2025年高考數(shù)學一輪復習-7.6-空間距離與空間角-專項訓練【含解析】

年高考數(shù)學一輪復習-7.6-空間距離與空間角-專項訓練1.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形,AB=3,BC=5.(1)求直線A1B與直線AC1所成角的余弦值;(2)若在線段BC1上存在一點D,且BDBC1=t,t∈[0,1],當AD⊥A1B時,求2.如圖所示,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求證:BF∥平面ADE;(2)求直線BE與直線DF所成角的余弦值;(3)求點D到直線BF的距離.3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,AA1=AB=3,D,E分別為棱BC,B1C1上的點,且BDBC=C1E(1)若t=12,求證:AD∥平面A1EB(2)若二面角C1-AD-C的大小為π3,求實數(shù)t的值4.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=1,∠BCD=60°,現(xiàn)將平面DAC沿AC折起至平面PAC,使得PB=2.(1)證明:AB⊥PC;(2)求二面角A-PC-B的余弦值.5.如圖,在四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD是菱形,AB=1,SC=233,三棱錐S-BCD是正三棱錐,E,F分別為線段SA,SC(1)求證:BD⊥平面SAC;(2)求二面角E-BF-D的余弦值;(3)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行,求出直線SA與平面BDF的距離;如果不平行,請說明理由.6.如圖,C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點,平面PAC⊥平面ABC,△PAC為正三角形,E,F分別是PC,PB上的動點.(1)求證:BC⊥AE;(2)若E,F分別是線段PC,PB的中點且異面直線AF與BC所成角的正切值為32,記平面AEF與平面ABC的交線為直線l,點Q為直線l上的動點,求直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍參考答案與解析1.解(1)在△ABC中,因為AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB.又AA1⊥平面ABC,所以AA1,AC,AB兩兩垂直.以點A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),A(0,0,0),所以AC1=(4,0,4),BA1=(0,-3,4).設(shè)直線A1B與直線AC1所成角為θ(0°則cosθ=|A即直線A1B與直線AC1所成角的余弦值為22(2)依題意BD=tBC1,t∈因為BC1=(4,-3,4),A1B=(0,3,-所以AD=AB+BD=AB+tBC1=(4t因為AD⊥A1B,則AD·A1B=4t×0+3×(3-3t)-42.(1)證明∵AE∥CF,AE?平面BFC,CF?平面BFC,∴AE∥平面BCF.∵AD∥BC,AD?平面BCF,BC?平面BCF,∴AD∥平面BFC.又AD,AE?平面ADE,AD∩AE=A,∴平面ADE∥平面BFC.∵BF?平面BFC,∴BF∥平面ADE.(2)解以A為原點,AB,AD,AE分別為x軸、y則B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),則BE=(-2,0,2),DF=(2,-1,1),∴cos<BE,DF>=BE·∴直線BE與直線DF所成角的余弦值為36(3)解由(2)可知BF=(0,2,1),DF=(2,-1,1),cos<BF,DF>=BF·DF|BF||DF|=-15×6=-130,∴sin<3.(1)證明當t=12時,D,E分別為棱BC,B1C1的中點在直三棱柱ABC-A1B1C1中,連接DE(圖略),則DE∥AA1,DE=AA1,所以四邊形DEA1A是平行四邊形,所以AD∥A1E.又因為AD?平面A1EB,A1E?平面A1EB,所以AD∥平面A1EB.(2)解(方法一)如圖所示,在平面ABC內(nèi),過點C作AD的垂線,垂足為H,連接C1H,則∠C1HC為二面角C1-AD-C的平面角,即∠C1HC=π3在Rt△C1HC中,C1C=3,所以CH=3.在Rt△CHA中,CH=3,AC=3,所以sin∠CAH=CHAC又因為∠CAH為銳角,所以cos∠CAH=63,且0<∠CAH<π4,所以點H在線段AD的延長線上.在△CDA中,sin∠CDH=sinπ4+∠CAH=6+236,CD=CHsin∠CDH(方法二)由題可知AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,以AB,AC,AA1為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B所以AB=(3,0,0),AC1=(0,3,3),BC=(-3,3,0),BD=tBC=(-3t,3t,0),所以AD=AB+BD=(3-設(shè)平面AC1D的一個法向量為n1=(x,y,z),則n令y=t-1,則x=t,z=1-t,故n1=(t,t-1,1-t).由題得平面ADC的一個法向量為n2=(0,0,1).因為二面角C1-AD-C的大小為π3,所以n1·n2|n1||n2|=cosπ3=又因為0<t<1,所以t=2-2.4.(1)證明在等腰梯形ABCD中,過點A作AE⊥BC于點E,過點D作DF⊥BC于點F.因為在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=1,∠BCD=60°,所以BE=CF=12CD=12,EF=AD=1,AE=DF=所以AC=BD=322+所以BD2+CD2=BC2,所以BD⊥CD,同理AB⊥AC.又因為AP=AB=1,PB=2,所以AP2+AB2=PB2,所以AB⊥AP.又AC∩AP=A,AC,AP?平面ACP,所以AB⊥平面ACP.因為PC?平面ACP,所以AB⊥PC.(2)解取線段AC的中點為M,線段BC的中點為N,則MN∥AB.因為AB⊥平面ACP,所以MN⊥平面ACP.因為AC,PM?平面ACP,所以MN⊥AC,MN⊥PM.因為PA=PC,線段AC的中點為M,所以PM⊥AC,所以MN,MC,MP兩兩垂直.以M為原點,以MN所在直線為x軸,以MC所在直線為y軸,以MP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A0,-32,0,B1,-32,0,C0,32,0,P0,0,12,PC=0,32,-12,PB=1,-32,-12.由題得,平面APC的一個法向量為m=(1,0,0).設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z),則n·PC=32y-12z=0,n·PB=x-32y-12z=0,因為二面角A-PC-B為銳角,所以二面角A-PC-B的余弦值為2175.(1)證明連接AC,交BD于點O,連接SO.因為四邊形ABCD是菱形,所以O(shè)為AC,BD的中點,且BD⊥AC.因為三棱錐S-BCD是正三棱錐,SB=SD,O為BD的中點,所以BD⊥SO.又SO∩AC=O,SO,AC?平面SAC,所以BD⊥平面SAC.(2)解作SH⊥平面BCD于點H,則H為正三角形BCD的中心,H在線段OC上,且OH=13OC=13×32=36,CH=2如圖,以O(shè)為坐標原點,分別以O(shè)B,OC,HS的方向為x軸、y則A0,-32,0,B12,0,0,C0,32,0,D-12,0,0,S0,36,1,E0,-36,12,F0,33,12,所以BE=-12,-36,12,BF=-12,33,12設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面EBF的法向量,則n取x1=1,則y1=0,z1=1,故n1=(1,0,1).設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面DBF的法向量,則n取y2=3,則x2=0,z2=-2,故n2=(0,3,-2).所以cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|=(3)解直線SA與平面BDF平行.理由如下:連接OF,由(1)知O為線段AC的中點,且F為線段SC的中點,所以O(shè)F∥SA.又因為SA?平面BDF,OF?平面BDF,所以直線SA∥平面BDF.(或者用向量法判斷直線SA與平面BDF平行:由(2)知n2=(0,3,-2)是平面BDF的一個法向量,SA=0,-233,-1.因為SA·n2=0×0+3×-233+(-2)×(-1)=0,所以又因為SA?平面BDF,所以直線SA∥平面BDF.)設(shè)點A與平面BDF的距離為h,則h為直線SA與平面BDF的距離.因為OA=0,-32,0,n2=(0,3,-2)是平面DBF的一個法向量,所以h=|OA6.(1)證明因為C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點,所以BC⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAC.因為AE?平面PAC,所以BC⊥AE.(2)解由E,F分別是線段PC,PB的中點,連接AF,EF,所以BC∥EF.由(1)知BC⊥AE,所以EF⊥AE,所以在Rt△AFE中,∠AFE就是異面直線AF與BC所成的角.因為異面直線AF與BC所成角的正切值為32所以tan∠AFE=32,即AE又EF?平面AEF,BC?平面AEF,所以BC∥平面AEF.又BC?平面ABC,平面EFA∩平面ABC=l,所以BC∥l,所以在平面ABC中,過點A作BC的平行線即為直線l.以C為坐標原點,CA,CB所在直線分別為x軸,y軸,過點C且垂直于平面ABC的直線為z軸,建立空間直角坐標系.設(shè)AC=2,因為△PAC為正三角形,所以AE=3,則EF=2.由已知E,F分別是線段PC,PB的中點,所以BC=2EF=4.則A(2,0,0)