新高考數(shù)學二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）24 立體幾何中球與幾何體的切接問題（含解析）

素養(yǎng)拓展24立體幾何中球與幾何體的切接問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、外接球如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球．解決這類問題的關鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用．二、內(nèi)切球球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．當球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來求球的半徑．【常用結論】①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即SKIPIF1<0(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝eq\f(x2＋y2＋z2,8)(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術方法或代數(shù)方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．④外接球模型四：垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．⑤外接球模型五：有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)⑥外接球模型六：圓錐、頂點在底面的射影是底面外心的棱錐．秒殺公式：R＝eq\f(h2＋r2,2h)(其中h為幾何體的高，r為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心)SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑦內(nèi)切球思路：以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（2023·浙江·高三校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示：因為正四面體內(nèi)接于球，則相應的一個正方體內(nèi)接球，設正方體為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則正四面體為SKIPIF1<0，設球的半徑為R，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則正方體的棱長為SKIPIF1<0，所以正四面體的棱長為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設四面體SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0,則四面體SKIPIF1<0在一個長寬高為SKIPIF1<0的長方體中，如圖，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故四面體ABCD外接球的體積為SKIPIF1<0，故選：C【典例3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校?？茧A段練習）設直三棱柱SKIPIF1<0的所有頂點都在一個表面積是SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0，則此直三棱柱的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圓的半徑），SKIPIF1<0.又球心到平面SKIPIF1<0的距離等于側棱長SKIPIF1<0的一半，所以球的半徑為SKIPIF1<0.所以球的表面積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0.于是直三棱柱的表面積是SKIPIF1<0.故選：D.【典例4】（2023·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)已知，底面SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得此三棱錐外接球，即以SKIPIF1<0為底面以SKIPIF1<0為高的正三棱柱的外接球．設正三棱柱的上下底面的中心分別為SKIPIF1<0，則外接球的球心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以球的半徑為SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【典例5】（2023·四川樂山·高三期末）已知正SKIPIF1<0邊長為1，將SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉至SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，取BC中點G，連接AG,DG，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別取SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外心E,F分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體SKIPIF1<0的球心，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正方形OEGF的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球的半徑SKIPIF1<0，球O的表面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【典例6】（2023·山東濱州·高三校考期中）已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長為SKIPIF1<0，側棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，SKIPIF1<0是正四棱錐SKIPIF1<0的高，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然正四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心O在直線SKIPIF1<0上，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以該四棱錐的外接球體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例7】（2023·高三課時練習）邊長為SKIPIF1<0的正四面體內(nèi)切球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】將棱長為SKIPIF1<0的正四面體SKIPIF1<0補成正方體SKIPIF1<0，則該正方體的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設正四面體SKIPIF1<0的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，正四面體SKIPIF1<0每個面的面積均為SKIPIF1<0，由等體積法可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0.故選：D.【題型訓練1-刷真題】一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設球心到上下底面的距離分別為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0符合題意，所以球的表面積為SKIPIF1<0．故選：A．

2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0又設四棱錐的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高SKIPIF1<0.故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0．故選：C.【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設正四棱錐的高為SKIPIF1<0，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0,[方法一]：導數(shù)法設正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，正四棱錐的體積SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，球心在正四棱錐高線上，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱錐體積SKIPIF1<0，故該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<04．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題可得SKIPIF1<0為等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0外接圓的半徑，則可求得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，進而求得體積.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為SKIPIF1<0，又球的半徑為1，設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.二、填空題5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點SKIPIF1<0均在半徑為2的球面上，SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.【詳解】如圖，將三棱錐SKIPIF1<0轉化為正三棱柱SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：2.【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；（2）若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．【題型訓練2-刷模擬】一、單選題1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】正方體的對角線就是其外接球的直徑，代入對角線公式，即可求解.【詳解】其外接球直徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B．2．（2023秋·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知四面體SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】將將四面體SKIPIF1<0放入長方體中，求出長方體的體對角線，進而得到外接球半徑，得到表面積.【詳解】將四面體SKIPIF1<0放入長方體中，如圖，則四面體SKIPIF1<0的外接球，即為長方體的外接球，設長方體中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，三式相加得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該直三棱柱的外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】將直三棱柱放入長方體中，借助長方體的外接球求解.【詳解】如圖所示，將直三棱柱SKIPIF1<0補成長方體，則長方體的外接球即直三棱柱的外接球.長方體的體對角線長為SKIPIF1<0設長方體的外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以該直三棱柱的外接球的體積SKIPIF1<0.故選:C.

4．（2023秋·四川眉山·高三校考階段練習）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，再根據(jù)圓柱的體積公式計算可得.【詳解】設圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以圓柱的體積SKIPIF1<0.故選：C5．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABC，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意說明SKIPIF1<0為等腰直角三角形，根據(jù)面面垂直性質(zhì)推出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，進而結合球的幾何性質(zhì)，確定三棱錐SKIPIF1<0外接球球心位置，求出外接球半徑，即可求得答案.【詳解】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等腰直角三角形，取AC的中點為M，連接SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為正三角形，故SKIPIF1<0,由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；又M為SKIPIF1<0的外心，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心必在BM上，設SKIPIF1<0的中心為O，則O在BM上且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即O點即為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，故外接球半徑為SKIPIF1<0，所以外接球表面積為SKIPIF1<0，故選：B【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于要能根據(jù)條件，結合球的幾何性質(zhì)，確定出三棱錐外接球球心的位置，進而求得半徑.6．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）已知SKIPIF1<0是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線SKIPIF1<0折起得四面體SKIPIF1<0，使得此時SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，將四面體SKIPIF1<0轉化為直三棱柱SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的外接球即為直三棱柱SKIPIF1<0的外接球，結合直三棱柱的性質(zhì)求外接圓半徑.【詳解】因為SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0為中線，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，將四面體SKIPIF1<0轉化為直三棱柱SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的外接球即為直三棱柱SKIPIF1<0的外接球，

設四面體SKIPIF1<0的外接球的球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0.故選：D.7．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，由直角三角形外接圓為斜邊中點，且由題意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，可解.【詳解】設SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圓直徑SKIPIF1<0，且圓心為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，所以外接球的直徑SKIPIF1<0，所以外接球的體積SKIPIF1<0．故選：B

8．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的表面上，則球SKIPIF1<0的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三棱錐中線面關系可先確定球心SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0上，再利用勾股定理求解即可.【詳解】

取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則球心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，設球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,故選：B9．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，側棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】應用補體法，將三棱錐外接球問題轉化為三棱柱外接球問題，找到球心，求解半徑即可.【詳解】由底面SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得此三棱雉的外接球即以SKIPIF1<0為底面，SKIPIF1<0為高的正三棱柱的外接球.設正三棱柱的上、下底面的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則外接球的球心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0外接圓的半徑SKIPIF1<0，球心到下底面的距離SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積SKIPIF1<0.故選：A.

10．（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0是等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】過SKIPIF1<0點作SKIPIF1<0于E，則PE為四棱錐的高，據(jù)此求出正方形棱長.再根據(jù)幾何關系找出外接球球心，根據(jù)勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】

設正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，在等邊三角形SKIPIF1<0中，過SKIPIF1<0點作SKIPIF1<0于E，由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．設四棱錐外接球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正方形ABCD中心，SKIPIF1<0為等邊三角形PAB中心，O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知SKIPIF1<0為矩形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴外接球表面積SKIPIF1<0．故選：C．11．（2023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】作出輔助線，求出平面SKIPIF1<0外接圓半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出球的表面積.【詳解】如圖，在矩形SKIPIF1<0中，連接對角線SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的外接圓圓心，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0共線.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.根據(jù)球的性質(zhì)，可得點SKIPIF1<0為四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，因為SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.

故選：C12．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】通過補形的方法，求得外接球半徑的表達式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求得半徑的最小值，進而求得外接球表面積的最小值.【詳解】將三棱錐補成直三棱柱，如圖所示，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為上下底面的外心，則SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0為直棱柱的外接球的球心，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為底面外接圓的半徑，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得外接球半徑SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值為SKIPIF1<0，此時球SKIPIF1<0的表面積為：SKIPIF1<0.故選：C

【點睛】求解幾何體外接球有關的問題，關鍵點在于找到球心的位置，然后計算出外接球的半徑.方法有直接法和補形法，直接法是根據(jù)幾何體的結構來找到球心；補形法是補形成直棱柱、長方體（正方體）等幾何體，并根據(jù)這些幾何體的結構找到球心并求得半徑.13．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市田家炳實驗中學?？茧A段練習）球O內(nèi)接三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，球O表面積為SKIPIF1<0.則三棱錐SKIPIF1<0體積最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用線面垂直的性質(zhì)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)線面垂直的判定得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，進而易得SKIPIF1<0都為直角三角形，找到外接球的球心為SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，根據(jù)已知求球體半徑，結合SKIPIF1<0和基本不等式求體積最大值.【詳解】由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都為直角三角形，且SKIPIF1<0為它們的斜邊，所以SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0為棱錐外接球球心，如下圖示，即球體半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，僅當SKIPIF1<0取等號，所以SKIPIF1<0.故選：B14．（2023秋·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知四面體ABCD滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為SKIPIF1<0，四面體的內(nèi)切球的球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】將四面體補全為長方體，根據(jù)它們外接球相同求出外接球半徑，利用等體積法求內(nèi)切球半徑，即可得結果.【詳解】由題設，可將四面體補全為如下長方體，長寬高分別為SKIPIF1<0，

所以，四面體外接球即為長方體外接球，則半徑SKIPIF1<0，由題意，四面體的四個側面均為全等三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三角形內(nèi)角，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.故選：A15．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】將三棱錐SKIPIF1<0可以補成長方體，從而得到SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球的直徑，要想體積最小，則SKIPIF1<0最小即可，設SKIPIF1<0，表達出SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，進而求出外接球體積的最小值.【詳解】根據(jù)題意三棱錐SKIPIF1<0可以補成分別以SKIPIF1<0為長、寬、高的長方體，其中SKIPIF1<0為長方體的對角線，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心即為SKIPIF1<0的中點，要使三棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積最小，則SKIPIF1<0最?。OSKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則有三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球半徑最小為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A16．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為V1，它的內(nèi)切球的體積為V2，則SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】軸截面四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，求出半徑，再根據(jù)球的體積公式和圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，四邊形SKIPIF1<0為該幾何體的軸截面，則四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.

17．（2023·福建寧德·?？寄M預測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，則圓錐的高為SKIPIF1<0，表示出圓錐的體積，換元后利用導數(shù)可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內(nèi)切圓的半徑.【詳解】設圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，則圓錐的高為SKIPIF1<0，所以圓錐的體積SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，設圓錐的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，圓錐的截面如圖所示,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查圓錐的內(nèi)切球問題，解題的關鍵是表示出圓錐的體積，化簡后利用導數(shù)求出其最大值，從而可確定出圓的大小，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.18．（2023·全國·高三專題練習）已知四棱錐SKIPIF1<0的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出四棱錐的表面積和體積，利用等體積法即可求出內(nèi)切圓半徑，從而得解.【詳解】因為四棱錐SKIPIF1<0的各棱長均為2，所以四棱錐SKIPIF1<0是正四棱錐，則SKIPIF1<0，過P作底面垂線，垂足為H，則SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故其內(nèi)切圓表面積為SKIPIF1<0，故選：B．19．（2023·全國·高三專題練習）若一個正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，由正三棱柱的結構特征確定正三棱柱的高，再計算出其外接球的半徑，進而由體積公式求解即可.【詳解】設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑等于正三角形的內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切球的半徑SKIPIF1<0，正三棱柱的高SKIPIF1<0．設正三角形的外接圓半徑為R，易得SKIPIF1<0，所以外接球的半徑SK