2024年江蘇徐州市自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷試題（含答案解析）

年江蘇徐州初三自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷（西安交大少年班選拔考試）一、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1、原點(diǎn)到直線y=2x+5的距離是

．2、已知凸四邊形的內(nèi)角和為360°，則如圖所示四邊形內(nèi)角和為

．3、若233用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10b，則正整數(shù)b=4、當(dāng)函數(shù)y=x?1+2x?1取得最小值時(shí)，自變量x5、觀察如下白色和黑色小球的排列：白黑白白黑白白白黑白白白白黑白白白白白黑……在第10個(gè)黑球和第20個(gè)黑球之間的白球總數(shù)為

．6、已知圓P的圓心P在函數(shù)y=?3x圖象上，若圓P與x軸和直線y=3x都相切，則點(diǎn)7、若二次函數(shù)y=x2?3x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱的曲線為P，則曲線P8、已知某矩形兩邊長為x，y，該矩形周長為80，面積為8，則3x+39、已知CD為△ABC的角平分線，且AD=2，BD=1，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，其周長為

二、解答題（本大題共6小題，共70分）10、在△ABC中，BC=2，∠A=30°，(1)求AB邊上的高CD的長度．(2)求△ABC11、從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇三個(gè)不同的數(shù)，分別記作a、b、c．(1)求a、b、c能作為三角形的三邊長的概率．(2)求證：關(guān)于x的方程ax12、如圖，半徑為10的圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，且OF=8，把紙片折疊，折痕為ABAF<AB，此時(shí)AB平行OF，且弧AB過點(diǎn)F(1)求弦AB的長度．(2)已知點(diǎn)P在線段AB上，且滿足對任意點(diǎn)P在線段AB上，都有OP+PF?OP+PF．①求線段AP②已知若M是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后撫平紙片，折痕為CD（不與AB重合），證明：O，P1，F(xiàn)在直線CD①求線段AP②已知若M是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后撫平紙片，折痕為CD（不與AB重合），證明：O，P1，F(xiàn)在直線CD13、已知過原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與直線l:y=x?1(1)求實(shí)數(shù)a的值．(2)過原點(diǎn)的直線l:y=kx，l:y=?kx，分別交拋物線于點(diǎn)A、B（異于原點(diǎn)）．①求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．②證明：AB平行l(wèi)．①求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．②證明：AB平行l(wèi)．14、Fermat’sLasttheorem由17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家PierredeFermat提出：當(dāng)整數(shù)m>2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xm+y(1)若正整數(shù)a，b，c滿足a+b=c，則稱a、①試比較a3+b②對任意正整數(shù)n，若a=2n+1是否存在b，c使之構(gòu)成勾股數(shù)？若存在，請寫出一組勾股數(shù)（用n表示）；若不存在，請說明理由．①試比較a3+b②對任意正整數(shù)n，若a=2n+1是否存在b，c使之構(gòu)成勾股數(shù)？若存在，請寫出一組勾股數(shù)（用n表示）；若不存在，請說明理由．(2)若某三角形的三邊長為a，b，c滿足a315、中國古代數(shù)學(xué)一直領(lǐng)先于世界，是中國文化重要的分支．中國最早的算術(shù)教材皆稱為《算經(jīng)》，其中最具代表性的著作為《孫子算經(jīng)》，約成書于公元四世紀(jì)，其中所著問題皆為經(jīng)典．如原載“物不知數(shù)問題”，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”答曰：二十三，當(dāng)時(shí)著名的大數(shù)學(xué)家程大位，對于這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝；七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．南末數(shù)學(xué)家秦九韶對此加以推廣，又發(fā)現(xiàn)了一種新的解法“大衍求一術(shù)”，這種解法后來傳入歐洲，歐洲學(xué)者發(fā)現(xiàn)此解法和高斯的解法本質(zhì)上是一致的，但比高斯早了500余年，人們將這種問題的通用解法稱為“孫子剩余定理”或“中國剩余定理”(Chineseremaindertheorem)．小明閱讀完這段材料之后，經(jīng)過研究并發(fā)現(xiàn)歌訣中的數(shù)據(jù)都隱含深意，并揭秘如下：70是5和7的倍數(shù)，但被3除余1；21是3和7的倍數(shù)，但被5除除1，15是3和5的倍數(shù)，但被7除余1；而105是3，5，7的最小公倍數(shù)．在使用的同時(shí)，可以如下構(gòu)造數(shù)據(jù)：2（被3除的余數(shù)）×70（構(gòu)造的數(shù)）+3（被5除的余數(shù)）×21（構(gòu)造的數(shù)）+2（被7除的余數(shù)）×15（構(gòu)造的數(shù)），和為233，再除以105，余數(shù)為23．請你求滿足下列條件的最小正整數(shù)：①被3除余1，被5處余3，被7除余6；②被5除余3，被7除余2，被11除余2．16、小明在自學(xué)多項(xiàng)式的時(shí)候，讀到如下一段材料：已知an，an?1，an?2，?，a1，a0為實(shí)數(shù)，形如f(x)=anxn+an?1xn?1+?+a1x+a0稱為關(guān)于自變量x的多項(xiàng)式，an≠0，則稱多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)為n，設(shè)例如，f(x)=2x3+5小明覺得這個(gè)除法與整數(shù)的除法有相似之處，因此請你幫助小明完成下列問題：(1)求一個(gè)二次多項(xiàng)式f(x)，被x?3除余2，被x?5除余12，被x?7除余10．(2)已知四次多項(xiàng)式f(x)滿足，被x+2除余31，被x+1除余5，被x?1除余1，被x?2除余11，被x?3除余61，當(dāng)x=4時(shí)，求f(x)的值．2018年江蘇徐州初三自主招生數(shù)學(xué)試卷（西安交大少年班選拔考試）答案與解析1、【答案】5【解析】直線y=2x+5，當(dāng)y=0時(shí)，2x+5=0，x=?5當(dāng)x=0時(shí)，y=5，如圖，過O作OE⊥∵A?52∴OA=52，∴AB=OS△∴OE=AO?BO故原點(diǎn)到直線y=2x+5的距離為5．【標(biāo)注】2、【答案】360°【解析】內(nèi)角和====360°．【標(biāo)注】3、【答案】9【解析】210∴233則位數(shù)會(huì)由10243決定，從而233為亦即b=9．【標(biāo)注】4、【答案】1【解析】當(dāng)x?1時(shí)，y=x?1+2x?1=3x?2，x=1時(shí)，y的最小值為1；當(dāng)12?x<1時(shí)，y=1?x+2x?1=x，x=12時(shí)，當(dāng)x?12時(shí)，y=1?x+1?2x=?3x+2，x=12時(shí)，故答案為：12【標(biāo)注】5、【答案】155【解析】從圖上看，第一個(gè)黑球前有1個(gè)白球，第二個(gè)黑球前有2個(gè)白球，第三個(gè)黑球前有3個(gè)白球……由此可見第10個(gè)黑球前有9個(gè)白球，第20個(gè)黑球前有19個(gè)白球，則第10個(gè)黑球和第個(gè)20黑球之間的白球總數(shù)為：1+2+3+4+…+19==210?55=155（個(gè)），答：第10個(gè)黑球和第個(gè)20黑球之間的白球總數(shù)為155個(gè)．【標(biāo)注】6、【答案】?1,【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為a,b，∵點(diǎn)P在函數(shù)y=?3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為a,?3∵圓P與x軸相切，∴圓P的半徑就等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)?3又∵圓P與直線y=3∴點(diǎn)P到直線3x?y=0的距離為?3a3a當(dāng)3a2?3=0，a=?1舍去1，因?yàn)榘霃讲荒苋∝?fù)，當(dāng)a2+3=0時(shí)∴點(diǎn)P坐標(biāo)為?1,3【標(biāo)注】7、【答案】y=?【解析】令y=0，x2?3x+2=0，x1=1，令x=0，y=2，∴二次函數(shù)y=x2?3x+2與x軸交于(1,0)與y軸交于(0,2)，∴這三個(gè)點(diǎn)關(guān)于(1,1)對稱點(diǎn)為(1,2)，(0,2)，(2,0)，設(shè)拋物線P的解析式為y=ax∴a+b+c=2c=2解得a=?1b=1∴y=?x∴曲線P的解析式為y=?x【標(biāo)注】8、【答案】4【解析】由題意得2x+2y=80，xy=8，∴x+y=40，∵3x3x∴3x3x設(shè)3x∴t3t3t2t?4t∵t2∴t?4=0，∴t=4，∴3x【標(biāo)注】9、【答案】3+3【解析】∵CD為△ABC的角平分線，故AC∴AC=2BC，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則A?2,0，B1,0，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則AC2=∵AC=2BC，∴AC∴x+22+y若△ABC面積最大是C點(diǎn)縱坐標(biāo)y故當(dāng)x=2時(shí)，y2有最大值即y有最大值，即△故當(dāng)x=2時(shí)，y2=4，∵點(diǎn)C在第一象限故y=2，則AC2=則△ABC周長為：AC+BC+AB=2【標(biāo)注】10、【答案】(1)2．(2)1+3【解析】(1)如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為在Rt△BCD中，CD=2，∠B=45°∴BD=CD=2則邊AB邊上的高CD的長度為2．(2)在Rt△ACD中，CD=2，∠∴AD=3，CD=∴AB=AD+BD=6∴S△ABC=答：△ABC的面積為1+【標(biāo)注】11、【答案】(1)15(2)證明見解析．【解析】(1)從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇三個(gè)不同的數(shù)，分別記作a，b，c，則有5×4×3=60種等可能的結(jié)果，所以能夠作為三角形三邊長的a，b，c的取值有(a,b,c)：3,5,7，3,7,5，5,3,7，5,7,3，7,3,5，7,5,3，5,7,9，5,9,7，7,5,9，7,9,5，9,5,7，9,7,5這12種，故a，b，c能夠作為三角形的三邊長的概率為1260答：a，b，c能夠作為三角形的三邊長的概率為15(2)由求根公式可知，要使關(guān)于x的方程ax則Δ=而a，b，c為1，3，5，7，9這5個(gè)數(shù)中的3個(gè)，當(dāng)b=1時(shí)，b2=1，ac的結(jié)果為15，21，27，35，45，則b2+4ac=61或85或109或141或181或當(dāng)b=3時(shí)，b2=9，ac的結(jié)果為5，7，9，35，45，則b2+4ac=29或37或45或149或189或當(dāng)b=5時(shí)，b2=25，ac的結(jié)果為3，7，9，21，27，則b2+4ac=37或53或61或109或133或當(dāng)b=7時(shí)，b2=49，ac的結(jié)果為3，5，9，15，27，則b2+4ac=61或69或85或109或157或當(dāng)b=9時(shí)，b2=81，ac的結(jié)果為3，5，7，15，21，則b2+4ac=93或101或109或141或165或綜上所述Δ為無理數(shù)，則x的解為無理數(shù)，故關(guān)于x的方程ax【標(biāo)注】12、【答案】(1)91?4(2)證明見解析．【解析】(1)P1為OE與AB∴P1∴P1∴AP(2)我們觀察當(dāng)CD隨M運(yùn)動(dòng)一周后的軌跡，即為以F為仿射原點(diǎn)對圓O進(jìn)行的仿射比為1:2的仿射變換，從而會(huì)圍成一個(gè)以O(shè)F的中點(diǎn)為圓心半徑為r2=5的圓，而顯然P1【標(biāo)注】13、【答案】(1)Ak+1,B?k+1,(2)證明見解析．【解析】(1)由題意得：聯(lián)立y=xx2解得：x1=0，∴由題得：xA代入可得：yA∴Ak+1,又聯(lián)立y=x∴x2解得：x3=0，∴由題意可得：xB代入可得：yB∴B?k+1,(2)∵kAB∴k==1，∴k∴直線AB平行于l．【標(biāo)注】14、【答案】(1)c3(2)銳角三角形，證明見解析．【解析】(1)正整數(shù)a，b，c為一組勾股數(shù)且a2∴a<c，b<c，∴c=c×(=a又a<c，b<c，a>0，b>0，∴a2>0，c?a>0，b2∴a2(c?a)>0，∴c3∴c3(2)∵a，b，c為三角形三邊長且a3∴c>a，c>b，即c為最長邊邊長，即△ABC中∠過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)∴CH=b?cos?∠Rt△ACH中，b2Rt△ABH中，c2②式?①式得：c2∴c2即c2∴c=c×(==0．∴cos?∵c?a>0，c?b>0，a>0，b>0，c>0，∴2abc>0，a2(c?a)>0，∴cos?∴∠C<90°又∠C為△∴△ABC故某三角形三邊長為a，b，c，且a3【標(biāo)注】15、【答案】①13，②233．【解析】①1（被3除的余數(shù)）×70（構(gòu)造的數(shù)，是5和7的倍數(shù)）+3（被5除的余數(shù)）×21（構(gòu)造的數(shù)，是3和7的倍數(shù)）+6（被7除的余數(shù)）×15（構(gòu)造的數(shù)，是3和5的倍數(shù)），和為70+63+90=223，223÷(3×5×7)=223÷105=2?13，余數(shù)為13，則被3除余1，被5除余3，被7除余6的最小正整數(shù)是13；②3（被5除的余數(shù)）×231（構(gòu)造的數(shù)，是7和11的倍數(shù)）+2（被7除的余數(shù)）×330（構(gòu)造的數(shù)，是5和11的倍數(shù)）+2（被11除的余數(shù)）×210（構(gòu)造的數(shù)，是5和7的倍數(shù)），和為693+660+420=1544，1773÷(5×7×11)=1773+385=4?233，余數(shù)為233，則被5除余3，被7除余2，被11除余2的最小正整數(shù)是233．故答案為：①13，②233．【標(biāo)注】16、【答案】(1)f(x)=?3(2)205．【解析】(1)一個(gè)多項(xiàng)式被x?5，x?7整除，被x?3除余2，設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為k1即k===(k∴8k1=2∴這個(gè)多項(xiàng)式為14一個(gè)多項(xiàng)式被x?3，x?7整除，被x?5除余12，設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為k2即k===(k∴?4k2=12∴這個(gè)多項(xiàng)式為?3(x?3)(x?7)．一個(gè)多項(xiàng)式被x?3，x?5整除，被x?7除余10，設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為k3即k==(k∴8k3=10∴這個(gè)多項(xiàng)式為54∴f(x)===?3故這個(gè)二次多項(xiàng)式f(x)=?3(2)設(shè)多項(xiàng)式a(x+1)(x?1)(x?2)(x?3)被x+2除余31，多項(xiàng)式b(x+2)(x?1)(x?2)(x?3)被x+1除余5，多項(xiàng)式c(x+2)(x+1)(x?2)(x?3)被x?1除余1，多項(xiàng)式d(x+2)(x+1)(x?1)(x?3)被x?2除余11，多項(xiàng)式e(x+2)(x+1)(x?1)(x?2)被x?3除余61，∴a(x+1)(x?1)(x?2)(x?3)=a(