2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換章末綜合測評含解析新人教B版必修第三冊

PAGE章末綜合測評(二)向量的數(shù)量積與三角恒等變換(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，則實數(shù)m的值為()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．2 D．6D[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]2．設(shè)向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(1,2)))，若a的模長為eq\f(\r(2),2)，則cos2α等于()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)A[∵|a|＝eq\r(cos2α＋\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2)，∴cos2α＝eq\f(1,4).∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2).]3．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于()A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),2)C．－1 D．1D[tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28°＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.]4．若a，b是非零向量且滿意(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角θA．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)B[因為a2－2a·b＝0，b2－2a·所以a2＝b2＝2a·b，|a|＝|b|所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)a2,|a|2)＝eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(π,3).]5．已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，又sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，則sinβ等于()A．0 B．0或eq\f(24,25)C．eq\f(24,25) D．±eq\f(24,25)C[因為0<α<eq\f(π,2)<β<π且sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3,2)π，所以sin(α＋β)＝±eq\f(3,5)，當sin(α＋β)＝eq\f(3,5)時，sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(3,5)＝eq\f(24,25)，當sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)時，sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝－eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(3,5)＝0.又β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinβ>0，故sinβ＝eq\f(24,25).]6．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan15°，\f(1,cos75°)))，b＝(1，sin75°)，則a·b＝()A．1 B．2C．4 D．8C[由向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan15°，\f(1,cos75°)))，b＝(1，sin75°)，所以a·b＝tan15°＋eq\f(sin75°,cos75°)＝eq\f(sin15°,cos15°)＋eq\f(cos15°,sin15°)＝eq\f(sin215°＋cos215°,sin15°cos15°)＝eq\f(2,sin30°)＝4，故選C．]7．設(shè)函數(shù)f(x)＝asinxcosx－2sin2x，若直線x＝eq\f(π,6)是f(x)圖像的一條對稱軸，則()A．f(x)的最小正周期為π，最大值為1B．f(x)的最小正周期為π，最大值為2C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為1D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為2A[f(x)＝asinxcosx－2sin2x＝eq\f(a,2)sin2x＋cos2x－1＝eq\r(,\f(a2,4)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2x\f(\f(a,2),\r(,\f(a2,4)＋1))＋cos2x\f(1,\r(,\f(a2,4)＋1))))－1，令cosθ＝eq\f(\f(a,2),\r(,\f(a2,4)＋1))，sinθ＝eq\f(1,\r(,\f(a2,4)＋1))，則tanθ＝eq\f(2,a)，其中θ是參數(shù)，則f(x)＝eq\r(,\f(a2,4)＋1)sin(2x＋θ)－1，則函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，因為直線x＝eq\f(π,6)是f(x)圖像的一條對稱軸，所以2×eq\f(π,6)＋θ＝kπ＋eq\f(π,2)，即θ＝kπ＋eq\f(π,6)，則tanθ＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)))＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(,3),3)，即eq\f(\r(,3),3)＝eq\f(2,a)，得a＝2eq\r(,3)，則函數(shù)f(x)的最大值為eq\r(,\f(a2,4)＋1)－1＝eq\r(,3＋1)－1＝eq\r(,4)－1＝2－1＝1，故選A．]8．設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，則α＋β的值為()A．eq\f(3π,4) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)C[因為α，β為鈍角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(5),5).由cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，得sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3\r(10),10)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))×eq\r(－\f(3\r(10),10))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又因為π<α＋β<2π，所以α＋β＝eq\f(7π,4).]二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．下列計算正確的是()A．eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1B．1－2sin275°＝eq\f(\r(3),2)C．cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)＝eq\f(\r(2),2)D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝eq\f(5,4)ACD[對于選項A，eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1；對于選項B,1－2sin275°＝cos150°＝－eq\f(\r(3),2)；對于選項C，cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)＋sin2\f(π,8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)－sin2\f(π,8)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)；對于選項D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).]10．若函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，則()A．函數(shù)的周期為2πB．函數(shù)的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))C．函數(shù)的一條對稱軸為x＝πD．函數(shù)的值域為[－1,1]ACD[y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，故周期為2π，x＝π是函數(shù)y＝cosx的一條對稱軸，值域為[－1,1]．]11．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿意eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝2a＋b，則下列結(jié)論不正確的是()A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)·b＝1 D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up7(→))ABC[在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up7(→)).]12．已知銳角α，β滿意sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，則()A．eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2) B．β<eq\f(π,4)<αC．eq\f(π,4)<α<β D．eq\f(π,4)<β<αAB[因為α為銳角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)>0，所以eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，所以α＋β＝eq\f(π,3)，又α>eq\f(π,4)，所以β<eq\f(π,4)<α.]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．若2sin(π＋x)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝1，則cos2x＝________.eq\f(7,9)[因為2sin(π＋x)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝1，所以－2sinx－sinx＝1，所以sinx＝－eq\f(1,3)，所以cos2x＝1－2sin2x＝eq\f(7,9).]14．已知非零向量m，n滿意4|m|＝3|n|，若n⊥(－4m＋n)，則m，neq\f(1,3)[因為非零向量m，n滿意4|m|＝3|n|，n⊥(－4m＋n所以|m|＝eq\f(3,4)|n|，且n·(－4m＋n)＝n2－4m·n＝0，即m·n＝eq\f(n2,4).設(shè)m，n夾角為θ，則cosθ＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(\f(1,4)n2,\f(3,4)|n|·|n|)＝eq\f(1,3).]15．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－2，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________，tan(α＋2β)＝________.(本題第一空2分，其次空3分)－8eq\f(3,11)[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(\f(2,3)＋2,1＋\f(2,3)×－2)＝－8.taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(tanβ－1,1＋tanβ)＝－2，tanβ＝－eq\f(1,3).tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋β·tanβ)＝eq\f(3,11).]16．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))，函數(shù)f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\r(,3)sin2x＋eq\f(π,2)＋3m，若f(x)＜2恒成立，則m的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))[f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\r(,3)sin2x＋eq\f(π,2)＋3m＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)\r(,)－2x))＋eq\r(,3)cos2x＋3m＝3m＋1－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，因為eq\f(π,4)≤x≤eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,3)≤π，則3m－1≤f(x)≤3m＋1，因為f(x)＜2恒成立，所以3m＋1＜2，解得m＜eq\f(1,3).所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))).]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知向量a＝(sinx,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，cosx))，其中x∈(0，π)．(1)若a∥b，求x的值；(2)若tanx＝－2，求|a＋b|的值．[解](1)因為a∥b，所以sinxcosx＝eq\f(1,2)，即sin2x＝1.因為x∈(0，π)，所以x＝eq\f(π,4).(2)因為tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－2，所以sinx＝－2cosx.因為a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)，1＋cosx))，所以|a＋b|＝eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))2＋1＋cosx2)＝eq\r(,\f(9,4)＋sinx＋2cosx)＝eq\f(3,2).18．(本小題滿分12分)已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosα－sinα，cosα＋sinα)．(1)求向量a與b的夾角；(2)若(λb－a)⊥a，求實數(shù)λ的值．[解](1)|a|＝2，|b|＝eq\r(,2)，a·b＝2cos2α－2sinαcosα＋2sinαcosα＋2sin2α＝2，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(,2),2).又0≤〈a，b〉≤π，所以a與b的夾角為eq\f(π,4).(2)因為(λb－a)⊥a，所以(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，所以λ＝2.19．(本小題滿分12分)(1)求值：eq\f(sin65°＋sin15°sin10°,sin25°－cos15°cos80°).(2)已知sinθ＋2cosθ＝0，求eq\f(cos2θ－sin2θ,1＋cos2θ)的值．[解](1)原式＝eq\f(sin80°－15°＋sin15°sin10°,sin15°＋10°－cos15°cos80°)＝eq\f(sin80°cos15°,sin15°cos10°)＝eq\f(cos15°,sin15°)＝2＋eq\r(3).(2)由sinθ＋2cosθ＝0，得sinθ＝－2cosθ，又cosθ≠0，則tanθ＝－2，所以eq\f(cos2θ－sin2θ,1＋cos2θ)＝eq\f(cos2θ－sin2θ－2sinθcosθ,sin2θ＋2cos2θ)＝eq\f(1－tan2θ－2tanθ,tan2θ＋2)＝eq\f(1－－22－2×－2,－22＋2)＝eq\f(1,6).20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq\f(π,12)時取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝eq\f(12,5)，求sinα.[解](1)因為f(x)＝Asin(3x＋φ)，所以T＝eq\f(2π,3)，即f(x)的最小正周期為eq\f(2π,3).(2)因為當x＝eq\f(π,12)時，f(x)有最大值4，所以A＝4.所以4＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(π,12)＋φ))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1.即eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．因為0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,4).所以f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(3)因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝4sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝4cos2α.由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝eq\f(12,5)，得4cos2α＝eq\f(12,5)，所以cos2α＝eq\f(3,5)，所以sin2α＝eq\f(1,2)(1－cos2α)＝eq\f(1,5)，所以sinα＝±eq\f(\r(5),5).21．(本小題滿分12分)已知向量a＝(eq\r(,3)sinx,1)，b＝(cosx，－1)．(1)若a∥b，求tan2x的值；(2)若f(x)＝(a＋b)·b，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求函數(shù)f(x)的最大值．[解](1)因為向量a＝(eq\r(,3)sinx,1)，b＝(cosx，－1)，又a∥b，所以1×cosx＝－1×(eq\r(,3)sinx)，所以tanx＝－eq\f(\r(,3),3)，所以tan2x＝eq\f(2tanx,1