高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.4橢圓及其性質(zhì)(精講)(原卷版+解析)

8.4橢圓及其性質(zhì)【題型解讀】【知識(shí)必備】1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．2．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2常用結(jié)論橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，最大．(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.【題型精講】【題型一橢圓的定義及應(yīng)用】例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題是真命題的是________．(將所有真命題的序號(hào)都填上)①已知定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；②已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點(diǎn)P的軌跡為線段；③到定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓．例2（1）(2023·福建高三期末）如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（） B． C． D．（2）(2023·江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．且例3已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1例4(2023·全國(guó)高三模擬）已知橢圓，，，點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【跟蹤精練】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“"是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.(2023·深圳模擬)已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B．－1 C． D．3.(2023·全國(guó)高三模擬）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線,的斜率乘積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.①存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；②存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；③不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值；④不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值.其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號(hào)）【題型二焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】例5(2023·青島高三模擬）橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為_(kāi)__．例6(2023·山東日照高三模擬）已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．例7(2023·重慶一中高三期中）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【跟蹤精練】1.(2023·武功縣普集高級(jí)中學(xué)期末）已知、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且．若的面積為9，則____________．2.(2023·全國(guó)高三模擬）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若的面積為，則_______．【題型三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】方法技巧根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．例8(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）(1)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓的方程為_(kāi)_____________．(3)(一題多解)過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________________．例9(2023·廣東深圳市·高三二模）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的兩點(diǎn)P?Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若6，且橢圓C的離心率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．2.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________．3.(2023·山西太原五中高三期末）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【題型四橢圓的性質(zhì)】例10(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(福州模擬)過(guò)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是________．例11(1)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為()A．2 B．3C．6 D．8(2)P為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一點(diǎn)，EF為圓N：(x－1)2＋y2＝4的任意一條直徑，則eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范圍是()A．[0,15] B．[5,15]C．[5,21] D．(5,21)【題型精練】1.(2023·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．2.(2023·江西·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．4.(2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求的最小值為_(kāi)__．8.4橢圓及其性質(zhì)【題型解讀】【知識(shí)必備】1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．2．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2常用結(jié)論橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，最大．(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.【題型精講】【題型一橢圓的定義及應(yīng)用】例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題是真命題的是________．(將所有真命題的序號(hào)都填上)①已知定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；②已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點(diǎn)P的軌跡為線段；③到定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓．答案：②【解析】①eq\r(2)<2，故點(diǎn)P的軌跡不存在；②因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；③到定點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)．例2（1）(2023·福建高三期末）如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（） B． C． D．（2）(2023·江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．且答案：（1）A（2）D【解析】（1）轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.選A.（2）方程表示橢圓，若焦點(diǎn)在x軸上，；若焦點(diǎn)在y軸上，.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是且故選：D例3已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1【解析】(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.例4(2023·全國(guó)高三模擬）已知橢圓，，，點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意知為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義知，所以.又，如圖，設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn).當(dāng)為點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為.故選：B【跟蹤精練】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“"是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】因?yàn)榉匠?=1表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，故“”是“方程+=1表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：B2.(2023·深圳模擬)已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B．－1 C． D．答案：A【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，可得，所以，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線（點(diǎn)在線段上）時(shí)，此時(shí)取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．3.(2023·全國(guó)高三模擬）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線,的斜率乘積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.①存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；②存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；③不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值；④不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值.其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號(hào)）答案：②④【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（x，y），依題意，有：，整理，得：，對(duì)于①，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且c＝4，a＜0，橢圓在x軸上兩頂點(diǎn)的距離為：2＝6，焦點(diǎn)為：2×4＝8，不符；對(duì)于②，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且c＝4，橢圓方程為：，則，解得：，符合；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，所以，存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，即，不可能成為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，正確.所以，正確命題的序號(hào)是②④.【題型二焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】例5(2023·青島高三模擬）橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為_(kāi)__．答案：【解析】，．在中，，．故答案為：.例6(2023·山東日照高三模擬）已知點(diǎn)在橢圓上，與分別為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，，又，解得，.故選：A.例7(2023·重慶一中高三期中）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案：【解析】橢圓，所以，即、，直線過(guò)左焦點(diǎn)，所以，，，所以；故答案為：【跟蹤精練】1.(2023·武功縣普集高級(jí)中學(xué)期末）已知、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且．若的面積為9，則____________．答案：3【解析】由知，則由題意，得，所以可得，即，所以.故答案為：3．2.(2023·全國(guó)高三模擬）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若的面積為，則_______．答案：【解析】在橢圓中，長(zhǎng)半軸，半焦距，由橢圓定義得，在中，由余弦定理得：，即：，則，又的面積為，則，即，于是得，兩邊平方得，解得，則，所以.故答案為：【題型三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】方法技巧根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．例8(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）(1)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓的方程為_(kāi)_____________．(3)(一題多解)過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________________．【解析】(1)由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故選C.(2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).所以橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(3)法一：定義法橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義，知2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二：待定系數(shù)法∵所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)相同，∴其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求橢圓上，∴eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.[答案](1)C(2)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(3)eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1例9(2023·廣東深圳市·高三二模）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．答案：D【解析】，所以可得，又因?yàn)?，所以可得，即為短軸的頂點(diǎn)，設(shè)為短軸的上頂點(diǎn)，，，所以，所以直線的方程為：，由題意設(shè)橢圓的方程為：，則，聯(lián)立，整理可得：，即，可得，代入直線的方程可得，所以，因?yàn)椋?，整理可得：，解得：，可得，所以橢圓的方程為：，故選：D．【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的兩點(diǎn)P?Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若6，且橢圓C的離心率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．答案：A【解析】由橢圓的定義及橢圓的對(duì)稱性可得由橢圓C的離心率為得，所以故選：A2.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________．答案：（答案不唯一）【解析】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）3.(2023·山西太原五中高三期末）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()，焦距為，則：解得故選：D【題型四橢圓的性質(zhì)】例10(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(福州模擬)過(guò)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是________．【解析】(1)如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2c.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝eq\r(3)c，|BF2|＝c，故|AB|＝a＋c＋c＝a＋2c，tan∠PAB＝eq\f(|PB|,|AB|)＝eq\f(\r(3)c,a＋2c)＝eq\f(\r(3),6)，解得a＝4c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4).(2)由題設(shè)知，直線l：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±eq\f(b2,a)，即圓的半徑r＝eq\f(b2,a).又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以eq\f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq\f(b2,a)，化簡(jiǎn)得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5).又0＜e＜1，所以0＜e≤eq\f(\r(5),5).[答案](1)D(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5)))例11(1)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為()A．2 B．3C．6 D．8(2)P為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一點(diǎn)，EF為圓N：(x－1)2＋y2＝4的任意一條直徑，則eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范圍是()A．[0,15] B．[5,15]C．[5,21] D．(5,21)【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3－eq\f(3x\o\al(2,0),4).因?yàn)辄c(diǎn)F(－1,0)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝x0(x0＋1)＋