2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-教考銜接7-空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

教考銜接7?空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略【原卷版】類型1利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例1】如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí)，求B2P.類型2利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例2】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.類型3利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例3】如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.類型4利用正棱錐的底面中心與高所在的直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例4】已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，若BE⊥VC，則∠DEB的余弦值為.類型5利用底面正三角形構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例5】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn).（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.類型6不規(guī)則圖形的建系【例6】如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點(diǎn).（1）證明：BC⊥DA；（2）點(diǎn)F滿足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值.1.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)（1）證明：直線CE∥平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值.2.如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點(diǎn).（1）證明：FN⊥AD；（2）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.教考銜接7?空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略【解析版】類型1利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例1】如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí)，求B2P.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB，CC1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-類型2利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例2】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.類型3利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例3】如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.由題意知AO⊥平面BCD，顯然AO⊥OB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OA所在直線分別為x，z軸，在平面BCD內(nèi)，以過點(diǎn)O且與BD垂直的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.類型4利用正棱錐的底面中心與高所在的直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例4】已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，若BE⊥VC，則∠DEB的余弦值為.如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.類型5利用底面正三角形構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系【例5】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn).（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，連接OB，OO1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}為基底，類型6不規(guī)則圖形的建系【例6】如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點(diǎn).（1）證明：BC⊥DA；（2）點(diǎn)F滿足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值.由于題目中沒有明確給出建系所需的垂直條件，而是給出了其他可證明三線共點(diǎn)且兩兩垂直的條件，在此情況下就必須先證明再建系.本題在第（1）問證明BC⊥DA時(shí)，已證得BC⊥平面ADE，又因DA＝DB＝DC，設(shè)DA＝DB＝DC＝2，由∠ADB＝∠ADC＝60°，知△ABD與△ACD為等邊三角形，所以AB＝AC＝2.又BD⊥CD，所以BC＝22.因?yàn)锳B2＋AC2＝BC2，所以△ABC為直角三角形，且∠BAC＝90°，所以AE＝2.因?yàn)锽D⊥CD，所以DE＝12BC＝2.因?yàn)锳E2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.又AE⊥BC，BC?平面BCD，DE?平面BCD，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BCD，所以可分別以ED，EB，EA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)1.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)（1）證明：直線CE∥平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值.解：（1）證明：如圖，取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝12AD由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝12AD，所以EFBC所以四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE∥BF.又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.（2）由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，｜AB｜為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，1，3），所以PC＝（1，0，－3），AB＝（1，0，0）.設(shè)M（x，y，z）（0＜x＜1），則BM＝（x－1，y，z），PM＝（x，y－1，z－3）.因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n＝（0，0，1）是底面ABCD的一個(gè)法向量，所以｜c(diǎn)os＜BM，n＞｜＝｜BM·n｜｜BM｜·｜n整理得（x－1）2＋y2－z2＝0，①又M在棱PC上，設(shè)PM＝λPC，即（x，y－1，z－3）＝λ（1，0，－3），則x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.②由①②解得x=1+22，y所以M1－22，1，設(shè)m＝（x0，y0，z0）是平面ABM的法向量，則m·AM所以可取m＝（0，－6，2）.于是cos＜m，n＞＝m·n｜因此二面角M-AB-D的余弦值為1052.如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點(diǎn).（1）證明：FN⊥AD；（2）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.解：（1）證明：因?yàn)锳BCD是直角梯形，∠BAD＝60°，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC.因?yàn)镃DEF是直角梯形，∠CDE＝60°，所以∠DCF＝90°，即DC⊥FC.如圖，在AB邊上取AH＝2，連接DH，易得DH⊥AB，在Rt△DAH中，因?yàn)椤螪AH＝60°，所以AD＝2AH＝4，DH＝23＝BC.在DC邊上取DG＝2，連接EG，易得GE⊥DC，在Rt△EGD中，因?yàn)椤螮DG＝60°，所以DE＝2DG＝4，EG＝23＝FC.易知二面角F-DC-B的平面角為∠FCB＝60°，又FC＝BC＝23，故△FBC為等邊三角形.又N為BC的中點(diǎn)，所以FN⊥BC.因?yàn)镈C⊥FC，DC⊥BC，F(xiàn)C∩BC＝C，所以DC⊥平面BCF.又FN?平面BCF，所以DC⊥FN.因?yàn)锽C⊥FN，BC∩DC＝C，故FN⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，故FN⊥AD.（2）如圖，取AD的中點(diǎn)K，連接NK，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，以NK，NB，NF所在直