2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案新人教A版必修4學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。具體包括：

1.掌握同角三角函數(shù)的定義及基本性質(zhì)。

2.學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，如正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系。

3.能夠運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換和三角函數(shù)的求值。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：

1.學(xué)生需要掌握初中階段的三角函數(shù)知識，如正弦、余弦、正切函數(shù)的定義和性質(zhì)。

2.學(xué)生需要具備一定的代數(shù)運(yùn)算能力，如解方程、恒等式變換等。

3.學(xué)生應(yīng)了解函數(shù)的概念和性質(zhì)，能夠理解函數(shù)之間的關(guān)系。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與課本《2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教案新人教A版必修4》相符合，緊密結(jié)合課本知識，符合教學(xué)實際。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，使學(xué)生能夠邏輯推理出不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

2.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生能夠運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實際問題，如角度轉(zhuǎn)換、三角函數(shù)求值等，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

3.直觀想象：通過示例和練習(xí)，讓學(xué)生能夠直觀地理解同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：學(xué)生需要在掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，如解方程、化簡表達(dá)式等，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

5.數(shù)據(jù)分析：通過對同角三角函數(shù)數(shù)據(jù)的分析，使學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。

6.知識應(yīng)用：學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的同角三角函數(shù)基本關(guān)系應(yīng)用到實際問題中，提高學(xué)生的知識應(yīng)用能力。

本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)符合新教程的要求，緊密結(jié)合課本知識，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實際應(yīng)用能力，符合教學(xué)實際。學(xué)情分析本節(jié)課的學(xué)情分析主要從以下幾個方面展開：

1.學(xué)生層次：根據(jù)新人教A版必修4的教材內(nèi)容，本節(jié)課適用于高中一年級的學(xué)生。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)知識，如正弦、余弦、正切函數(shù)的定義和性質(zhì)。學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力參差不齊，有的學(xué)生對三角函數(shù)的概念和性質(zhì)理解不夠深入，有的學(xué)生在代數(shù)運(yùn)算方面存在困難。

2.知識、能力、素質(zhì)方面：在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，學(xué)生需要具備一定的知識背景，如初中階段的三角函數(shù)知識和對函數(shù)概念的理解。學(xué)生需要具備一定的代數(shù)運(yùn)算能力，如解方程、恒等式變換等。同時，學(xué)生需要具備一定的邏輯推理能力和直觀想象能力，能夠理解并運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。在素質(zhì)方面，學(xué)生需要具備良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

3.行為習(xí)慣：在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，學(xué)生的行為習(xí)慣對課程學(xué)習(xí)有很大的影響。有的學(xué)生可能存在學(xué)習(xí)拖延、課堂注意力不集中等問題，這些問題會影響學(xué)生對知識的理解和掌握。因此，教師需要在教學(xué)過程中關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，及時進(jìn)行引導(dǎo)和幫助。

4.對課程學(xué)習(xí)的影響：學(xué)生對課程學(xué)習(xí)的影響主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是學(xué)生的知識基礎(chǔ)，知識基礎(chǔ)好的學(xué)生學(xué)習(xí)起來會更加輕松，知識基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可能需要更多的輔導(dǎo)和關(guān)注；二是學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度，學(xué)習(xí)習(xí)慣良好、態(tài)度積極的學(xué)生能夠更好地理解和掌握知識，而學(xué)習(xí)習(xí)慣差、態(tài)度消極的學(xué)生可能需要更多的激勵和引導(dǎo)；三是學(xué)生的能力水平，能力水平較高的學(xué)生能夠更好地應(yīng)對學(xué)習(xí)中的挑戰(zhàn)，能力水平較低的學(xué)生可能需要更多的支持和幫助。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.問題驅(qū)動法：通過提出問題和情境，激發(fā)學(xué)生的思考和探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)過程中。例如，在講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，可以提出實際問題，如測量一個角度的正弦、余弦、正切值，讓學(xué)生思考并找出它們之間的關(guān)系。

2.合作學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作，共同解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作能力和交流溝通能力。例如，在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，可以讓學(xué)生分組進(jìn)行討論，探討不同函數(shù)之間的關(guān)系，并共同得出結(jié)論。

3.案例分析法：通過分析具體的案例，讓學(xué)生理解和運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。例如，可以選擇一些實際問題或者數(shù)學(xué)題目，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行解決，加深對知識的理解和應(yīng)用。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用多媒體設(shè)備，如PPT、視頻等，展示同角三角函數(shù)的圖像和實例，直觀地展示函數(shù)之間的關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解和記憶。例如，在講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，可以通過PPT展示不同函數(shù)的圖像，讓學(xué)生直觀地觀察和分析它們之間的關(guān)系。

2.教學(xué)軟件輔助：利用教學(xué)軟件，如數(shù)學(xué)軟件、在線教學(xué)平臺等，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和模擬實驗，增強(qiáng)學(xué)生的實踐操作能力和解決問題的能力。例如，可以利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行同角三角函數(shù)的運(yùn)算和轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生親自動手操作，加深對知識的理解和應(yīng)用。

3.互動式教學(xué)：通過提問、回答、討論等方式，與學(xué)生進(jìn)行互動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。例如，在講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，可以適時提問學(xué)生，讓學(xué)生積極參與到課堂討論中，提高學(xué)生的思維能力和口頭表達(dá)能力。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道同角三角函數(shù)是什么嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于三角函數(shù)的圖像或?qū)嶋H應(yīng)用場景，讓學(xué)生初步感受同角三角函數(shù)的魅力或特點(diǎn)。

簡短介紹同角三角函數(shù)基本關(guān)系的定義和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.同角三角函數(shù)基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的概念和原理。

過程：

講解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的定義，包括其主要組成元素和恒等式。

詳細(xì)介紹同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.同角三角函數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的同角三角函數(shù)問題進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個問題的背景、特點(diǎn)和解決方法，讓學(xué)生全面了解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的影響，以及如何運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解決實際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與同角三角函數(shù)基本關(guān)系相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的實際應(yīng)用、解題策略以及可能的拓展思路。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的實際應(yīng)用、解題策略及拓展思路。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括同角三角函數(shù)基本關(guān)系的定義、恒等式、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)同角三角函數(shù)基本關(guān)系在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用案例分析報告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要知識點(diǎn)包括同角三角函數(shù)的定義、基本性質(zhì)和恒等式，以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系。下面將對這些知識點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)的梳理。

1.同角三角函數(shù)的定義：

-正弦函數(shù)：正弦函數(shù)是指在直角三角形中，對邊與斜邊的比值，用符號sin表示。

-余弦函數(shù)：余弦函數(shù)是指在直角三角形中，鄰邊與斜邊的比值，用符號cos表示。

-正切函數(shù)：正切函數(shù)是指在直角三角形中，對邊與鄰邊的比值，用符號tan表示。

2.同角三角函數(shù)的基本性質(zhì)：

-周期性：同角三角函數(shù)具有周期性，即函數(shù)值每隔一定的角度重復(fù)一次。例如，正弦函數(shù)的周期為2π。

-奇偶性：同角三角函數(shù)具有奇偶性，即函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱。正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正切函數(shù)是奇函數(shù)。

-單調(diào)性：同角三角函數(shù)在其定義域內(nèi)具有單調(diào)性，即函數(shù)值隨著角度的增加而單調(diào)增加或減少。

3.同角三角函數(shù)的恒等式：

-和差化積公式：同角三角函數(shù)的和差化積公式是指兩個同角三角函數(shù)的和或差可以轉(zhuǎn)化為它們的乘積形式。例如，sinα±cosα=√2sin(α±π/4)。

-積化和差公式：同角三角函數(shù)的積化和差公式是指兩個同角三角函數(shù)的乘積可以轉(zhuǎn)化為它們的和或差的形式。例如，sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]。

4.同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系：

-正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系：同角三角函數(shù)之間存在基本關(guān)系，即正弦函數(shù)的平方加上余弦函數(shù)的平方等于1（sin2α+cos2α=1），正切函數(shù)等于正弦函數(shù)除以余弦函數(shù)（tanα=sinα/cosα）。

-三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系是指正弦函數(shù)的倒數(shù)是余弦函數(shù)，余弦函數(shù)的倒數(shù)是正弦函數(shù)，正切函數(shù)的倒數(shù)是正割函數(shù)，正割函數(shù)的倒數(shù)是正切函數(shù)。典型例題講解例1：已知sinα=1/2，求cosα、tanα、sin2α+cos2α的值。

解答：

由正弦函數(shù)的定義，sinα=1/2，則cosα=√(1-sin2α)=√(1-1/4)=√3/2。

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，tanα=sinα/cosα=1/√3=1/3。

由基本恒等式，sin2α+cos2α=1。

例2：已知cosα=2/5，求sinα、tanα、sin2α+cos2α的值。

解答：

由余弦函數(shù)的定義，cosα=2/5，則sinα=√(1-cos2α)=√(1-4/25)=√21/25。

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，tanα=sinα/cosα=√21/25/2/5=√21/20。

由基本恒等式，sin2α+cos2α=1。

例3：已知tanα=3，求sinα、cosα、sin2α+cos2α的值。

解答：

由正切函數(shù)的定義，tanα=3，則sinα=3cosα。

由基本恒等式，sin2α+cos2α=1。

將sinα=3cosα代入基本恒等式中，得9cos2α+cos2α=1，解得cosα=1/2，sinα=3/2。

例4：已知sin2α+cos2α=1，求sinα、cosα、tanα的值。

解答：

由基本恒等式，sin2α+cos2α=1，則sinα=±√(1-cos2α)，cosα=±√(1-sin2α)。

由于sin2α+cos2α=1，sinα和cosα的符號不確定，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行判斷。

例如，如果sinα=√(1-cos2α)，則cosα=0，tanα=sinα/cosα=√(1-cos2α)/0，這是不合理的。

因此，我們需要選擇另一個解，即sinα=-√(1-cos2α)，cosα=√(1-sin2α)。

這樣，sinα和cosα的值分別為±√(1-cos2α)和±√(1-sin2α)。

例5：已知sinα=3/5，cosα=4/5，求tanα、sin2α+cos2α、tan2α+1的值。

解答：

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，tanα=sinα/cosα=3/4。

由基本恒等式，sin2α+cos2α=1。

由tan2α+1=sec2α，其中secα=1/cosα=5/4，所以tan2α+1=5/4。內(nèi)容邏輯關(guān)系①知識點(diǎn)梳理：

1.同角三角函數(shù)的定義：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)。

2.同角三角函數(shù)的基本性質(zhì)：周期性、奇偶性、單調(diào)性。

3.同角三角函數(shù)的恒等式：和差化積公式、積化和差公式。

4.同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系：正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系，三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系。

②詞、句解釋：

1.正弦函數(shù)：sinα=對邊/斜邊

2.余弦函數(shù)：cosα=鄰邊/斜邊

3.正切函數(shù)：tanα=對邊/鄰邊

4.周期性：正弦、余弦、正切函數(shù)的值每隔2π重復(fù)一次。

5.奇偶性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正切函數(shù)是奇函數(shù)。

6.單調(diào)性：正弦函數(shù)在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[π,2π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；余弦函數(shù)在[-π,0]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；正切函數(shù)在[0,π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在[π,2π]區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

7.和差化積公式：sinα±cosα=√2sin(α±π/4)

8.積化和差公式：sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

9.正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系：sin2α+cos2α=1

10.三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系：sinα的倒數(shù)是cosα，cosα的倒數(shù)是sinα，tanα的倒數(shù)是cotα，cotα的倒數(shù)是tanα。

③板書設(shè)計：

1.同角三角函數(shù)的定義

-正弦函數(shù)：sinα=對邊/斜邊

-余弦函數(shù)：cosα=鄰邊/斜邊

-正切函數(shù)：tanα=對邊/鄰邊

2.同角三角函數(shù)的基本性質(zhì)

-周期性：正弦、余弦、正切函數(shù)的值每隔2π重復(fù)一次

-奇偶性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正切函數(shù)是奇函數(shù)

-單調(diào)性：正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性

3.同角三角函數(shù)的恒等式

-和差化積公式：sinα±cosα=√2sin(α±π/4)

-積化和差公式：