全國版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算試題1理含解析

第第頁第五章平面對量第一講平面對量的概念及線性運(yùn)算、 平面對量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算練好題·考點(diǎn)自測1.給出下列命題:①向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反;②兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件;③若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反,則a+b與a,b兩者之一的方向相同;④兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量,其終點(diǎn)必相同;⑤若向量AB與向量CD是共線向量,則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線上;⑥λa=0(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為0.其中敘述正確的命題的序號是()A.①② B.③④ C.②④ D.⑤⑥2.[新課標(biāo)全國Ⅰ,5分][理]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則()A.AD=-13ABC.AD=43.[2024全國卷Ⅱ,3,5分]已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2 B.2 C.52 D.504.[浙江高考,5分][理]記max{x,y}=x,x≥y,y,x<y,min{x,yA.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|25.[2024全國卷Ⅲ,13,5分][理]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=.

6.[新課標(biāo)全國Ⅱ,5分][理]設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=.

7.[2024江蘇,13,5分]如圖5-1-1,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在邊BC上,延長AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+(32-m)PC(m為常數(shù)),則CD的長度是.

圖5-1-1拓展變式1.[2024合肥市調(diào)研檢測]在△ABC中,D,E,F分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn),AD,BE,CF交于點(diǎn)G,則以下結(jié)論:①EF=12CA-1③AD+BE=FC;正確的是()A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④2.如圖5-1-4,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,則2r+3A.1 B.2C.3 D.4圖5-1-43.給定兩個(gè)長度為1的平面對量OA和OB,它們的夾角為2π3.如圖5-1-6所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值為圖5-1-6答案第一講平面對量的概念及線性運(yùn)算、平面對量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1.C對于①,當(dāng)a=0時(shí),不正確;對于②,依據(jù)平行向量和相等向量的定義可知正確;對于③,當(dāng)a+b=0時(shí),a+b的方向是隨意的,它可以與a,b的方向都不相同,故③不正確;對于④,由相等向量的定義可知,④正確;對于⑤,若向量AB與向量CD是共線向量,由共線向量的定義可知,點(diǎn)A,B,C,D不肯定在同一條直線上,故⑤不正確;對于⑥,當(dāng)a=0時(shí),不論λ為何值,λa=0,故⑥不正確.故選C.2.A由題意得AD=AC+CD3.A依題意得a-b=(-1,1),|a-b|=(-1)4.D對于min{|a+b|,|a-b|}與min{|a|,|b|}的比較,相當(dāng)于把以|a|與|b|為鄰邊的平行四邊形的對角線長度的較小者與兩鄰邊長度的較小者比較,它們的大小關(guān)系不定,因此A,B均錯(cuò).而|a+b|,|a-b|中的較大者與|a|,|b|可構(gòu)成非銳角三角形的三邊,因此有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,故選D.5.12由題意得2a+b=(4,2),因?yàn)閏=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=16.12由于λa+b與a+2b平行,所以存在唯一實(shí)數(shù)μ,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0.因?yàn)橄蛄縜,b不平行,所以λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=17.185或0解法一以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸的正方向,AC的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)CD=λCB,λ∈[0,1],則D(4λ,3-3λ),AD=AC+λCB=λAB+(1-λ)AC,又點(diǎn)P在AD的延長線上,則可設(shè)AP=μAD,μ>1.又PA=m(PB-PC)+32PC=mCB+32PC,則PA=m(AB-AC)+32(AC-AP),12AP=mAB+(32-m)AC,則2mAB+(3-2m)AC=AP=μAD=λμAB+μ(1-λ)AC,所以2m=λμ,3-2m=μ-λμ,所以μ=3.又AP=9,則AD=3,所以(4λ)2+(3-3解法二由題意可設(shè)PA=λPD=λ[μPB+(1-μ)PC]=λμPB+(λ-λμ)PC,其中λ>1,0≤μ≤1,又PA=mPB+(32-m)PC,所以λμ=m,λ-λμ=32-m,得λ=32,即|PA||PD|=32,又PA=9,則|PD|=6,|AD|=3,所以AD=AC.當(dāng)D與C重合時(shí),CD=0,當(dāng)D不與C重合時(shí),有∠ACD=∠CDA,所以∠CAD=180°-2∠ACD,在△ACD中,由正弦定理可得1.C如圖D5-1-1,因?yàn)辄c(diǎn)D,E,F分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn),圖D5-1-1所以EF=12CB=-12BC,故①不正確;BE=BC+CE=BC+12CA=BC+12(CB+BA)=BC-122.C依據(jù)圖形,由題意可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB+因?yàn)锳E=rAB+sAD,所以r=12,s=23,所以2r+3s3.2以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖D5-1-2所示,圖D5-1-2則A(1,