知條件求出，從而可猜想得，（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明時，當(dāng)時，利用求出即可，【詳解】若選①，（1）由，，可得，，，猜想．（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時，，猜想成立；假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即；則當(dāng)時，，即當(dāng)時，猜想也成立，所以數(shù)列的通項公式為．若選②，（1）由，可得，因為是正項數(shù)列，所以，由，解得，由，解得，猜想．（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時，，猜想成立；假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即；則當(dāng)