用樣本估計總體(1)1

2.2.1用樣本的頻率分布

估計總體分布（一）萊蕪一中劉少華1.頻數(shù)：將樣本按照一定的方法分成若干組，每組內含有這個樣本的個體的數(shù)目。2.頻率：樣本中某個組的頻數(shù)和樣本容量的比。

簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣2.通過抽樣方法收集數(shù)據的目的是什么？從數(shù)據中尋找所包含的信息，用樣本去估計總體1.隨機抽樣的三種常用方法:

復習舊知溫故知新思考：生活中，我們在哪里可以看到大量的數(shù)據？我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標準a，用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標準a定為多少比較合理呢？①采用抽樣調查的方式獲得樣本數(shù)據②分析樣本數(shù)據來估計全市居民用水量的分布情況2000年全國主要城市中缺水情況排在前10位的城市問題1：為了較合理地確定這個標準，你認為需要做哪些工作？探索新知初中我們曾經學過頻數(shù)分布圖

和頻數(shù)分布表，這使我們能夠清

楚地知道數(shù)據分布在各個小組

的個數(shù).

下面將要學習的頻率分布表和頻率分布圖，則是從各個小組數(shù)據在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據分布的規(guī)律.它可以使我們看到整個樣本數(shù)據的頻率分布情況.用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據的排列方式.分析數(shù)據的一種基本方法是作圖可以達到兩個目的：（1）從數(shù)據中提取信息（2）利用圖形傳遞信息。表格通過改變數(shù)據的構成形式，為我們提供解釋數(shù)據的新方式。3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2討論：如何分析數(shù)據？根據這些數(shù)據你能得出用水量其他信息嗎?通過抽樣，獲得了100位居民月平均用水量(單位：t)，如下表：我們要對這些數(shù)據進行整理與分析Ⅰ收集數(shù)據第一步:求極差（一組數(shù)據中的最大值與最小值的差）思考1：上述100個數(shù)據中的最小值和最大值分別是什么？樣本數(shù)據的變化范圍是什么？0.24.3思考2：分成多少組合適呢？第二步:決定組距與組數(shù)

組距：指每組兩個端點的距離。組數(shù)：k=極差÷組距，(4.3－0.2)÷0.5＝8.2組數(shù)=[8.2]+1=9于是組距為0.5，組數(shù)為9如果將上述100個數(shù)據取組距為0.5進行分組，那么這些數(shù)據共分為多少組？4.3-0.2=4.1～Ⅱ整理數(shù)據若k為整數(shù)，則組數(shù)=k，若k不為整數(shù)，則組數(shù)=[k]+1。當樣本容量不超過100時，按數(shù)據多少，常分成5-12組。第四步：列頻率分布表第三步：將數(shù)據分組以組距為0.5將數(shù)據分組時，可以分成以下9組：[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5].知識探究（一）：頻率分布表思考3：各組數(shù)據的取值范圍

可以如何設定？各組均為左閉右開區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間思考4：如何統(tǒng)計樣本數(shù)據在各組中的頻數(shù)?如何計算樣本數(shù)據在各組中的頻率?你能將這些數(shù)據用表格反映出來嗎?分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5]合計48152225146420.040.080.150.220.250.140.060.041001.000.02頻率/組距0.080.160.300.440.500.280.120.080.04頻率分布表1.分組2.頻數(shù)累計（可省）3.頻數(shù)4.頻率

最后一行是合計知識探究（一）：頻率分布表頻數(shù)的合計為樣本容量頻率合計為1100位居民月平均用水量的頻率分布表5.頻率/組距小矩形的面積組距頻率組距×頻率==分組頻數(shù)頻率頻率/組距[0,0.5)40.040.08[0.5,1)80.080.16[1,1.5)150.150.30[1.5,2)220.220.44[2,2.5)250.250.50[2.5,3)140.140.28[3,3.5)60.060.12[3.5,4)40.040.08[4,4.5]20.020.04合計100用水量/t0.100.200.300.400.50O頻率/組距0.511.52.53.54.5234請計算每個小矩形的面積,它代表什么?為什么?所有小矩形的面積的和是多少?1注意縱坐標是頻率/組距為了直觀反映樣本數(shù)據在各組中的分布情況，將頻率分布表中的信息用圖形表示：知識探究（二）：頻率分布直方圖用水量/t0.100.200.300.400.50O頻率/組距0.511.52.53.54.52341.頻率分布直方圖,顯示了樣本數(shù)據落在各個小組的比例的大小,圖中最高的小矩形說明了什么?2.大部分居民的月均用水量都集中在什么之間?月均用水量在[2,2.5)內的居民最多.[1,3)之間.根據頻率分布直方圖，居民月均用水量有什么特點？Ⅲ分析數(shù)據（1）居民月均用水量的分布是“山峰”狀的，而且是“單峰”的；（2）大部分居民的月均用水量集中在一個中間值附近，只有少數(shù)居民的月均用水量很多或很少；（3）居民月均用水量的分布有一定的對稱性等.如果當?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標準,根據頻率分布表和頻率分布直方圖,你能對制定月用水量提出建議嗎?分組頻數(shù)頻率頻率/組距[0,0.5)40.040.08[0.5,1)80.080.16[1,1.5)150.150.30[1.5,2)220.220.44[2,2.5)250.250.50[2.5,3)140.140.28[3,3.5)60.060.12[3.5,4)40.040.08[4,4.5]20.020.04合計1001用水量/t0.100.200.300.400.50O頻率/組距0.511.52.53.54.5234若將標準a定為2.5，則74%的居民在2.5t以下若將標準a定為3，則88%的居民在3t以下，標準可定為3t.

同樣一組數(shù)據，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖和形狀也會不同。不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時會影響我們對總體的判斷，下面給出以0.1和1為組距重新作出的頻率分布直方圖。優(yōu)點：很容易表示大量數(shù)據，非常直觀的表明分布形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的一些數(shù)據模式。缺點：雖然可以大致估計出總體的分布情況，但是不能保留原來的數(shù)據信息，在精確度要求較高的情況下不適用。問題:

你認為頻率分布直方圖的優(yōu)缺點是什么？00.10.20.30.40.50.60.511.522.533.544.5畫出頻率分布折線圖

頻率/組距月均用水量/t(取組距中點,并連線)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,得到頻率分布折線圖.利用樣本頻率分布對總體分布進行相應估計:（1）上例的樣本容量為100，如果增至1000，其頻率分布直方圖的情況會有什么變化？假如增至10000呢？（2）樣本容量越大，這種估計越精確.（3）當樣本容量無限增大，組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線——總體密度曲線.在樣本頻率分布直方圖中，當樣本容量增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減少，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.它能夠精確地反映了總體在各個范圍內取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息.總體密度曲線：月均用水量/t頻率組距0ab1.對于任何一個總體，它的密度曲線是不是一定存在？它的密度曲線是否可以被非常準確地畫出來？思考

實際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難像函數(shù)圖象那樣準確地畫出來，我們只能用樣本的頻率分布對它進行估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越精確。2.圖中陰影部分的面積表示什么？總體密度曲線與橫軸圍成的面積是多少？月均用水量/t頻率組距0ab總體在區(qū)間（a,b）內取值的百分比四種圖表的區(qū)別和聯(lián)系名稱區(qū)別頻率分布表從數(shù)量上比較準確地反映樣本的頻率分布規(guī)律頻率分布直方圖直觀的反映樣本的頻率分布情況頻率分布折線圖反映了數(shù)據的變化趨勢總體密度曲線雖然客觀存在，但是要準確畫出難度較大，只能用樣本頻率分布估計，樣本容量越大，估計越準確小