2024年高考數(shù)學(xué)（人教B版）一輪復(fù)習(xí)教案第9章9.4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（含答案）

§9.4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)考試要求1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過實(shí)例，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．知識(shí)梳理列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表：如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)如下表格形式：Aeq\x\to(A)總計(jì)Baba＋beq\x\to(B)cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d在這個(gè)表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．(2)在2×2列聯(lián)表中，定義隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，任意給定α(稱為顯著性水平)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)＝α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對(duì)應(yīng)的分位數(shù))，①若χ2≥k成立，就稱在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱A與B有關(guān))，或說有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)；②若χ2<k成立，就稱不能得到前述結(jié)論．這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)．(√)(2)事件A和B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個(gè)事件互不影響．(×)(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．(√)(4)在2×2列聯(lián)表中，若|ad－bc|越小，則說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng)．(×)教材改編題1．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游．若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是()A．均值 B．方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．回歸分析答案C解析由題意可知，“愛玩網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷．2．如表是2×2列聯(lián)表，則表中a，b的值分別為()y1y2總計(jì)x1a835x2113445總計(jì)b4280A.27,38 B．28,38C．27,37 D．28,37答案A解析a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.3．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ2＝7.235，在犯錯(cuò)誤的概率不超過________的前提下，可以認(rèn)為喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．答案0.01解析因?yàn)?.635<7.235<10.828，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，可以認(rèn)為喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).題型一列聯(lián)表與χ2的計(jì)算例1(1)為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：男女總計(jì)喜歡ab73不喜歡c25總計(jì)74則a－b－c等于()A．7B．8C．9D．10答案C解析根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表為：男女總計(jì)喜歡522173不喜歡222547總計(jì)7446120∴a－b－c＝52－21－22＝9.(2)為加強(qiáng)素質(zhì)教育，使學(xué)生各方面全面發(fā)展，某學(xué)校對(duì)學(xué)生文化課與體育課的成績(jī)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：體育課不及格體育課及格總計(jì)文化課及格57221278文化課不及格164359總計(jì)73264337在對(duì)體育課成績(jī)與文化課成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到χ2的值為()A．1.255 B．38.214C．0.0037 D．2.058答案A解析χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(337×57×43－16×2212,278×59×73×264)≈1.255.思維升華2×2列聯(lián)表是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別．跟蹤訓(xùn)練1某次國(guó)際會(huì)議為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，在如表“性別與會(huì)外語”的2×2列聯(lián)表中，a＋b＋d＝________.會(huì)外語不會(huì)外語總計(jì)男ab20女6d總計(jì)1850答案44解析由題意得a＋b＋d＋6＝50，所以a＋b＋d＝50－6＝44.題型二列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)例2(2022·全國(guó)甲卷改編)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)．為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，α＝P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解(1)由題表可得A公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為eq\f(240,240＋20)＝eq\f(12,13)，B公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為eq\f(210,210＋30)＝eq\f(7,8).(2)x2＝eq\f(500×240×30－20×2102,240＋20×210＋30×240＋210×20＋30)≈3.205，所以有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)．思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．跟蹤訓(xùn)練2為了減少自身消費(fèi)的碳排放，“綠色消費(fèi)”等綠色生活方式漸成風(fēng)尚．為獲得不同年齡段的人對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況，某地研究機(jī)構(gòu)將“90后與00后”作為A組，將“70后與80后”作為B組，并從A，B兩組中各隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝四挲g段認(rèn)知情況總計(jì)知曉不知曉A組(90后與00后)7525100B組(70后與80后)4555100總計(jì)12080200(1)若從樣本內(nèi)知曉“綠色消費(fèi)”意義的120人中用分層抽樣方法隨機(jī)抽取16人，問應(yīng)在A組、B組中各抽取多少人？(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有關(guān)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由題意知，在A組中抽取的人數(shù)為16×eq\f(75,120)＝10.在B組中抽取的人數(shù)為16×eq\f(45,120)＝6.(2)由題意，得χ2＝eq\f(200×75×55－25×452,120×80×100×100)＝18.75，故有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有關(guān)．題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用例3體育運(yùn)動(dòng)是強(qiáng)身健體的重要途徑，《中國(guó)兒童青少年體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案(2020－2030)》(下面簡(jiǎn)稱“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”)中明確提出青少年學(xué)生每天在校內(nèi)參與不少于60分鐘的中高強(qiáng)度身體活動(dòng)的要求．隨著“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”的發(fā)布，體育運(yùn)動(dòng)受到各地中小學(xué)的高度重視，眾多青少年的體質(zhì)健康得到很大的改善．某中學(xué)教師為了了解體育運(yùn)動(dòng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的影響情況，現(xiàn)從該中學(xué)高三年級(jí)的一次月考中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生，調(diào)查他們平均每天的體育運(yùn)動(dòng)情況以及本次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，得到如表數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)成績(jī)(分)[30，50)[50，70)[70，90)[90，110)[110，130)[130，150]人數(shù)(人)2512535030015050運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的人數(shù)(人)104514520010743約定：平均每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于60分鐘的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，數(shù)學(xué)成績(jī)排在年級(jí)前50%以內(nèi)(含50%)的為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”．(1)求該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù)；(2)請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”有關(guān)．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)總計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)總計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．α＝P(χ2≥k)0.0100.0050.001k6.6357.87910.828解(1)每組的頻率依次為0.025,0.125,0.350,0.300,0.150,0.050，∵0.025＋0.125＋0.350＝0.500<0.65,0.025＋0.125＋0.350＋0.300＝0.800>0.65，且eq\f(0.500＋0.800,2)＝0.65，高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù)位于[90,110)內(nèi)，且為[90,110)的中點(diǎn)100，該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù)為100.(2)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分eq\x\to(x)＝0.025×40＋0.125×60＋0.350×80＋0.300×100＋0.150×120＋0.050×140＝91.50，估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為91.50分．(3)列聯(lián)表如表所示：數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)總計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)350200550運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)150300450總計(jì)5005001000χ2＝eq\f(1000×350×300－200×1502,550×450×500×500)＝eq\f(1000,11)≈90.9，∴有99.9%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”有關(guān)．思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計(jì)圖等一起考查，這類問題的求解往往按各小題及提問的順序，一步步進(jìn)行下去，是比較容易解答的，考查單純的獨(dú)立性檢驗(yàn)往往用小題的形式，而且χ2的公式一般會(huì)在原題中給出．跟蹤訓(xùn)練3某網(wǎng)紅奶茶品牌公司計(jì)劃在W市某區(qū)開設(shè)加盟分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的5個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格，記x表示在5個(gè)區(qū)域開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這x個(gè)分店的年收入之和．x(個(gè))23456y(十萬元)2.5344.56(1)該公司經(jīng)過初步判斷，可用回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)如果該公司最終決定在該區(qū)選擇兩個(gè)合適的地段各開設(shè)一個(gè)分店，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，第一分店每天的顧客平均為30人，其中5人會(huì)購買該品牌奶茶，第二分店每天的顧客平均為80人，其中20人會(huì)購買該品牌奶茶．是否有90%的把握認(rèn)為兩個(gè)店的顧客下單率有差異．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)；χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解(1)由題意可得，eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5＋6,5)＝4，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＋6×6＝88.5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝22＋32＋42＋52＋62＝90，設(shè)y關(guān)于x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(88.5－5×4×4,90－5×42)＝0.85，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－0.85×4＝0.6，∴y關(guān)于x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x＋0.6.(2)由題意可知2×2列聯(lián)表如表所示：不下單下單總計(jì)分店一25530分店二602080總計(jì)8525110∴χ2＝eq\f(110×25×20－5×602,30×80×85×25)＝eq\f(44,51)≈0.863，∴沒有90%的把握認(rèn)為兩個(gè)店的顧客下單率有差異．課時(shí)精練1．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是()A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，則我們可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病D．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大答案D解析對(duì)于A，獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過卡方計(jì)算來判斷兩個(gè)變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗(yàn)二者是否是線性相關(guān)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能100%確定兩個(gè)變量相關(guān)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,99%是指“抽煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)卡方計(jì)算的定義可知該選項(xiàng)正確．2．某村莊對(duì)該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢總計(jì)老年人a7c年輕人6bd總計(jì)ef50已知抽取的老年人、年輕人各25名，則對(duì)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)＝18 B．b＝19C．c＋d＝50 D．e－f＝2答案D解析由題意得，a＋7＝c＝25,6＋b＝d＝25，a＋6＝e,7＋b＝f，e＋f＝50，所以a＝18，b＝19，c＋d＝50，e＝24，f＝26，則e－f＝－2.3．為了考察某種中成藥預(yù)防流感的效果，抽樣調(diào)查40人，得到如下數(shù)據(jù)：藥物流感患流感未患流感服用218未服用812下表是χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.879根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，若由此認(rèn)為“該藥物預(yù)防流感有效果”，則該結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過()A．0.05B．0.1C．0.01D．0.005答案A解析由題意知，χ2＝eq\f(40×2×12－8×182,10×30×20×20)＝4.8>3.841，由臨界值表可知，認(rèn)為“該藥物預(yù)防流感有效果”，則該結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過0.05.4．(多選)(2022·鄭州模擬)為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的2×2列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2≈9.616.參照附表，下列結(jié)論正確的是()附表：α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A.有99.9%的把握認(rèn)為“藥物有效”B．沒有99.9%的把握認(rèn)為“藥物有效”C．有99.5%的把握認(rèn)為“藥物有效”D．沒有99.5%的把握認(rèn)為“藥物有效”答案BC解析因?yàn)棣?≈9.616，所以7.879<χ2<10.828，所以沒有99.9%的把握認(rèn)為“藥物有效”，有99.5%的把握認(rèn)為“藥物有效”．5．(多選)(2023·南通模擬)根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝2.974，依據(jù)表中給出的臨界值，作出下列判斷，正確的是()α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握認(rèn)為變量x與y相互獨(dú)立B．沒有95%的把握認(rèn)為變量x與y相互獨(dú)立C．變量x與y相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1D．變量x與y不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1答案AD解析因?yàn)棣?＝2.974>2.706，所以變量x與y不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1.6．為考查某種營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)的影響，選取部分兒童進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)100個(gè)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表，由表可知下列說法正確的是()營(yíng)養(yǎng)品身高總計(jì)有明顯增長(zhǎng)無明顯增長(zhǎng)食用a1050未食用b3050總計(jì)6040100參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A.a＝b＝30B．χ2≈12.667C．從樣本中隨機(jī)抽取1名兒童，抽到食用該營(yíng)養(yǎng)品且身高有明顯增長(zhǎng)的兒童的概率是eq\f(3,5)D．有99.9%的把握認(rèn)為該營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)有影響答案D解析由題可知a＝50－10＝40，b＝50－30＝20，所以A錯(cuò)誤；χ2＝eq\f(100×40×30－10×202,50×50×60×40)≈16.667，所以有99.9%的把握認(rèn)為該營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)有影響，所以B錯(cuò)誤，D正確；從樣本中隨機(jī)抽取1名兒童，抽到食用該營(yíng)養(yǎng)品且身高有明顯增長(zhǎng)的兒童的概率是eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，所以C錯(cuò)誤．7．如表是對(duì)于“喜歡運(yùn)動(dòng)”與性別是否有關(guān)的2×2列聯(lián)表，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2≈________(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位)．喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)男402868女51217總計(jì)454085答案4.722解析χ2＝eq\f(85×40×12－28×52,45×40×68×17)≈4.722.8．一項(xiàng)研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：注意力穩(wěn)定注意力不穩(wěn)定男生297女生335則χ2＝________(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)，________(填“有”或“沒有”)95%的把握認(rèn)為該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對(duì)于性別有顯著差異．答案0.538沒有解析由表中數(shù)據(jù)可知a＝29，b＝7，c＝33，d＝5，n＝a＋b＋c＋d＝74，根據(jù)χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋cc＋db＋da＋b)，計(jì)算可知χ2＝eq\f(74×145－2312,29＋33×33＋5×7＋5×29＋7)≈0.538，所以沒有95%的把握認(rèn)為該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對(duì)于性別有顯著差異．9．(2021·全國(guó)甲卷改編)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200總計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α＝P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是eq\f(150,200)＝0.75，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是eq\f(120,200)＝0.6.(2)根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝eq\f(400×150×80－120×502,200×200×270×130)＝eq\f(400,39)≈10.256.因?yàn)?0.256>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．10．某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，A，B在實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．(1)求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；(2)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)，請(qǐng)說明理由．優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗總計(jì)甲培育法20乙培育法10總計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由直方圖的性質(zhì)可知，0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝1，解得a＝0.040，因?yàn)?0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位數(shù)位于[80,90)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，解得x＝82.5.故綜合評(píng)分的中位數(shù)為82.5.(2)由(1)得優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為0.6，所以樣本中優(yōu)質(zhì)花苗的數(shù)量為60，得如下列聯(lián)表：優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗總計(jì)甲培育法203050乙培育法401050總計(jì)6040100χ2＝eq\f(100×20×10－30×402,60×40×50×50)≈16.667，所以有99%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．11．某中學(xué)調(diào)查了高一年級(jí)學(xué)生的選科傾向，隨機(jī)抽取300人，其中選考物理的有220人，選考?xì)v史的有80人，統(tǒng)計(jì)各選科人數(shù)如表，則下列說法正確的是()選擇科目選考類別思想政治地理化學(xué)生物物理類80100145115歷史類50453035α＝P(χ2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.物理類的學(xué)生中選擇政治的比例比歷史類的學(xué)生中選擇政治的比例高B．物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例高C．沒有90%的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)D．有90%的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)答案C解析對(duì)于A，物理類的學(xué)生中選擇政治的比例為eq\f(80,220)＝eq\f(4,11)，歷史類的學(xué)生中選擇政治的比例為eq\f(50,80)＝eq\f(5,8)，因?yàn)閑q\f(4,11)<eq\f(5,8)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，物理類的學(xué)生中選擇地理的比例為eq\f(100,220)＝eq\f(5,11)，歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例為eq\f(45,80)＝eq\f(9,16)，因?yàn)閑q\f(5,11)<eq\f(9,16)，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C和D，根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如表：選生物不選生物總計(jì)物理類115105220歷史類354580總計(jì)150150300所以χ2＝eq\f(300×115×45－105×352,150×150×80×220)＝eq\f(75,44)≈1.705<2.706，沒有90%的把握認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確．12．(多選)有兩個(gè)分類變量X，Y，其列聯(lián)表如表所示．XY總計(jì)Y1Y2X1a20－a20X215－a30＋a45總計(jì)155065其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，若有95%的把握認(rèn)為X與Y有關(guān)，則a的可能取值為()A．6B．7C．8D．9答案CD解析根據(jù)a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6,7,8,9.由表中數(shù)據(jù)及題意，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×