自動控制原理-第五章頻域分析

5.1頻率特性的基本概念5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性5.7頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系5.8用MATLAB進(jìn)行頻域分析

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析熊凌自動控制原理

5.1.1頻率特性的概念

設(shè)有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)：

設(shè)有正弦輸入信號：

系統(tǒng)響應(yīng)的拉氏變換

5.1頻率特性的基本概念

熊凌自動控制原理令：其中：則：熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理比較：結(jié)論：

對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，由諧波輸入產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)輸出分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)有關(guān)，而幅值與相角的變化是頻率的函數(shù)，且與數(shù)學(xué)模型有關(guān)。熊凌自動控制原理頻率特性＝頻率特性（頻率響應(yīng)）的定義式：頻率特性

：在正弦信號作用下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量復(fù)數(shù)之比。表征輸入輸出幅值、相位上的差異。熊凌自動控制原理頻率特性表征系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力：同頻、變幅、變相相頻特性：諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與輸入諧波分量的相位之差。幅頻特性：諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與輸入諧波分量的幅值之比。熊凌自動控制原理系統(tǒng)三種描述方法的關(guān)系：微分方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)頻率特性熊凌自動控制原理5.1.2頻率特性的表示方法1.幅相頻率特性曲線（奈氏圖）幅相頻率特性可以表示成代數(shù)形式和極坐標(biāo)形式。

代數(shù)形式：設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性熊凌自動控制原理其中為頻率特性的實部，稱為實頻特性為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性

極坐標(biāo)形式：將頻率特性表示成指數(shù)形式:熊凌自動控制原理式中－頻率特性的幅值，即幅頻特性－復(fù)數(shù)頻率特性的相角或相位移，即相頻特性

熊凌自動控制原理奈氏圖：熊凌自動控制原理

2.對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）

——對數(shù)頻率特性曲線是將頻率特性表示在半對數(shù)坐標(biāo)中。

對數(shù)頻率特性由對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線組成。

對數(shù)頻率特性曲線：橫坐標(biāo)是頻率，并按對數(shù)分度，單位為弧度/秒。特點：熊凌自動控制原理

對數(shù)幅頻曲線：縱坐標(biāo)按線性分度，單位為分貝（db）。

對數(shù)相頻曲線：縱坐標(biāo)按線性分度，單位為度由此構(gòu)成坐標(biāo)稱為半對數(shù)坐標(biāo)。熊凌自動控制原理Bode圖：熊凌自動控制原理3.對數(shù)幅相特性（尼氏圖）

將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性繪在一個平面上，以對數(shù)幅值作縱坐標(biāo)（單位為分貝）、以相位移作橫坐標(biāo)（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對數(shù)幅—相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。

熊凌自動控制原理5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：熊凌自動控制原理1.幅相頻率特性比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關(guān)。所以由變到，在圖中為實軸上點。，表示輸出與輸入同相位。比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性熊凌自動控制原理Bode圖對數(shù)幅頻特性的繪制：對數(shù)相頻特性的繪制：2.對數(shù)頻率特性熊凌自動控制原理頻率特性：（1）（2）傳遞函數(shù)：5.2.2慣性環(huán)節(jié)熊凌自動控制原理奈氏圖慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

熊凌自動控制原理

慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線實際上是一個圓，圓心為，半徑為。熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖熊凌自動控制原理結(jié)論：每十倍頻程，變化-20dB.熊凌自動控制原理傳遞函數(shù)：頻率特性：（1）（2）5.2.3積分環(huán)節(jié)熊凌自動控制原理奈氏圖熊凌自動控制原理結(jié)論：每十倍頻程，變化-20dB.對數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖熊凌自動控制原理頻率特性：（1）（2）5.2.4微分環(huán)節(jié)1.理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：熊凌自動控制原理奈氏圖熊凌自動控制原理結(jié)論：每十倍頻程，變化20dB.對數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖熊凌自動控制原理頻率特性：（1）（2）2.

一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：熊凌自動控制原理奈氏圖熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖熊凌自動控制原理結(jié)論：每十倍頻程，變化20dB.熊凌自動控制原理傳遞函數(shù)：頻率特性：（1）5.2.5振蕩環(huán)節(jié)熊凌自動控制原理（2）奈氏圖熊凌自動控制原理諧振峰值諧振頻率何時存在最值？討論：熊凌自動控制原理當(dāng)時，即時，存在峰值。

越小，峰值及諧振頻率就越大，意味著超調(diào)越大，過程越不平穩(wěn)結(jié)論：熊凌自動控制原理結(jié)論：幅頻特性的最大值隨減小而增大。熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性的繪制：Bode圖熊凌自動控制原理結(jié)論：每十倍頻程，變化-40dB.熊凌自動控制原理對數(shù)相頻特性的繪制：結(jié)論：熊凌自動控制原理5.2.6二階微分環(huán)節(jié)熊凌自動控制原理Bode圖可由振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖鏡像畫出奈氏圖熊凌自動控制原理傳遞函數(shù)：頻率特性：（1）（2）5.2.7時滯環(huán)節(jié)熊凌自動控制原理奈氏圖Bode圖熊凌自動控制原理求A(0)、

(0)；A(∞)、

(∞)；繪制要求：補(bǔ)充必要的特征點(如與坐標(biāo)軸的交點)，根據(jù)A(ω)、

(ω)的變化趨勢，畫出Nyquist圖的大致形狀。5.3.1開環(huán)幅相頻率特性（奈氏圖）曲線的繪制5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性熊凌自動控制原理開環(huán)系統(tǒng)（最小相位系統(tǒng)）頻率特性的一般形式為熊凌自動控制原理幅相特性的低頻段

當(dāng)

時，可以確定特性的低頻部分，其特點由系統(tǒng)的類型近似確定，如下圖所示：

熊凌自動控制原理對于0型系統(tǒng)，當(dāng)時，特性達(dá)到一點。對于Ⅰ型系統(tǒng)，特性趨于一條與虛軸平行的漸進(jìn)線，這一漸進(jìn)線可以由下式確定：

時的相位角為

熊凌自動控制原理幅相特性的高頻段即特性總是以順時針方向趨于點，并按上式的角度終止于原點，如圖所示。一般，有，故當(dāng)時，有

熊凌自動控制原理特性與負(fù)實軸的交點的頻率由下式求出如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時間常數(shù)，則當(dāng)ω由0增大到∞過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時間常數(shù)，則視這些時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時，特性可能出現(xiàn)凹部。熊凌自動控制原理例：繪制的幅相曲線。解：熊凌自動控制原理例：繪制的幅相曲線。解：熊凌自動控制原理漸近線：時的物理意義：即相當(dāng)于系統(tǒng)輸入為恒值信號（頻率為0）由于系統(tǒng)有積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)輸出量為∞熊凌自動控制原理ReIm-(kT,j0)0熊凌自動控制原理時，開環(huán)頻率特性由實軸上無窮遠(yuǎn)開始，在極小的頻率范圍內(nèi)按無窮大半徑變化，相角位移為。結(jié)論：推論：時，開環(huán)頻率特性由實軸上無窮遠(yuǎn)開始，在極小的頻率范圍內(nèi)按無窮大半徑變化，相角位移為（為積分環(huán)節(jié)的階次）熊凌自動控制原理例：繪制的幅相曲線。解：求交點：與負(fù)實軸相交于-25處。熊凌自動控制原理曲線如圖所示：無實數(shù)解與虛軸無交點令熊凌自動控制原理將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：5.3.2開環(huán)對數(shù)頻率特性（伯德圖）曲線的繪制熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。對數(shù)相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。熊凌自動控制原理例：一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為1.系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理繪制步驟：（1）確定交接頻率標(biāo)在角頻率軸上；（2）在

處，量出幅值，其中為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。（上圖中的A點）（3）通過A點作一條-20vdB/十倍頻的直線，其中v為系統(tǒng)的階數(shù)（對于上例，v=1），直到第一個交接頻率(圖中B點）。如果

，則低頻漸進(jìn)線的延長線經(jīng)過A點。

熊凌自動控制原理

（4）以后每遇到一個交接頻率，就改變一次漸進(jìn)線斜率。每當(dāng)遇到環(huán)節(jié)的交接頻率時，漸進(jìn)線斜率增加

-20dB/十倍頻；每當(dāng)遇到環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加+20dB/十倍頻；每當(dāng)遇到環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加

-40dB/十倍頻。熊凌自動控制原理（5）繪出用漸進(jìn)線表示的對數(shù)幅頻特性以后，如果需要，可以進(jìn)行修正。通常只需在交接頻率出以及交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。對于一階項，在交接頻率處的修正值為±3dB；在交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的修正值為±1dB。對于二階項，在交接頻率處的修正值可由公式求出。熊凌自動控制原理幅值穿越頻率系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性通過0分貝線即

時的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率是開環(huán)對數(shù)相頻特性的一個很重要的參量?；蛐芰枳詣涌刂圃?.系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性熊凌自動控制原理5.3.3開環(huán)對數(shù)頻率特性低頻段特點與系統(tǒng)型別的關(guān)系0型系統(tǒng)

0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：低頻時：熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示：熊凌自動控制原理特點：在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；低頻段的幅值為，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。熊凌自動控制原理Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示：熊凌自動控制原理特點：在低頻段的漸進(jìn)線斜率為-20dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線（或其延長線）在ω=1時的幅值為dB。低頻漸進(jìn)線（或其延長線）與0分貝的交點為由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)；熊凌自動控制原理Ⅱ型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：熊凌自動控制原理對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示：熊凌自動控制原理特點：低頻漸進(jìn)線的斜率為-40dB/十倍頻；

低頻漸進(jìn)線(或其延長線)與0分貝的交點為，由之可以確定加速度誤差系數(shù)dB

低頻漸進(jìn)線（或其延長線）在時的幅值為熊凌自動控制原理

凡在右半s

平面上有開環(huán)零點或極點的系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)。

“最小相位”是指，具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)；后者常在傳遞函數(shù)中包含右半s平面的零點或極點。5.3.4最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理升降對應(yīng)熊凌自動控制原理升降不對應(yīng)熊凌自動控制原理升降對應(yīng)最小相位環(huán)節(jié)：給出了幅頻特性，也就決定了相頻特性給出了相頻特性，也就決定了幅頻特性熊凌自動控制原理幅角原理——奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

設(shè)S平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(S)的P個極點和Z個零點，并且此曲線不經(jīng)過F(S)的任一零點和極點，當(dāng)復(fù)變量S沿封閉曲線順時鐘方向移動一周時，F(xiàn)(S)相角的變化情況。討論：5.4

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.4.1奈氏判據(jù)熊凌自動控制原理設(shè)復(fù)變函數(shù)為則對應(yīng)與S平面下除了有限的奇點之外的任意一點，F(xiàn)(S)為解析函數(shù)，即為單值、連續(xù)的函數(shù)。S平面F（S）平面熊凌自動控制原理

曲線的形狀：由F(S)的特性決定，無需關(guān)心曲線的運動方向：可能是順時針，也可能是逆時針曲線包圍原點的情況：包圍的次數(shù)熊凌自動控制原理S平面順時針包圍原點一圈F（S）平面熊凌自動控制原理幅角原理設(shè)S平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(S)的P個極點和Z個零點，并且此曲線不經(jīng)過F(S)的任一零點和極點，當(dāng)復(fù)變量S沿封閉曲線順時鐘方向移動一周時，在F(S)平面上的映射曲線逆時針包圍坐標(biāo)原點N=P-Z周。熊凌自動控制原理輔助函數(shù)F(s)設(shè)系統(tǒng)的特征方程熊凌自動控制原理1.Ｆ(s)的零點是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，

Ｆ(s)的極點則是開環(huán)系統(tǒng)極點輔助函數(shù)F(s)的特點2.Ｆ(s)的零點與極點個數(shù)相同3.Ｆ(s)與只差一個常數(shù)１熊凌自動控制原理奈氏路徑幅角原理要求奈氏路徑不能經(jīng)過F(S)的奇點。無處于虛軸上的開環(huán)極點（開環(huán)無積分環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié)）熊凌自動控制原理開環(huán)有積分環(huán)節(jié)用半徑的半圓在虛軸上極點的右側(cè)繞過這些極點開環(huán)有振蕩環(huán)節(jié)熊凌自動控制原理映射曲線(奈氏曲線)的繪制方法無處于虛軸上的開環(huán)極點(開環(huán)無積分環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié))熊凌自動控制原理關(guān)于實軸對稱，只需繪制的映射曲線（1）令s=jω帶入G(s)H(s)，得到開環(huán)頻率特性。（2）畫出對應(yīng)于大半圓對應(yīng)的部分實際物理系統(tǒng)n>=mn>m時G(s)H(s)趨于零(原點）n=m時G(s)H(s)為常數(shù)熊凌自動控制原理開環(huán)有積分環(huán)節(jié)（1）令s=jω

帶入G(s)H(s),得到開環(huán)頻率特性。（2）畫出對應(yīng)于大半圓對應(yīng)的部分

——開環(huán)頻率特性的終點（3）畫出對應(yīng)于對應(yīng)的部分當(dāng)時，，曲線將沿?zé)o窮大的圓弧順時針轉(zhuǎn)過熊凌自動控制原理開環(huán)有振蕩環(huán)節(jié)下面只討論對應(yīng)的映射曲線當(dāng)時，曲線將沿?zé)o窮大的圓弧順時針轉(zhuǎn)過熊凌自動控制原理ImRe0熊凌自動控制原理根據(jù)幅角原理，s沿奈氏路徑順時針移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線將按逆時針圍繞坐標(biāo)原點N=P-Z周。熊凌自動控制原理穩(wěn)定性判據(jù)：

如果在s平面上，s沿奈氏路徑順時針移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線圍繞坐標(biāo)原點按逆時針旋轉(zhuǎn)N=P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（即Ｚ＝０）映射曲線圍繞原點的情況相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線圍繞（-1，0）的運動情況。熊凌自動控制原理奈氏穩(wěn)定判據(jù)如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：當(dāng)由變到時，開環(huán)頻率特性在復(fù)數(shù)平面的軌跡不包圍（-1,j0）這一點。

熊凌自動控制原理如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，開環(huán)系統(tǒng)特征方程式有P個根在右半s平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由變到時，開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上應(yīng)逆時針圍繞(-1,j0)點轉(zhuǎn)N=P圈。否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。熊凌自動控制原理例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)的乃奎斯特圖并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定熊凌自動控制原理例:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

沒有極點位于右半s平面，P=0。

熊凌自動控制原理閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定一型系統(tǒng)熊凌自動控制原理逆時針包圍正穿越=軌線在負(fù)實軸區(qū)間

從上向下穿越熊凌自動控制原理負(fù)穿越=軌線在負(fù)實軸區(qū)間

從下向上穿越順時針包圍說明：從軸上出發(fā)，算半次穿越熊凌自動控制原理

開環(huán)系統(tǒng)特征方程式有P個根在右半s平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由0變到時，開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上

(-1,j0)點左側(cè)，正穿越－負(fù)穿越＝P/2。否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。奈氏判據(jù)的實際方法熊凌自動控制原理例:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

解：熊凌自動控制原理閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定二型系統(tǒng)熊凌自動控制原理閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定熊凌自動控制原理軌線通過（-1，j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定熊凌自動控制原理

例:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

解：熊凌自動控制原理漸進(jìn)線與負(fù)實軸的交點一型系統(tǒng)熊凌自動控制原理閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定熊凌自動控制原理5.4.2對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)熊凌自動控制原理對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù):

若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)P個位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線

(含輔助線)與線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。熊凌自動控制原理輔助線的作法：系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)時，Bode圖從處向上補(bǔ)作虛直線系統(tǒng)存在一個振蕩環(huán)節(jié)時，Bode圖從處向上補(bǔ)作虛直線至處ImRe0熊凌自動控制原理例：閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個根熊凌自動控制原理

根據(jù)奈氏判據(jù)，對于開環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，根據(jù)開環(huán)幅相曲線相對點的位置不同，對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有三種情況：

(1)當(dāng)開環(huán)幅相曲線包圍點時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

5.5

控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性熊凌自動控制原理

(2)當(dāng)開環(huán)幅相曲線通過點時，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；

(3)當(dāng)開環(huán)幅相曲線不包圍點時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?？梢?，開環(huán)幅相曲線靠近點的程度表征了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，幅相曲線距離點越遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越高。開環(huán)幅相曲線越靠近點，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的振蕩就越強(qiáng)烈，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。

熊凌自動控制原理即：

相位裕度：開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值為1時，系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相位角與之和，記為-11

——系統(tǒng)的幅值穿越頻率滿足：5.5.1

相位裕度或熊凌自動控制原理相位裕量的物理意義：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相位角再滯后度，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；若開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相位角滯后大于度，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。熊凌自動控制原理-11穩(wěn)定系統(tǒng)-11不穩(wěn)定系統(tǒng)正相位裕量負(fù)相位裕量熊凌自動控制原理正相位裕量負(fù)相位裕量穩(wěn)定系統(tǒng)0dB不穩(wěn)定系統(tǒng)0dB熊凌自動控制原理稱為相位穿越頻率滿足：

增益裕度：開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的相位角為時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)。即：-115.5.2增益裕度熊凌自動控制原理增益裕量的物理意義：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的開環(huán)增益增大倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果系統(tǒng)的開環(huán)增益增大倍以上，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。熊凌自動控制原理-11-11穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)熊凌自動控制原理增益裕量如果用分貝表示增益裕量（單位為），定義為：

正增益裕量穩(wěn)定系統(tǒng)0dB不穩(wěn)定系統(tǒng)0dB負(fù)增益裕量熊凌自動控制原理

1．相位裕量和增益裕量表示開環(huán)幅相曲線對點的靠近程度，從而表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度。

2．只用增益裕量和相位裕量，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時給出這兩個量。關(guān)于相位裕量和增益裕量的幾點說明熊凌自動控制原理

3.對于開環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)和時，閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕量指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕量指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)減少多少。

為了得到滿意的性能，一般取相位裕量增益裕量熊凌自動控制原理例：

(1)求K=5時，相位裕量和增益裕量解：熊凌自動控制原理K=5時,熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理

(2)

用頻率分析法求出系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時的K值由增益裕量的物理意義可知：

若開環(huán)增益增大h倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。熊凌自動控制原理5.5.3開環(huán)對數(shù)頻率特性與相對穩(wěn)定性的關(guān)系伯德定理伯德第一定理指出，對數(shù)幅頻特性漸進(jìn)線的斜率與相角位移有對應(yīng)關(guān)系。伯德第二定理指出，對于一個線性最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系是唯一的。當(dāng)給定了某一頻率范圍的對數(shù)幅頻特性時，在這一頻率范圍的相頻特性也就確定了。反之亦然。熊凌自動控制原理開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線頻率與相角位移對應(yīng)的關(guān)系熊凌自動控制原理1.開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段斜率對相位裕量的影響虛線實線結(jié)論:低頻斜率大,時,比較大熊凌自動控制原理2.開環(huán)對數(shù)幅頻特性高頻段斜率對相位裕量的影響虛線實線結(jié)論:高頻斜率大,時,比較大熊凌自動控制原理-1/-2特性3.

開環(huán)放大系數(shù)對相位裕量的影響結(jié)論:熊凌自動控制原理-2/-1/-2特性熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理-2/-1/-2特性,且使,則稱最佳系統(tǒng)若n=4,則稱為三階系統(tǒng)最佳工程。結(jié)論：在中間時取最大值選擇K,使,則可使取最大值

熊凌自動控制原理-2/-1/-3特性熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理結(jié)論:1.穿過的幅頻特性斜率以-20dB/十倍頻為宜，一般最大不超過-30dB/十倍頻。

2.低頻段和高頻段可以有更大的斜率。低頻段有斜率更大的線段可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)；高頻段有斜率更大的線段可以更好地抑制高頻干擾。熊凌自動控制原理

3.中頻段的穿越頻率的選擇，決定于系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)速度的要求。

4.中頻段的長度對相位裕量有很大影響，中頻段越長，相位裕量越大。熊凌自動控制原理5.6

閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性熊凌自動控制原理

1.諧振峰值Mp

定義：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值。通常，Mp越大，系統(tǒng)單位過渡特性的超調(diào)量δ%也越大。

2.諧振頻率ωp

定義：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時的頻率。熊凌自動控制原理

3.

帶寬頻率ωb

定義：閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值，由其初始值M(0)減小0.707M(0)時的頻率（或由=0的增益減低3分貝時的頻率）

頻帶越寬，上升時間越短，但對于高頻干擾的過濾能力越差。

4.

剪切速度定義：是指在高頻時頻率特性衰減的快慢。在高頻區(qū)衰減越快，對于信號和干擾兩者的分辨能力越強(qiáng)。但是往往是剪切速度越快，諧振峰值越大。熊凌自動控制原理單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為幅頻特性相頻特性-5.6.1開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性的關(guān)系熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理等M圓圖設(shè)當(dāng)時，

5.6.2等M圓圖和等N圓圖顯然，在復(fù)平面上，它是通過點時且平行于虛軸的直線。熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理2.等N圓圖熊凌自動控制原理坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系—開環(huán)L(

)和

(

)；等M曲線令M為常數(shù),

為變量,依次計算

值對應(yīng)的L(

)。等N曲線令N為常數(shù),

為變量,依次計算

值對應(yīng)的L(

)。5.6.3尼柯爾斯圖線熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理

例：考慮一個單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函為試確定增益K值，使得

解：為了確定增益，第一步工作是畫出下列函數(shù)的尼氏圖。圖中，在ω=35時與M=1.4dB的軌跡相切，所以閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值為Mp=1.4dB=1.18，諧振頻率為=35。熊凌自動控制原理改變K值，將上下移動，可方便的看出K與閉環(huán)系統(tǒng)諧振峰值、諧振頻率、頻帶寬的影響。熊凌自動控制原理5.6.4非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性熊凌自動控制原理求非單位反饋系統(tǒng)的頻率特性的步驟如下：

1.畫出開環(huán)傳遞函數(shù)G(j

)H(j

)的Nichols圖；

2.由開環(huán)Nichols圖得到對應(yīng)的單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的Bode圖；

3.在Bode圖上畫出H(j

)的曲線；

4.在Bode圖上，由步驟2求出的幅值和相角分別減去H(j

)的幅值和相角。熊凌自動控制原理5.7頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系

5.7.1開環(huán)頻域指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系為了能使用開環(huán)頻率特性來評價系統(tǒng)的動態(tài)性能，就得首先找出開環(huán)頻域指標(biāo)、與時域動態(tài)性能指標(biāo)、的關(guān)系。熊凌自動控制原理二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型式為

開環(huán)頻率特性為

1.相位裕量和超調(diào)量之間的關(guān)系

由熊凌自動控制原理與的關(guān)系圖如下

熊凌自動控制原理與的關(guān)系圖如下

2.

相位裕量和調(diào)節(jié)時間之間的關(guān)系

熊凌自動控制原理5.7.2閉環(huán)頻域指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系

Mp

、與時域指標(biāo)、之間亦存在某種關(guān)系，這種關(guān)系在二階系統(tǒng)中是嚴(yán)格的、準(zhǔn)確的，在高階系統(tǒng)中則是近似的。

熊凌自動控制原理1.諧振峰值Mp和超調(diào)量δ%之間的關(guān)系熊凌自動控制原理熊凌自動控制原理2.諧振峰值Mp和調(diào)節(jié)時間ts的關(guān)系熊凌自動控制原理3.頻帶寬BW和之間的關(guān)系熊凌自動控制原理5.8

用MATLAB進(jìn)行頻域分析5.8.1

頻率特性圖的繪

伯德圖

Bode(num,den)

若具體地給出頻率的范圍，則可以用函數(shù)

w=logspace(m,n,npts);

bode(num,den,w)；來繪制系統(tǒng)的伯德圖。熊凌自動控制原理

若需指定幅值范圍和相角范圍，則需按以下形式調(diào)用：

[mag,phase,w]=bode(num,den)

或

[mag,phase]=bode(num,den,w)熊凌自動控制原理

對于這兩種方式，必須用下面的繪圖函數(shù)才可以在屏幕上生成完整的伯德圖。

subplot(211),semilogx(w,20*logl0(mag))；

subplot(212),semilogx(w,phase)

其中，semilogx函數(shù)表示以為單位繪制幅頻特性曲線。熊凌自動控制原理

奈氏圖

nyquist(num,den)

當(dāng)用戶需要指定頻率時，可用函數(shù)

nyquist(num,den,w)

Nyquist函數(shù)還有兩種等號左端含有變量的形式

[re,im,w]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den,w)；熊凌自動控制原理

5.8.2

相位裕量和增益裕量的計算[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)

此函數(shù)的輸入?yún)?shù)是幅值(不是以dB為單位)、相角與頻率矢量，它們是由bode或nyquist命令得到的。

或[gm,pm,wcg,wcp]=margin(sys);

或margin(sys);

熊凌自動控制原理例：

h1=tf([2.33],[0.1621]);h2=tf([1],[0.03681]);h3=tf([1],[0.001671]);h=h1*h2*h3;[num,den]=tfdata(h);[mag,phase,w]=bode(num,den);subplot(211);semilogx(w,20*log10(mag));gridsubplot(212);

semilogx(w,phase);grid[gm,pm,weg,wep]=margin(mag,phase,w)熊凌自動控制原理5.8

用MATLAB進(jìn)行頻域分析5.8.1

頻率特性圖的繪制

伯德圖

Bode(num,den)

若具體地給出頻率的范圍，則可以用函數(shù)

w=logspace(m,n,npts);

bode(num,den,w)；來繪制系統(tǒng)的伯德圖。熊凌自動控制原理

在MATLAB命令窗口中可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量：

gm=54.0835pm=9